數(shù)學物理方程有限差分法

1、數(shù)學物理方法課程報告題 目：聲波有限差分法數(shù)值模擬學生姓名：xxx學 號：xxx學 院：地球科學與技術學院專業(yè)班級：xxxx教 師：xxx2016年 4月12日 聲波有限差分法數(shù)值模擬 Xxx （地球科學與技術學院研15級 學號：xxx）摘要：數(shù)值模擬是最常用的正演模擬的方法。它通過給出的結構模型和物理參數(shù)，模擬地震波的傳播軌跡，了解其規(guī)律以及過程，然后通過計算來推斷觀測點的地震記錄。根據(jù)求解方法，地震波方程數(shù)值解法可分為有限元法、偽譜法、有限差分法。根據(jù)本門課程的要求，并且有限差分法具有內存占用較小，精度較高等優(yōu)點，本文主要采用這種方法進行模擬。關鍵詞：數(shù)值模擬，聲波，有限差分 正文1、 引

2、言在勘探過程中，數(shù)值模擬的作用很大。例如：1、采集上，可用于設計或者優(yōu)化野外觀測系統(tǒng)；2、處理上，可以通過數(shù)值模擬來檢驗是否采用了正確的反演方法。將正演反演不斷的逼近，從而使結果更加準確；3、解釋上，還可以檢測一下解釋的資料是否正確。而有限差分法是數(shù)值模擬最常用的方法，本文利用有限差分法，通過對聲波進行正演模擬，來了解其在地下的傳播規(guī)律及特點。2、 二維各向同性介質聲波方程數(shù)值模擬 使用規(guī)則網(wǎng)格差分對二階方程進行求解。 具體過程： 在x方向上，關于對稱分布的2N個網(wǎng)格節(jié)點的坐標分別為， ，。其 中，表示節(jié)點間的最小間距；表示任意正整數(shù)。2N個網(wǎng)格節(jié)點所對應的函 數(shù)值已知，分別為， ，。利用Ta

3、ylor級數(shù)展開求解 在點處的一階導數(shù)近似值。 其中，i=1,2，N 將上述兩式相加，省略式中的誤差項，得到 (1) 將相減后得到的式子整理成矩陣形式，有 (2) 為了簡化矩陣，可以記作， 同時，構造兩個簡單矩陣，輔助計算整理的， 假設存在，使得，也可得；即為的逆，得到 。式子兩邊右乘向量就可得 (3) 由式（2）可得 (4) 同時，假設 （5） 將帶入式（4），得 （6） 整理得 可結合式（3）和式（5），可得到矩陣計算式： （7） 當?shù)闹荡_定后，可根據(jù)式（7）來求解的值，從而計算出的值。利用式（7）可以求得對稱任意節(jié)點間距的一階導數(shù)差分系數(shù)。其中，當取值為 ,則式（7）可表示為 （8） 此

4、時，所求得的就是等節(jié)點間距的一階導數(shù)的規(guī)則網(wǎng)格不同差分精度的差分系數(shù)（表1所示）。 表1 二階導數(shù)規(guī)則網(wǎng)格各階精度的差分系數(shù)2L2-2.000001.000004-2.500001.33333-8.33333E-26-2.722221.50000-1.50000E-11.11111E-28-2.847221.60000-2.00000E-12.53968E-2-1.78571E-310-2.927221.66667-2.38095E-13.96825E-2-4.96032E-33.17460E-412-2.982781.71429-2.67857E-15.29101E-2-8.92857E-3

5、1.03896E-3-6.01251E-5二維聲波方程的形式可表示為：（9）時間導數(shù)采用2階，空間導數(shù)采用2N階近似，即帶入式（9）中，可得到在固定網(wǎng)格下，差分格式為（10）3、模型測試：震源選?。?正演模擬過程中采用雷克子波作為震源子波，雷克子波的表達式為 Source (it) =(1-2 fm (t-t0)2 )e-2 fm (t-t0)2模型建立： 建立了一個兩層介質模擬，其上層縱波速度為v=2000m/s，下層縱波速度為v=3000m/s。模型大小為200×200，空間采樣間隔為dx=dz=10m。采用30Hz的雷克子波作為震源子波，震源位于模型(70,100)處，時間采樣間隔為1ms。結果分析： it=50 it=100 it=150 it=200 it=250 it=300 it=350 it=400 圖2 不同時刻波場快照圖中可以看出，在未遇到界面前，地震波在均勻介質中的波前面一個圓。當遇到地層界面之后，在界面處發(fā)生了反射、透射和折射現(xiàn)象。沿測線方向的地震記錄如圖2所示。記錄中存在兩條直線狀的同相軸和兩條近似雙曲線的同相軸。由于直達波的時距曲線是直線，因此兩條直線同相軸對應直達波；由于反射波的時距曲線是近似雙曲線，因此近似雙曲線同相軸對應的是反射波。參考文獻1 劉慶敏，高階差分數(shù)值模擬方法研究與