數(shù)學(xué)建模油田選址問題

1、數(shù)學(xué)建模集訓(xùn)試題一題 目: 油田選址問題 學(xué)院(直屬系): 數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院 年級、 專業(yè): 2010級信息與計算科學(xué) 姓 名:楊尚安 :劉 洋 :譚 笑 指 導(dǎo) 教 師: 張朝倫 完 成 時 間: 2012年 8 月 17 日 油田選址問題摘要本文通過分析題中所給數(shù)據(jù)及相關(guān)條件，建立了三個不同的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，解決了九個井口的煉油廠廠址選擇問題，并通過lingo求解，進(jìn)而得到了合理的總運輸費用。針對問題一，在九口油井附近修建煉油廠，本文首先假設(shè)在一號井口修建煉油廠，計算得到一號井口到其余八個井口的折線距離，再建立線性規(guī)劃模型，利用lingo軟件得到在一號井口修建煉油廠時其余各井口到一號井口的總

2、運輸費用。同理計算出其余八個井口修建煉油廠的總運費。比較后知在一號井口修建煉油廠所需總運費最少為。針對問題二，在直線距離最短的情況下，本文首先建立總運輸費用最少的非線性規(guī)劃模型，再使用lingo軟件求解即得到總費用最少的煉油廠的點坐標(biāo)為，總運費為。針對問題三，本文首先考慮到單位運費與運輸距離成正比，根據(jù)matlab作出九個井口平面直角坐標(biāo)分布情況及各井口之間的距離，再利用平面作圖工具得到兩個最小的圓將九個井口圈為（1,2,3,6,8）和（4,5,7,9）兩大塊，最后建立非線性規(guī)劃模型，利用lingo軟件求得兩煉油廠的坐標(biāo)為和，此時所需運費最少為。關(guān)鍵詞： 線性規(guī)劃模型 目標(biāo)規(guī)劃模型 折線距離

3、總運費一、 問題重述在商品高度市場化的當(dāng)今社會，物流管理顯得日益重要。某一油田在一平坦地區(qū)擁有九口油井，其年產(chǎn)量及位置如下表所示。所有的原油都需要運輸?shù)綗捰蛷S進(jìn)行提煉。現(xiàn)在不考慮煉油廠的建設(shè)費用，因此總的費用僅與煉油廠的位置有關(guān)。在假定的單位運費與運輸距離成正比的條件下，需對以下問題做出決策：一、如果兩點間的距離以折線計算，且九個井口均可作為煉油廠的候選位置，問煉油廠建在哪個井口附近（該井口到煉油廠距離以0計）最佳，總運輸費用是多少？二、若兩點間距離以直線距離計算，且該區(qū)域的任一點均可作為煉油廠的候選廠址，煉油廠應(yīng)建在何處，總費用是多少？三、若油田高層已決定在該地區(qū)建兩個煉油廠，若不考慮煉油廠

4、的建造費用，僅考慮運費，兩個煉油廠分別建在什么位置，各應(yīng)服務(wù)于哪幾個油井（假定一個油井的原油只能運往一個煉油廠），才能使總運費最低，總費用是多少？井號位置（X，Y）(km)產(chǎn)量（萬噸）1（22，38）172（8，13）403（5，81）604（52，32）255（38，11）306（16，12）157（81，63）508（18，45）89（62，12）35請分別建立以上三個問題的數(shù)學(xué)模型，并予以求解，并對你所建模型的優(yōu)劣性進(jìn)行評估。二、 模型假設(shè)1、當(dāng)煉油廠建在某井口附近時，則假定該井口到煉油廠的距離為0；2、假設(shè)單位運費的單位為（元/萬噸*千米）；3、假設(shè)本題中的平坦地區(qū)為；4、假設(shè)煉油廠的

5、建設(shè)費用不用考慮；5、假設(shè)單位運輸費用與運輸距離的比例系數(shù)為1；6、假設(shè)煉油廠的選址能取遍整個可行區(qū)域；7、將本題中的運輸費用單位統(tǒng)一為元，距離統(tǒng)一為km。三、符號說明 表示第號井口和第號井口之間的距離 表示第號井口的橫坐標(biāo) 表示第號井口的橫坐標(biāo) 表示第號井口的縱坐標(biāo) 表示第號井口的縱坐標(biāo) 表示單位運費與運輸距離成正比的比例，假設(shè)為1 表示運輸距離的單位運價 表示其他各個井口到1號井口即煉油廠的總運輸費用 表示第號井口的原油產(chǎn)量 表示以號井口作為煉油廠時的總運輸費用 表示煉油廠的橫坐標(biāo) 表示煉油廠的縱坐標(biāo) 表示第號井口到煉油廠的距離 表示第號井口到煉油廠的單位運費 表示各個井口到煉油廠的總運輸

6、費用 表示左邊區(qū)域各個井口到左邊煉油廠的總運輸費用 表示右邊區(qū)域各個井口到右邊煉油廠的總運輸費用 四、模型建立與求解4.1問題一4.1.1問題分析問題一要求將兩點間的距離以折線計算，把煉油廠修建在某個井口附近時的總運輸費用最少。查閱資料可知任意兩點之間的折線距離為：即將兩點之間的直線距離作為直角三角形斜邊，而兩條直角邊之和即為兩點的折線距離。首先可假設(shè)將煉油廠修建在一號井口時所需總費用最少，那么利用折線公式計算出一號井口到其余八個井口的折線距離，在利用公式：即可算出在一號井口修建煉油廠時的總運費。進(jìn)而寫出以第號井口作為煉油廠時的運輸費用：利用lingo軟件即可計算出所有結(jié)果，經(jīng)比較可得煉油廠應(yīng)

7、修建的地方和所需總運費。4.1.2數(shù)據(jù)分析由題意即可建立平面直角坐標(biāo)系。若用表示第號井口和第號井口之間的距離，表示第號井口的橫坐標(biāo)，表示第號井口的橫坐標(biāo)， 表示第號井口的縱坐標(biāo)，表示第號井口的縱坐標(biāo)，則：而根據(jù)單位運費與運輸距離成正比，設(shè)比例為1，若用表示運輸距離的單位運價，則： 4.1.3模型建立現(xiàn)假設(shè)1號井口為煉油廠的位置，而表示其他各個井口到1號井口即煉油廠的總運輸費用，其中表示第個井口的原油產(chǎn)量，則：同理，設(shè)2號至9號井口為煉油廠位置，則：綜上，用表示以號井口作為煉油廠時的總運輸費用，則：4.1.4模型求解利用lingo軟件，代入各井口的坐標(biāo)值和原油產(chǎn)量，求解得出： 并進(jìn)而求得最小值：

8、（具體代碼見附錄1） 4.2問題二4.2.1問題分析問題二要求以直線距離計算將煉油廠修建在該區(qū)域中任意位置的總費用最少。首先可假設(shè)將煉油廠修建在坐標(biāo)為（x,y）的地方，再建立非線性規(guī)劃模型，利用lingo軟件求出x,y的值及總費用。4.2.2數(shù)據(jù)分析由題意可知，兩點之間距離以直線距離計算，區(qū)域內(nèi)任意一點可作為煉油廠的候選地址，故可建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)煉油廠的坐標(biāo)為，第號井口到煉油廠的距離為，其中表示第號井口的橫坐標(biāo)，表示第號井口的縱坐標(biāo)，則：由問題一可知，單位運費，其中表示運輸距離的單位運價， 表示第號井口和第號井口之間的距離，則可設(shè)為第號井口到煉油廠的單位運費：4.2.3模型建立用表示各個

9、井口到煉油廠的總運輸費用，表示第號井口的原油產(chǎn)量，則：以該區(qū)域任何一點作為煉油廠的候選地址，即要使得各井口到該煉油廠的運費之和最小，求出4.2.4模型求解利用lingo軟件，代入各井口的坐標(biāo)值和原油產(chǎn)量，求解得出：（具體代碼見附錄2）其中煉油廠的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為4.3問題三4.3.1問題分析要使總運費最少，那么就要使井口盡量的集中在一起，考慮到井口位置的分布情況，只能將井口進(jìn)行左右分割，才能使得最佳緊湊，對于5號井口，可以分情況討論放在左邊和右邊的情況，建立非線性規(guī)劃模型，利用lingo軟件求出煉油廠坐標(biāo)和所需總費用，在進(jìn)行比較既可得出最終結(jié)果。4.3.2數(shù)據(jù)分析首先利用matlab軟件和e

10、xcel作出平面上九個井口的相對位置圖如下圖1，圖2：（具體代碼見附錄3）圖1 圖2經(jīng)畫圖工具修改后可得圖3：圖3在利用matlab軟件可得九個井口之間的距離如下表1：（具體代碼見附錄4）1234567891028.653146.238530.594131.384726.683364.07818.062347.7074228.6531068.066147.92730.06668.062388.481633.526154.0093346.238568.0661067.89777.388669.871378.102538.275389.4986430.594147.92767.897025.238

11、941.182542.4536.400522.3607531.384730.066677.388625.2389022.022767.475939.446224.0208626.68338.062369.871341.182522.0227082.619633.060646764.078188.481678.102542.4567.475982.6196065.52154.424388.062333.526138.275336.400539.446233.060665.521055947.707454.009389.498622.360724.02084654.4243550表14.3.3 模

12、型建立由圖像可知使用小范圍聚集的方法可知左邊1,2,3,6,8必須放在一起，右邊4,7,9必須放在一起所得的兩個圓形才是最小的。對于5號井口，分別放在左邊和右邊建立非線性規(guī)劃模型，計算最終結(jié)果。模型建立如下： 其中表示左邊區(qū)域各個井口到左邊煉油廠的總運輸費用，表示第號井口的原油產(chǎn)量，則：用表示右邊區(qū)域各個井口到右邊煉油廠的總運輸費用，可得4.3.4模型求解（具體代碼見附錄5）當(dāng)5號井口在左邊區(qū)域時算的總運費為，此時左邊煉油廠的坐標(biāo)為，服務(wù)于1,2,3,5,6,8號井口，右邊煉油廠的坐標(biāo)為，服務(wù)于4,7,9號井口。當(dāng)5號井口在右邊區(qū)域時算的總運費為元，此時左邊煉油廠的坐標(biāo)為，服務(wù)于1,2,3,6

13、,8號井口，右邊煉油廠的坐標(biāo)為，服務(wù)于4,5,7,9號井口。綜上所述煉油廠的坐標(biāo)分別為，服務(wù)于1,2,3,6,8號井口，以及,服務(wù)于4,5,7,9號井口，此時的總運費為。五、模型評價與推廣5.1模型的優(yōu)點通過建立線性規(guī)劃和目標(biāo)規(guī)劃模型, 在假設(shè)的條件下，考慮了各種不同情況下得出的滿足實際需求的最優(yōu)解決方案，因此這種模型的實用性比較強(qiáng)；合理的假設(shè)，使復(fù)雜的問題簡單化；運用matlab繪制出圖形，用數(shù)形結(jié)合的方法來進(jìn)行分析，使模型思路更加清晰，更有說服力；本題運用的數(shù)學(xué)模型和方法都比較簡單易懂，方便方案的利用。5.2模型的缺點運用matlab進(jìn)行編程計算，難免會有些誤差；模型假設(shè)考慮不是很周到。

14、5.3模型的改進(jìn) 本文中的模型仍有些需要改進(jìn)的地方，比如在假設(shè)時忽略了煉油廠的建設(shè)費用，其實建設(shè)費用在總費用中也占了一個很大的比例，因此可以模型改進(jìn)時可以將建設(shè)費用考慮進(jìn)去；另外煉油廠與井口距離不可能以零計算，而且各個井口之間也不可能按直線連接，如果將這些細(xì)小的誤差考慮進(jìn)去，此模型將更加符合實際情況，有利于實際應(yīng)用。所以本文中的模型仍有待改進(jìn)。5.4模型的推廣 每類模型都有其適用的范圍和擅長解決的問題，本文所建的模型可以應(yīng)用在各種運輸路線的設(shè)置上，比如管道的最優(yōu)鋪設(shè)，輸氣管道的設(shè)置；水源點的尋找與利用；還可以應(yīng)用于一些最短路徑的求法上，具有很強(qiáng)的實用性。六、參考文獻(xiàn)1折線距離參考文獻(xiàn)：2胡運權(quán)

15、.運籌學(xué)基礎(chǔ)及應(yīng)用（第五版）.高等教育出版社，2008.6. 七、附錄附錄1：sets:dian/1.9/:x,y,z;qian/1.9/:w;endsetsdata:x=22 8 5 52 38 16 81 18 62;y=38 13 81 32 11 12 63 45 12;z=17 40 60 25 30 15 50 8 35;enddataw(1)=sum(dian(j)|j#ge#1 #and# j#le#9:(abs(x(1)-x(j)+abs(y(1)-y(j)*z(j)*(abs(x(1)-x(j)+abs(y(1)-y(j);w(2)=sum(dian(j)|j#ge#1 #

16、and# j#le#9:(abs(x(2)-x(j)+abs(y(2)-y(j)*z(j)*(abs(x(2)-x(j)+abs(y(2)-y(j);w(3)=sum(dian(j)|j#ge#1 #and# j#le#9:(abs(x(3)-x(j)+abs(y(3)-y(j)*z(j)*(abs(x(3)-x(j)+abs(y(3)-y(j);w(4)=sum(dian(j)|j#ge#1 #and# j#le#9:(abs(x(4)-x(j)+abs(y(4)-y(j)*z(j)*(abs(x(4)-x(j)+abs(y(4)-y(j);w(5)=sum(dian(j)|j#ge#1 #

17、and# j#le#9:(abs(x(5)-x(j)+abs(y(5)-y(j)*z(j)*(abs(x(5)-x(j)+abs(y(5)-y(j);w(6)=sum(dian(j)|j#ge#1 #and# j#le#9:(abs(x(6)-x(j)+abs(y(6)-y(j)*z(j)*(abs(x(6)-x(j)+abs(y(6)-y(j);w(7)=sum(dian(j)|j#ge#1 #and# j#le#9:(abs(x(7)-x(j)+abs(y(7)-y(j)*z(j)*(abs(x(7)-x(j)+abs(y(7)-y(j);w(8)=sum(dian(j)|j#ge#1 #

18、and# j#le#9:(abs(x(8)-x(j)+abs(y(8)-y(j)*z(j)*(abs(x(8)-x(j)+abs(y(8)-y(j);w(9)=sum(dian(j)|j#ge#1 #and# j#le#9:(abs(x(9)-x(j)+abs(y(9)-y(j)*z(j)*(abs(x(9)-x(j)+abs(y(9)-y(j); Feasible solution found. Total solver iterations: 0 Variable Value X( 1) 22.00000 X( 2) 8.000000 X( 3) 5.000000 X( 4) 52.000

19、00 X( 5) 38.00000 X( 6) 16.00000 X( 7) 81.00000 X( 8) 18.00000 X( 9) 62.00000 Y( 1) 38.00000 Y( 2) 13.00000 Y( 3) 81.00000 Y( 4) 32.00000 Y( 5) 11.00000 Y( 6) 12.00000 Y( 7) 63.00000 Y( 8) 45.00000 Y( 9) 12.00000 Z( 1) 17.00000 Z( 2) 40.00000 Z( 3) 60.00000 Z( 4) 25.00000 Z( 5) 30.00000 Z( 6) 15.000

20、00 Z( 7) 50.00000 Z( 8) 8.000000 Z( 9) 35.00000 W( 1) 886298.0 W( 2) 1335914. W( 3) 1924178. W( 4) 1046714. W( 5) 1243946. W( 6) 1255578. W( 7) 2041850. W( 8) 913322.0 W( 9) 1513034. Row Slack or Surplus 1 0.000000 2 0.000000 3 0.000000 4 0.000000 5 0.000000 6 0.000000 7 0.000000 8 0.000000 9 0.0000

21、00附錄2：min=k*(22-x)2+(38-y)2)*17+k*(8-x)2+(13-y)2)*40+k*(5-x)2+(81-y)2)*60+k*(52-x)2+(32-y)2)*25+k*(38-x)2+(11-y)2)*30+k*(16-x)2+(12-y)2)*15+k*(81-x)2+(63-y)2)*50+k*(18-x)2+(45-y)2)*8+k*(62-x)2+(12-y)2)*35;x=-100;x=-100;y=1; Local optimal solution found. Objective value: 455120.1 Extended solver step

22、s: 5 Total solver iterations: 80 Variable Value Reduced Cost K 1.000000 0.000000 X 35.85000 0.000000 Y 40.23571 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 455120.1 -1.000000 2 135.8500 0.000000 3 64.15000 0.000000 4 140.2357 0.000000 5 59.76429 0.000000 6 0.000000 -455120.1附錄3：x=22 8 5 52 38 16 81 1

23、8 62x = 22 8 5 52 38 16 81 18 62 y=38 13 81 32 11 12 63 45 12y = 38 13 81 32 11 12 63 45 12 plot(x,y)附錄4： clear A=22 388 135 8152 3238 1116 1281 6318 4562 12A = 22 38 8 13 5 81 52 32 38 11 16 12 81 63 18 45 62 12 X = A(:,1);Y = A(:,2);N = length(X);D = zeros(N,N);for I = 2:Nfor J = 1:I-1 D(I,J) = sq

24、rt(X(I) - X(J)*(X(I) - X(J) + (Y(I) - Y(J)*(Y(I) - Y(J);endend D % 任意兩點間距離D1 = D+D % 任意兩點間距離D = Columns 1 through 7 0 0 0 0 0 0 0 28.6531 0 0 0 0 0 0 46.2385 68.0661 0 0 0 0 0 30.5941 47.9270 67.8970 0 0 0 0 31.3847 30.0666 77.3886 25.2389 0 0 0 26.6833 8.0623 69.8713 41.1825 22.0227 0 0 64.0781 88.

25、4816 78.1025 42.4500 67.4759 82.6196 0 8.0623 33.5261 38.2753 36.4005 39.4462 33.0606 65.5210 47.7074 54.0093 89.4986 22.3607 24.0208 46.0000 54.4243 Columns 8 through 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 55.0000 0D1 = Columns 1 through 7 0 28.6531 46.2385 30.5941 31.3847 26.6833 64.0781 28.6531 0 68.0

26、661 47.9270 30.0666 8.0623 88.4816 46.2385 68.0661 0 67.8970 77.3886 69.8713 78.1025 30.5941 47.9270 67.8970 0 25.2389 41.1825 42.4500 31.3847 30.0666 77.3886 25.2389 0 22.0227 67.4759 26.6833 8.0623 69.8713 41.1825 22.0227 0 82.6196 64.0781 88.4816 78.1025 42.4500 67.4759 82.6196 0 8.0623 33.5261 3

27、8.2753 36.4005 39.4462 33.0606 65.5210 47.7074 54.0093 89.4986 22.3607 24.0208 46.0000 54.4243 Columns 8 through 9 8.0623 47.7074 33.5261 54.0093 38.2753 89.4986 36.4005 22.3607 39.4462 24.0208 33.0606 46.0000 65.5210 54.4243 0 55.0000 55.0000 0附錄5：5號井口在左邊min=w1+w2;w1=k*(22-x)2+(38-y)2)*17+k*(8-x)2+

28、(13-y)2)*40+k*(5-x)2+(81-y)2)*60+k*(38-x)2+(11-y)2)*30+k*(16-x)2+(12-y)2)*15+k*(18-x)2+(45-y)2)*8;w2=k*(52-i)2+(32-j)2)*25+k*(81-i)2+(63-j)2)*50+k*(62-i)2+(12-j)2)*35;x=-100;x=-100;y=-100;i=-100;j=1; Local optimal solution found. Objective value: 263545.0 Total solver iterations: 36 Variable Value Reduced Cost W1 191967.8 0.000000 W2 71577.27 0.000000 K 1.000000 0.000000 X 14.81176 -0.1033925E-08 Y 40.56471 0.1458886E-08 I 68.36364 0.000000 J 39.72727 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 263545.0 -1.000000 2 0.000000 -1.000000 3 0.000000 -1.000000 4 114