拋物線的幾何性質

1、拋 物 線一、拋物線的簡單幾何性質1、范圍：因為，由方程可知，這條拋物線上任意一點的坐標滿足不等式，所以這條拋物線在軸的右側；當?shù)闹翟龃髸r，也增大，這說明拋物線向上方和右下方無限延伸，它的開口向右.2、對稱性：以代，方程不變，因此這條拋物線是以軸為對稱軸的軸對稱圖形.拋物線的對稱軸叫作拋物線的軸3、頂點：拋物線和它的軸的焦點叫作拋物線的頂點.在方程中，當時，因此這條拋物線的頂點就是坐標原點.4、離心率：拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離的比，叫作拋物線的離心率，用表示.按照拋物線的定義，知識剖析：拋物線的通徑：過焦點且與焦點所在的軸垂直的直線與拋物線交于點，線段叫作拋物線的通徑，將代入得，

2、故拋物線的通徑長為例1、已知點在拋物線上，則的取值范圍？分析：本題的實質是將轉化為關于的二次函數(shù)，求二次函數(shù)在區(qū)間上的最值. ，又，所以當時，取得最小值9，當時，無最大值.故的取值范圍為答案：二、拋物線的四種標準方程相應的幾何性質：標準方程圖像范圍軸軸軸軸對稱軸焦點坐標準線方程頂點坐標離心率通徑長知識剖析：（1）通過上表可知，四種形式的拋物線的頂點相同，均為，離心率均為1，它們都是軸對稱圖形，但是對稱軸不同.（2）拋物線和橢圓、雙曲線的幾何性質的差異：它們都是軸對稱圖形，但橢圓和雙曲線又是中心對稱圖形，拋物線不是中心對稱圖形；頂點個數(shù)不同：橢圓有4個頂點、雙曲線有2個頂點、拋物線只有1個頂點；

3、焦點個數(shù)不同：橢圓和雙曲線各有2個焦點，拋物線只有1個焦點；離心率的取值范圍不同：橢圓的離心率的取值范圍是，雙曲線離心率的取值范圍是，拋物線的離心率是；橢圓和雙曲線都有兩條準線，而拋物線只有一條準線；橢圓是封閉式曲線，雙曲線和拋物線都是非封閉式曲線，由于拋物線沒有漸近線，因此在畫拋物線時切忌將其畫成雙曲線例2、某拋物線的頂點是橢圓的中心，而焦點為橢圓的左頂點，求此拋物線的標準方程.分析：因為該橢圓的中心在坐標原點，左頂點為，所以可直接設拋物線的標準方程，求得后可得方程.答案：解：由得：，所以橢圓的左頂點為.由題意設所求拋物線的標準方程為，由，得，故所求拋物線的標準方程為.三、焦點弦問題及其應用

4、1、焦點弦如圖，是拋物線過焦點的一條弦.設點，線段的中點為，過分別向拋物線的準線作垂線，垂足分別為，則根據(jù)拋物線的定義有.又是梯形的中位線，.綜上可得以下結論：，其常被稱作拋物線的焦點弦長公式.（焦點弦長與中點的關系）若直線的傾斜角為，則推導：由的推導知，當不垂直于軸時，當不存在時，即時，亦成立兩點的橫坐標之積、縱坐標之積為定值，即，分析：利用點斜式寫出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立后進行證明.要注意直線斜率不存在的情況.推導：焦點的坐標為，當不垂直于軸時，可設直線的方程為：，由，得：當垂直于軸時，直線的方程為：則為定值推導：由焦半徑公式知，又，代入上式得：為常數(shù)故為定值.2、拋物線中與焦點弦有

5、關的一些幾何圖形的性質（1）拋物線以過焦點的弦為直徑的圓和準線相切（2）拋物線中，設為焦點弦，為準線與軸的交點，則（3）設為拋物線的焦點弦. 點在準線上的射影分別為點，若為的中點，則；為拋物線的頂點，若的延長線交準線于點，連接，則平行于軸，反之，若過點作平行于軸的直線交準線于點，則三點共線.（4）通徑是所有焦點弦（過焦點的弦）中最短的弦.例3、已知拋物線的頂點在原點，軸為對稱軸，經過焦點且傾斜角為的直線，被拋物線所截得的弦長為6，求拋物線方程.解：當拋物線的焦點在軸正半軸上時，可設拋物線的標準方程為，則焦點的坐標為，直線的方程為.設直線與拋物線的交點為，過點分別向拋物線的準線作垂線，垂足分別為點，則有：，由，消去，得，即，代入式得：所求拋物線的標準方程為當拋物線的焦點在軸負半軸上時，用同樣的方法可求出拋物線的標準方程是：例4、已知拋物