數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)題 華科

1、數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)作業(yè)專業(yè)： 姓名： 學(xué)號(hào)： 實(shí)驗(yàn)2.1 多項(xiàng)式插值的振蕩現(xiàn)象問(wèn)題提出：考慮在一個(gè)固定的區(qū)間上用插值逼近一個(gè)函數(shù)，顯然Lagrange插值中使用的節(jié)點(diǎn)越多，插值多項(xiàng)式的次數(shù)就越高，我們自然關(guān)心插值多項(xiàng)的次數(shù)增加時(shí)，Ln(x)是否也更加靠近逼近的函數(shù)，Runge給出的例子是極著名并富有啟發(fā)性的，設(shè)區(qū)間-1,1上函數(shù)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：考慮區(qū)間-1，1的一個(gè)等距離劃分，分點(diǎn)為則拉格朗日插值多項(xiàng)式為其中，i=0,1,2,n是n次Lagrange插值函數(shù)。實(shí)驗(yàn)要求： （1）選擇不斷增大的分點(diǎn)數(shù)目n=2，3，畫出原函數(shù)f(x)及插值多項(xiàng)式函數(shù)Ln(x)在-1，1上的圖像，比較并分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果。 （2）選擇

2、其他的函數(shù)，例如定義在區(qū)間-5，5上的函數(shù)，重復(fù)上述的實(shí)驗(yàn)看其結(jié)果如何。解：以下的f(x)、h(x)、g(x)的為插值點(diǎn)用“*”表示，朗格朗日擬合曲線用連續(xù)曲線表示。通過(guò)三個(gè)函數(shù)的拉格朗日擬合可以看到，隨著插值點(diǎn)的增加，產(chǎn)生Rung現(xiàn)象。（1） f(x)(2) h(x)(3) g(x)實(shí)驗(yàn)3.1 最小二乘法擬合編制以函數(shù)為基的多項(xiàng)式最小二乘擬合程序，并用于對(duì)表中的數(shù)據(jù)作三次多項(xiàng)式最小二乘擬合。-1.0-0.50.00.51.01.52.0-4.447-0.4520.5510.048-0.4470.5494.552取權(quán)數(shù),求擬合曲線中的參數(shù)，平方誤差，并作離散數(shù)據(jù)的擬合函數(shù)的圖形。解：三次多項(xiàng)式

3、的擬合曲線為： 此題中權(quán)函數(shù)，即W=(1,1,1,1,1,1,1) 利用法方程求解這個(gè)方程組，就可以得到系數(shù)a。解之得： 故擬合的函數(shù)為:,擬合的函數(shù)圖像如下：實(shí)驗(yàn)5.1 常微分方程性態(tài)和R-K法穩(wěn)定性試驗(yàn)試驗(yàn)?zāi)康模嚎疾煜旅娴奈⒎址匠逃叶隧?xiàng)中函數(shù)y前面的參數(shù)對(duì)方程性態(tài)的影響（它可使方程為好條件的或壞條件的）和研究計(jì)算步長(zhǎng)對(duì)R-K法計(jì)算穩(wěn)定性的影響。實(shí)驗(yàn)題目：常微分方程初值問(wèn)題其中，。其精確解為實(shí)驗(yàn)要求： （1）對(duì)于參數(shù)，分別去四個(gè)不同的數(shù)值：一個(gè)大的正值，一個(gè)小的正值，一個(gè)絕對(duì)值小的負(fù)值和一個(gè)絕對(duì)值大的負(fù)值。取步長(zhǎng)，分別用經(jīng)典R-K法計(jì)算，將四組計(jì)算結(jié)果畫在同一張圖上，進(jìn)行比較并說(shuō)明相應(yīng)初值問(wèn)

4、題的性態(tài)。（2）對(duì)于參數(shù)為一個(gè)絕對(duì)值不大的負(fù)值和兩個(gè)計(jì)算步，一個(gè)計(jì)算步使參數(shù)在經(jīng)典R-K法的穩(wěn)定域內(nèi)，另一個(gè)步長(zhǎng)在經(jīng)典的R-K法的穩(wěn)定域外。分別用經(jīng)典R-K法計(jì)算并比較計(jì)算結(jié)果。取全域等距的10個(gè)點(diǎn)上的計(jì)算值，列表說(shuō)明。解:對(duì)于4階R-K法 絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)為：這里，所以絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)為：（1）對(duì)于，絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)：a21-1-2h0.010.010.010.01(2)對(duì)于，穩(wěn)定區(qū)a-20-20h0.010.15xy（精確解）數(shù)值解y1（a=-20,h=0.01）y1-y數(shù)值解y2（a=-20,h=0.15）y1-y0.150.1997870.1997892.35E-061.5250001.3252130.

5、300.3024790.3024792.34E-072.1906251.8881460.450.4501230.4501231.75E-083.0496092.5994860.600.6000060.6000061.16E-094.1744633.5744570.750.7500000.7500007.23E-115.6648864.9148860.900.9000000.9000004.32E-127.6579696.757969可見h=0.01時(shí)，數(shù)值解穩(wěn)定h=0.15時(shí)，數(shù)值解不穩(wěn)定。程序源代碼function testCharpt2_1%對(duì)數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)題第2章第1題進(jìn)行分析promps

6、='輸入f為選擇f(x)；輸入h為選擇h(x)；輸入g為選擇g(x)'result=inputdlg(promps,'請(qǐng)選擇實(shí)驗(yàn)函數(shù)');chooseFunction=char(result);switch chooseFunction case 'f' f=inline('1./(1+25*x.2)'); a=-1; b=1; nameFuc='f(x)' case 'h' f=inline('x./(1+x.4)'); a=-5; b=5 nameFuc='h(x)

7、9; case 'g' f=inline('atan(x)'); a=-5; b=5 nameFuc='g(x)'end% promps2='n='% nNumble=inputdlg(promps2,'請(qǐng)輸入分點(diǎn)數(shù)n');nNumble=2:11for i=1:length(nNumble) x=linspace(a,b,nNumble(i)+1); y=feval(f,x); xx=a:0.1:b; yy=lagrange(x,y,xx) figure fplot(f,a,b,'*') hold

8、 on plot(xx,yy,'LineWidth',2) xlabel('x') ylabel('y') legend(nameFuc,'lagrange(x)') nameTitle='多項(xiàng)式求值的振蕩現(xiàn)象',' n=',num2str(nNumble(i) title(nameTitle,'FontSize',14); grid onendfunction yy=lagrange(x,y,xx)%s實(shí)現(xiàn)拉格朗日插值%輸入?yún)?shù)x，y分別為已知插值點(diǎn)的自變量和因變量%輸入?yún)?shù)xx為

9、擬合點(diǎn)的自變量值%輸出參數(shù)yy為對(duì)應(yīng)自變量xx的擬合值xLength=length(x);xxLength=length(xx);for i1=1:xxLength yy(i1)=0; for i2=1:xLength p=1; for i3=1:xLength if(i2=i3) p=p*(xx(i1)-x(i3)/(x(i2)-x(i3); end end yy(i1)=yy(i1)+p*y(i2); end endfunction testCharpt3_1()%對(duì)數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)題第3章第1題進(jìn)行分析%輸入?yún)?shù)：自變量x，因變量y%輸入?yún)?shù)：多項(xiàng)式擬合次數(shù)nclcclearformat l

10、ongx=-1.0,-0.5,0.0,0.5,1.0,1.5,2.0y=-4.447,-0.452,0.551,0.048,-0.447,0.549,4.552n=3A=;for i=1:length(x) A=A;1 x(i) x(i)2 x(i)3end A2=A'*A;a=inv(A2)*A'*y'%多項(xiàng)式的系數(shù)% a=roundn(a,-6)yy=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.2+a(4)*x.3;r=(y-yy)*(y-yy)' %平方誤差clfhold on plot(x,y,'or');x2=-1:0.01:2;y2=a(1

11、)+a(2)*x2+a(3)*x2.2+a(4)*x2.3;plot(x2,y2,'LineWidth',2);legend('離散值','擬合曲線')xlabel('x');ylabel('y');title('3次多項(xiàng)式擬合,平方誤差=',num2str(r),'FontSize',14);grid onfunction testCharpt5_1%對(duì)數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)題第3章第1題進(jìn)行分析%輸入?yún)?shù)：參數(shù)a，步長(zhǎng)h%精確解和數(shù)值解圖形對(duì)比%第1問(wèn)輸入a=2 1 -1 -2% 輸入a的

12、取值h=0.01 0.01 0.01 0.01%輸入h的取值%第2問(wèn)輸入% a=-20 -20% 輸入a的取值% h=0.01 0.15%輸入h的取值%func=inline('1+(y-x).*a');%定義函數(shù)for i=1:length(a) x=0:h(i):1;%求解區(qū)間 y=x; N=length(x); y(1)=1; for n=1:N-1 k1=func(a(i),x(n),y(n); k2=func(a(i),x(n)+h(i)/2,y(n)+k1*h(i)/2); k3=func(a(i),x(n)+h(i)/2,y(n)+k2*h(i)/2); k4=func(a(i),x(n)+h(i),y(n)+k3*h(i) ; y(n+1)=y(n)+h(i)*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;%數(shù)值解 end y0=exp(a(i)*x)+x;%精確解% figure()%如果疊繪圖去掉此句命令 plot(x,y0) hold on plot