攻克解析幾何綜合題的幾種策略

1、收稿日期：2012-05-11作者簡(jiǎn)介：郭允遠(yuǎn)（1963），男，山東沂南人,中學(xué)高級(jí)教師，臨沂市教育局教科研中心高中數(shù)學(xué)教研員,山東省教學(xué)能手，山東省知名高考研究專家，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育與高考研究.攻克解析幾何綜合題的幾種策略郭允遠(yuǎn)(山東省臨沂市教育科學(xué)研究中心)摘要：解析幾何綜合題，在高考解答題中一般出現(xiàn)在最后兩題之一的位置，以其綜合性強(qiáng)、運(yùn)算量大、區(qū)分度高等特點(diǎn)，成為?？汲Ｐ隆⒔?jīng)久不衰的熱點(diǎn)、難點(diǎn)問題.從破解難點(diǎn)的角度，以典型高考試題為例，給出全面審題、分部轉(zhuǎn)化，設(shè)而不求、整體處理，數(shù)形結(jié)合、減少運(yùn)算等一般性策略,在關(guān)鍵之處有點(diǎn)評(píng),可有效解決這類難題之難點(diǎn).關(guān)鍵詞：解析幾何；綜合題；高考

2、題例；解題策略解析幾何綜合題表現(xiàn)為題干長(zhǎng)，條件多，往往要涉及幾種曲線的組合，可能還要與平面向量、函數(shù)、不等式等其他內(nèi)容綜合，有兩問或三問，第二問往往是探索性、開放性問題，如是否存在問題，定點(diǎn)、定值、最值等問題這樣的問題設(shè)計(jì),特別有利于考查學(xué)生綜合分析解決問題的能力,因而成為高考的主干內(nèi)容之一, 而且常以壓軸題呈現(xiàn)，?？汲Ｐ?，經(jīng)久不衰.可以說,這幾乎是所有學(xué)生的一個(gè)難點(diǎn), 很多學(xué)生對(duì)其有懼怕感,有的只做第一問,第二問干脆放棄.對(duì)此,本文結(jié)合部分高考題中有相當(dāng)難度的解析幾何壓軸題,分析攻克這類題目第二問、第三問的一般性策略,供廣大師生參考.一、 全面審題，分部轉(zhuǎn)化由于解析幾何綜合題具有信息量大、字

3、母符號(hào)多、圖形復(fù)雜等特點(diǎn)，另一方面學(xué)生面對(duì)探索性、存在性等問法，缺少明確的解題目標(biāo)，難以找到解題方向.因此，審清題意、找到解題的入口是解題的前提.全面審題要做好“三審”：審條件，審結(jié)論，審圖形，并注意隱含條件.弄清題干給出的是哪一種或幾種曲線，它們是怎樣的位置關(guān)系，其方程是已知的還是含字母待求的，等等，要對(duì)照?qǐng)D形找到它們之間的關(guān)系（若題目沒有給出圖形，要邊讀題邊畫出圖形），通過審結(jié)論明確解題目標(biāo)。但是，由于條件和結(jié)論距離甚遠(yuǎn),很可能還找不到解題的方向,那么，就要對(duì)條件逐一進(jìn)行轉(zhuǎn)化,向著結(jié)論指示的解題目標(biāo)轉(zhuǎn)化,同時(shí)也轉(zhuǎn)化結(jié)論,一旦“對(duì)接”,就找到了問題解決的入口。例1（2011年湖南卷·

4、;理21）如圖1，橢圓的離心率為，x軸被曲線截得的線段長(zhǎng)等于的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)(1)求的方程； 圖1(2)設(shè)與y軸的交點(diǎn)為M，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與相交于點(diǎn)分別與相交于點(diǎn)D、E.證明：記的面積分別是問：是否存在直線l，使得請(qǐng)說明理由.解析：本題涉及橢圓、拋物線、直線的相關(guān)問題，本質(zhì)是直線l與相交問題.第（1）問易得的方程分別為第(2)問，通過審圖形、審條件，抓住問題的本質(zhì)是直線l與相交于點(diǎn)A、B，實(shí)施如下轉(zhuǎn)化即可使問題獲得解決:.第(2)問為存在性問題，假設(shè)存在直線l滿足，需要分別求出、的表達(dá)式，由與，則求出點(diǎn)A、B與D、E的坐標(biāo)即可.設(shè)直線MA的斜率為，則直線的方程為，由解得或，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為又直線

5、MB的斜率為 ，同理可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為.【點(diǎn)評(píng)】利用類比推理，直接得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，節(jié)省了運(yùn)算.于是又由得，解得或，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為；又直線的斜率為，同理可得點(diǎn)E的坐標(biāo)，于是，因此.由題意知，解得或.又由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可知，所以故滿足條件的直線l存在，且有兩條，其方程分別為和.【點(diǎn)評(píng)】若直接設(shè)AB的方程為y=kx與拋物線的方程聯(lián)立，可以用k表示出，但用k表示的運(yùn)算就復(fù)雜了.所以注意運(yùn)用的結(jié)論，即與，轉(zhuǎn)化為直線MA(MD)與、的關(guān)系，進(jìn)而把、都用MA的斜率表示，通過點(diǎn)A、B的坐標(biāo)完成了與k的“對(duì)接”.二、設(shè)而不求，整體處理在解析幾何解題中，恰當(dāng)?shù)卦O(shè)某些變量（盡量減少變量個(gè)數(shù)），如點(diǎn)的坐標(biāo)、直線方程、圓

6、錐曲線方程等，是解題的開始，而過程中的運(yùn)算是解題能否完成的關(guān)鍵.要圍繞解題的總目標(biāo),運(yùn)用設(shè)而不求等運(yùn)算技巧，實(shí)施整體代換、整體化簡(jiǎn)、整體求出等策略，往往可起到化繁為簡(jiǎn)、事半功倍的卓越功效.例2（2011年浙江卷·理21）已知拋物線，圓的圓心為點(diǎn)M.（1）求點(diǎn)M到拋物線的準(zhǔn)線的距離；（2）已知點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），過點(diǎn)P作圓的兩條切線，交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若過M、P兩點(diǎn)的直線l垂足于AB，求直線l的方程.解析：（1）易得圓心M(0,4)到準(zhǔn)線的距離為.（2）本題涉及三個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、A、B，兩條動(dòng)直線AB，l兩種位置關(guān)系：相切、垂直，要求直線l的方程，需求l的斜率或點(diǎn)P的坐標(biāo),離

7、已知條件甚遠(yuǎn),所以要實(shí)施分部轉(zhuǎn)化,先大膽設(shè)出三個(gè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo),用坐標(biāo)表示兩種位置關(guān)系.設(shè)，、由題意得，.【點(diǎn)評(píng)】利用點(diǎn)P、A、B在拋物線上,巧設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo),較少了變量個(gè)數(shù)，使得以下的解法優(yōu)于試題原答案的解法；注意挖掘題目的隱含條件也是重要的一點(diǎn).所以PA方程為,即.因?yàn)镻A與圓M相切，所以,即.同理,所以、是關(guān)于t的方程的兩個(gè)根.所以，.而=.【點(diǎn)評(píng)】整體求出、整體代換的整體策略在這里得到了充分地體現(xiàn)！至此，問題的解決便水到渠成.又，因?yàn)?，所以，即，解?所以，所以直線的方程為.三、 數(shù)形結(jié)合，減少運(yùn)算解析幾何的核心方法是“用代數(shù)方法研究幾何問題”，核心思想是“數(shù)形結(jié)合”，注意利用圖形特點(diǎn)和性質(zhì),

8、往往可以減少運(yùn)算量,使問題獲得簡(jiǎn)捷解決.例3(2010年陜西卷·理20）如圖，橢圓的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)為（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)n是過原點(diǎn)的直線，l是與n垂直相交于P點(diǎn)且與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)的直線，是否存在上述直線l使成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由解析: （1）易得.(2)由條件,則有，即可得所以，故.當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)l：y=kx+m，由，得，即將直線l的方程代入橢圓方程，整理得設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為，則.由上得，即，再把代人并化簡(jiǎn)，得，將代入得，矛盾即此時(shí)直線l不存在.當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，可驗(yàn)證也不存在.【點(diǎn)評(píng)】由條件得到，再由三角形相似關(guān)系推得，從而

9、得到，這是一個(gè)由數(shù)到形、又由形到數(shù)的推理過程,既為本題的解決找到了突破口，又大大減縮了運(yùn)算過程.如果單純從已知的向量等式出發(fā)，設(shè)出P、A、B的坐標(biāo)代入，來尋求坐標(biāo)間的關(guān)系，雖然也能解決問題，但運(yùn)算過程較為繁瑣.也可用下列向量方法推得：四、特“形”引路，先知后證在解析幾何的定點(diǎn)、定值等問題中，常常要先研究圖形的特殊情形、臨界狀態(tài)，由此先得到結(jié)論，再進(jìn)行一般情形下的證明. 例4（2005年全國卷I·理21） 已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，與a=（3，-1）共線（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且，求證：為定值.

10、解析：（1）易得離心率（2）設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，將條件中的等式用坐標(biāo)表示.，則由（1）問的結(jié)果，得橢圓方程為，將點(diǎn)M坐標(biāo)代入即得展開，圍繞解題目標(biāo)：證明為定值，故要分離出.，于是再如何進(jìn)行呢？面對(duì)如此復(fù)雜的式子，很多考生往往不知所向.此時(shí)，如果先通過點(diǎn)M的特殊位置猜出定值，可以為我們的解題指明方向.當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，則,即可發(fā)現(xiàn)定值是1【點(diǎn)評(píng)】抓住問題的特殊性進(jìn)行猜想是一種哲學(xué)方法.于是,只要證明,這樣解答方向明確，問題迎刃而解.過程如下:例5 以為焦點(diǎn)的橢圓C過點(diǎn)（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)的動(dòng)直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得無論l如何轉(zhuǎn)動(dòng)，以AB為直

11、徑的圓恒過點(diǎn)T?若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.解析：第（1）問易得橢圓C的方程為.第（2）問為定點(diǎn)問題,如果直接設(shè)定點(diǎn)T的坐標(biāo),轉(zhuǎn)化為恒成立問題去解決,則運(yùn)算非常繁瑣；若研究直線l的兩種特殊情況：當(dāng)直線l與x軸重合時(shí)，以AB為直徑的圓是當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，以AB為直徑的圓是由解得兩圓相切于點(diǎn)（1，0）。因此所求的點(diǎn)T如果存在，只能是再給出一般情況下的證明：當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，以AB為直徑的圓過點(diǎn)T(1,0), 若直線l不垂直于x軸，可設(shè)直線l的方程為由得記點(diǎn)，則又因?yàn)樗?，即以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T(1,0). 即在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T(1,0)滿足條件.五、耐心細(xì)致，謹(jǐn)防錯(cuò)漏以上介紹的四種策略,分別對(duì)應(yīng)了五道例題作重點(diǎn)說明.事實(shí)上,解答一道解析幾何綜合題幾乎都要用到以上策略，而且因?yàn)轭}目的長(zhǎng)度大、難度大、運(yùn)算量大，在學(xué)生找到入口形成思路的的前提下,還會(huì)出現(xiàn)因某一步運(yùn)算出錯(cuò)導(dǎo)致半途而廢,或沿著錯(cuò)誤的結(jié)果做下去的會(huì)而不對(duì)的現(xiàn)象,還會(huì)因考慮不周出現(xiàn)對(duì)而不全的現(xiàn)象.如:在設(shè)直線方程時(shí)忽略了斜率不存在的情況,在消元轉(zhuǎn)化為一元二次方程后忽略了對(duì)判別式的討論,等等.