數(shù)論講義無窮遞降法

1、數(shù)論講義第七節(jié)無窮遞降法一. 基礎(chǔ)知識1659年，法國數(shù)學(xué)家費馬寫信給他的一位朋友卡爾卡維，稱自己創(chuàng)造了一種新的數(shù)學(xué)方法由于費馬的信并汶有發(fā)表，人們一直無從了解他的這一方法直到1879年，人們在荷蘭萊頓大學(xué)圖書館惠更斯的手稿中發(fā)現(xiàn)了一篇論文，才知道這種方法就是無窮遞降法無窮遞降法是證明某些不定方程無解時常用的一種方法其證明模式大致是：先假設(shè)方程存在一個最小正整數(shù)解，然后在這個最小正整數(shù)解的基礎(chǔ)上找到一個更小的解，構(gòu)造某種無窮遞降的過程，再結(jié)合最小數(shù)原理得到矛盾，從而證明命題無窮遞降法在解決問題過程中，主要有兩種表現(xiàn)形式：其一，由一組解出發(fā)通過構(gòu)造得到另一組解，并且將這一過程遞降下去，從而得出矛

2、盾；其二，假定方程有正整數(shù)解，且存在最小的正整數(shù)解，設(shè)法構(gòu)造出方程的另一組解(比最小正整數(shù)解還要小)，從而得到矛盾無窮遞降法的理論依據(jù)是最小數(shù)原理二.無窮遞降法的應(yīng)用1.無理數(shù)的證明例1.證明：是無理數(shù).2.方程解的判定例2.證明：方程無正整數(shù)解.例3.證明方程除了解外沒有其它整數(shù)解.例4.找出滿足方程（其中是正整數(shù)）的所有正素數(shù).（2000年匈牙利）3.存在性的證明例5.設(shè)是給定的正整數(shù)，記.證明：存在正整數(shù)，使得為一個整數(shù).這里，表示不小于實數(shù)的最小整數(shù).例如：例6.設(shè)為一個正整數(shù)的平方，并且.證明：至少有一個.4.典型問題例7.設(shè)有個整數(shù)，在其中任意取出一個數(shù)，其余的個數(shù)總可以分為兩個無

3、公共元素的子集，使每個子集中各數(shù)之和相等，那么必全為零.例8.證明： 沒有正整數(shù)解。證 假如 有正整數(shù)解，那么 也一定有正整數(shù)解，所以，要證明 沒有正整數(shù)解，只要證明 沒有正整數(shù)解就可以了。 下面用“無窮遞降法”來證明： 假設(shè) 有正整數(shù)解，那么，在這些正整數(shù)解中，一定可以找到一組解、 ，使得 ，而且其中的 是各組解的 中最小的一個。 顯然 、 沒有大于1的公約數(shù)。因為，假如有公約數(shù) ，則有 ，可見 、 是 的另一組正整數(shù)解，而且 ，這就與“ 是各組解的 中最小的一個”發(fā)生矛盾，所以不可能有大于1的公約數(shù)。 由于 、 沒有大于1的公約數(shù)，所以 、 也沒有大于1的公約數(shù)。由于 ，可見 、 是一組互

4、素的勾股數(shù)。根據(jù)“勾股數(shù)公式”，這時必有互素的正整數(shù) 、 使得（不妨設(shè) 是奇數(shù)） ， ， 。由于 ，而且 與 沒有大于1的公約數(shù)（假如 與 有公約數(shù) ，則 也應(yīng)該有約數(shù) ，這就與 、 互素發(fā)生矛盾），可見 、 是一組互素的勾股數(shù)。根據(jù)“勾股數(shù)公式”，這時必有互素的正整數(shù) 、 使得（前面已設(shè) 是奇數(shù)） ， ， 。 這時有 。 因為 、 互素，所以 、 兩兩之間都沒有大于1的公約數(shù)，而它們的乘積卻是一個完全平方數(shù)，可見 、 三個數(shù)本身都必須是完全平方數(shù)，即一定有正整數(shù) 、 ，使得 ， ， 。 這樣，就有 ，可見 、 是 的一組解。而且有 ，這就與“ 是各組解的 中最小的一個”發(fā)生矛盾，所以假設(shè)“ 有正整數(shù)解”不成立。由此可見，“ 有正整數(shù)解”也不成立。例9.正五邊形的每個頂點對應(yīng)一個整數(shù)使得這五個整數(shù)的和為正.若其中三個相連頂點相應(yīng)的整數(shù)依次為，而中間的，則要進行如下的操作：整數(shù)分別換為.只要所得的五個整數(shù)中至少還有一個為負時，這種操作就繼續(xù)進行.問：是否這樣的操作進行有限次后必定終止.例10.設(shè)，求證：如果是素數(shù)，那么數(shù)都是素數(shù).三.課后練習(xí)1.證明：四元二次不定方程沒有非零整數(shù)解.2.求方程的整數(shù)解.3.求證：除外，方程沒有別的整數(shù)解.4.設(shè)正整數(shù)滿足，求證：.5.證明：兩個平方數(shù)的和與差無正整數(shù)