拋物線的幾何性質(zhì)

1、拋 物 線一、拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)1、范圍：因?yàn)?，由方程可知，這條拋物線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)滿足不等式，所以這條拋物線在軸的右側(cè)；當(dāng)?shù)闹翟龃髸r(shí)，也增大，這說(shuō)明拋物線向上方和右下方無(wú)限延伸，它的開口向右.2、對(duì)稱性：以代，方程不變，因此這條拋物線是以軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形.拋物線的對(duì)稱軸叫作拋物線的軸3、頂點(diǎn)：拋物線和它的軸的焦點(diǎn)叫作拋物線的頂點(diǎn).在方程中，當(dāng)時(shí)，因此這條拋物線的頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn).4、離心率：拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離的比，叫作拋物線的離心率，用表示.按照拋物線的定義，知識(shí)剖析：拋物線的通徑：過(guò)焦點(diǎn)且與焦點(diǎn)所在的軸垂直的直線與拋物線交于點(diǎn)，線段叫作拋物線的通徑，將代入得，

2、故拋物線的通徑長(zhǎng)為例1、已知點(diǎn)在拋物線上，則的取值范圍？分析：本題的實(shí)質(zhì)是將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)，求二次函數(shù)在區(qū)間上的最值. ，又，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值9，當(dāng)時(shí)，無(wú)最大值.故的取值范圍為答案：二、拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程相應(yīng)的幾何性質(zhì)：標(biāo)準(zhǔn)方程圖像范圍軸軸軸軸對(duì)稱軸焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程頂點(diǎn)坐標(biāo)離心率通徑長(zhǎng)知識(shí)剖析：（1）通過(guò)上表可知，四種形式的拋物線的頂點(diǎn)相同，均為，離心率均為1，它們都是軸對(duì)稱圖形，但是對(duì)稱軸不同.（2）拋物線和橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)的差異：它們都是軸對(duì)稱圖形，但橢圓和雙曲線又是中心對(duì)稱圖形，拋物線不是中心對(duì)稱圖形；頂點(diǎn)個(gè)數(shù)不同：橢圓有4個(gè)頂點(diǎn)、雙曲線有2個(gè)頂點(diǎn)、拋物線只有1個(gè)頂點(diǎn)；

3、焦點(diǎn)個(gè)數(shù)不同：橢圓和雙曲線各有2個(gè)焦點(diǎn)，拋物線只有1個(gè)焦點(diǎn)；離心率的取值范圍不同：橢圓的離心率的取值范圍是，雙曲線離心率的取值范圍是，拋物線的離心率是；橢圓和雙曲線都有兩條準(zhǔn)線，而拋物線只有一條準(zhǔn)線；橢圓是封閉式曲線，雙曲線和拋物線都是非封閉式曲線，由于拋物線沒(méi)有漸近線，因此在畫拋物線時(shí)切忌將其畫成雙曲線例2、某拋物線的頂點(diǎn)是橢圓的中心，而焦點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.分析：因?yàn)樵摍E圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，左頂點(diǎn)為，所以可直接設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得后可得方程.答案：解：由得：，所以橢圓的左頂點(diǎn)為.由題意設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由，得，故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.三、焦點(diǎn)弦問(wèn)題及其應(yīng)用

4、1、焦點(diǎn)弦如圖，是拋物線過(guò)焦點(diǎn)的一條弦.設(shè)點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，過(guò)分別向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為，則根據(jù)拋物線的定義有.又是梯形的中位線，.綜上可得以下結(jié)論：，其常被稱作拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式.（焦點(diǎn)弦長(zhǎng)與中點(diǎn)的關(guān)系）若直線的傾斜角為，則推導(dǎo)：由的推導(dǎo)知，當(dāng)不垂直于軸時(shí)，當(dāng)不存在時(shí)，即時(shí)，亦成立兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積為定值，即，分析：利用點(diǎn)斜式寫出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立后進(jìn)行證明.要注意直線斜率不存在的情況.推導(dǎo)：焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)不垂直于軸時(shí)，可設(shè)直線的方程為：，由，得：當(dāng)垂直于軸時(shí)，直線的方程為：則為定值推導(dǎo)：由焦半徑公式知，又，代入上式得：為常數(shù)故為定值.2、拋物線中與焦點(diǎn)弦有

5、關(guān)的一些幾何圖形的性質(zhì)（1）拋物線以過(guò)焦點(diǎn)的弦為直徑的圓和準(zhǔn)線相切（2）拋物線中，設(shè)為焦點(diǎn)弦，為準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，則（3）設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)弦. 點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影分別為點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，則；為拋物線的頂點(diǎn)，若的延長(zhǎng)線交準(zhǔn)線于點(diǎn)，連接，則平行于軸，反之，若過(guò)點(diǎn)作平行于軸的直線交準(zhǔn)線于點(diǎn)，則三點(diǎn)共線.（4）通徑是所有焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦）中最短的弦.例3、已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，軸為對(duì)稱軸，經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)且傾斜角為的直線，被拋物線所截得的弦長(zhǎng)為6，求拋物線方程.解：當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在軸正半軸上時(shí)，可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為.設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)分別向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為點(diǎn)，則有：，由，消去，得，即，代入式得：所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸上時(shí)，用同樣的方法可求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是：例4、已知拋物