數(shù)學建模A題論文

1、靶標圓心像坐標確定與數(shù)碼相機定位摘要數(shù)碼相機實現(xiàn)定位功能，需確定靶標圓心的像坐標。本文就如何確定靶標圓心像坐標展開了討論，并給出了計算兩部相機相對位置的模型。在問題一中，我們采用坐標變換的方法建立確定靶標圓心像坐標的模型。根據(jù)坐標系之間的關(guān)系，分別通過物坐標系的旋轉(zhuǎn)、平移以及相機坐標系的縮放，引入繞物坐標系三坐標軸旋轉(zhuǎn)的角度以及物坐標系平移的量度等參數(shù)確定出物坐標系到像坐標系變換的方程，由此即可得到求解靶標圓心像坐標的模型。求解方程里面的參數(shù)時，考慮到計算的方便，我們選擇兩圓內(nèi)公切線的交點作為標定點。計算它們的物坐標與像坐標，代入上述方程即可求得參數(shù)的值。對于問題二，根據(jù)圓的有關(guān)性質(zhì)，兩條內(nèi)公

2、切線的斜率(或斜率倒數(shù))分別為連接對應(yīng)兩圓上任意兩點連線斜率(或斜率倒數(shù))的最大值和最小值?；诖?，容易求得像坐標系里面對應(yīng)的內(nèi)公切線的方程，它們的交點即為標定點的像坐標，對應(yīng)的物坐標容易得到。然后將這些標定點的坐標分別代入問題一建立的物坐標系到像坐標系變換的方程，求解得到相應(yīng)的參數(shù)，的值。最后再將各園圓心的物坐標代入上述方程，求得各圓圓心像坐標結(jié)果為：A(-49.8577，50.6559)，B(-24.5423，49.1824)，C(32.5168，48.5784)，D(18.3139，-30.6194)，E(-60.3038，-30.3856)。在問題三中，我們選取物坐標系里面一條直線上的

3、9個點，對它們對應(yīng)的像坐標進行一元線性回歸分析，對模型的精度進行檢驗；最終得到這9個點擬合優(yōu)度為0.9096非常接近1，說明模型精度較高。對于模型穩(wěn)定性的分析，我們將各圓圓心的物坐標向左偏移1mm,考查對應(yīng)的像坐標的變化；得到各圓心像坐標的偏移量的平均值與圓心物坐標的偏移量的相對誤差是2.62%，說明模型穩(wěn)定性較好。最后我們對問題一、二中模型進行了檢驗，在A,C,D,E四個圓上分別選取一些特定的點，利用它們的像坐標分別求出其對應(yīng)的物坐標，找到這些物坐標與對應(yīng)圓心物坐標之間的距離，比較這些距離同圓半徑的實際值(即12mm)的差值，最終得到它們相對誤差的平均值是1.66%，說明模型的可行性是較高的

4、。在問題四中，我們將兩部相機對應(yīng)的相機坐標系與同一個物坐標系進行轉(zhuǎn)換，得到它們相機坐標系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系即得到了它們的相對位置。關(guān)鍵詞：坐標轉(zhuǎn)換 內(nèi)公切線交點 一元線性回歸分析 1 問題的重述數(shù)碼相機定位采用的是雙目定位，即用兩部相機來確定物體表面某些特征點的位置。當確定了兩部相機精確的相對位置后，即確定了特征點的位置。所以精確地確定兩部相機的相對位置是關(guān)鍵，這一過程稱為系統(tǒng)標定。標定的一種做法是在物平面上畫若干個圓（稱為靶標），它們的圓心就是幾何的點了。而它們的像一般會變形，所以必須從靶標上的這些圓的像中把圓心的像精確地找到，標定就可實現(xiàn)。為此，題目給出圖1和圖2兩張圖片： 圖1 靶標原像 圖

5、2 靶標像基于此求解下列問題：問題一，建立數(shù)學模型和算法以確定靶標上圓的圓心的像坐標；問題二，計算靶標上圓的圓心的像坐標；問題三，設(shè)計一種方法對模型的精度和穩(wěn)定性進行討論；問題四，建立兩部固定相機相對位置的數(shù)學模型。2 問題的假設(shè)(1) 假設(shè)數(shù)碼相機沒有任何質(zhì)量問題,即不考慮其給問題帶來的誤差；(2) 假設(shè)用于定位的兩部相機規(guī)格相同。3 符號說明 光學中心到像平面的距離，即像距 物坐標系到相機坐標系旋轉(zhuǎn)矩陣 物坐標系到相機坐標系平移矩陣，其中 物坐標系分別繞x,y,z軸的旋轉(zhuǎn)角度 物體的物坐標 物體的相機坐標 物體的像坐標 標定的五個內(nèi)功切線的交點() 對應(yīng)于的像4 問題的分析和基本思路對于問

6、題一，為了將靶標上圓的圓心的像坐標精確的找到，考慮坐標變換。分別引入物坐標、相機坐標與像坐標的概念，基于各坐標系的關(guān)系，通過坐標系的旋轉(zhuǎn)、平移以及縮放(此過程中待定的參數(shù)有物坐標系圍繞各坐標軸旋轉(zhuǎn)的角度、物坐標系平移的量度()，建立物坐標與像坐標轉(zhuǎn)換的方程，則確定了靶標上圓的圓心的像坐標的模型就建立起來了。對于問題二，基于問題一的模型，各圓的圓心的物坐標代入問題一建立的物坐標與圖像坐標轉(zhuǎn)化的方程，為了求出它們的像坐標，必須算出各待定參數(shù)的具體數(shù)值。為此，必須找到物坐標與像坐標都明確的一些點，利用它們求得待定參數(shù)的數(shù)值?？紤]任意兩圓內(nèi)公切線的交點坐標容易求得，所以選取它們來求解參數(shù)的數(shù)值。問題三

7、，對模型的精度進行檢驗時，我們考查在物坐標里面在一條直線上的若干個點，根據(jù)成像原理，它們對應(yīng)的像應(yīng)該也在一條直線上。故可求得這些點的像坐標，對它們進行一元線性回歸分析，檢驗相應(yīng)的精度。對于模型穩(wěn)定性的分析，我們將各圓心的物坐標都向左平移1mm，考察它們對應(yīng)的像坐標與未平移前圓心的像坐標之間的差值。對于問題四，我們可以分別求出兩個相機對應(yīng)的相機坐標系和同一個物坐標系之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系。然后通過物坐標系，把兩個相機坐標系聯(lián)系起來。求出兩個相機坐標系之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，由此就可以確定兩個相機的相對位置了。5 問題一的解決基于問題的分析，要建立靶標上圓的圓心的像坐標的模型，就是建立物坐標與像坐標之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系

8、。為此，分下面幾步建立模型。5.1 坐標系的定義（1)物坐標系物坐標系是就是描述物體實際位置的坐標系。在本題中為方便求解，設(shè)定物坐標系的原點為圖1的中心，其z軸垂直于靶標平面，x軸、y軸同正方形相鄰邊分別平行,對應(yīng)的坐標分別用來表示。（2)相機坐標系相機坐標系是以相機的光學中心為原點，以光軸為z軸的坐標系，坐標表示為。（3)像坐標系 圖像坐標系是定義在像平面上的直角坐標系，原點位于給定的圖2的中心，其xoy面與光軸垂直，x軸與軸同向，y軸與軸同向，其坐標具體表示為。5.2 模型建立5.2.1 物坐標系到相機坐標系的轉(zhuǎn)換由于物坐標系和相機坐標系的位置和角度不同，所以考慮經(jīng)過旋轉(zhuǎn)和位移兩個變化將兩

9、個坐標系重合，這里引入旋轉(zhuǎn)矩陣R和平移矩陣T，具體變換過程如下：如果將物坐標系繞其z軸旋轉(zhuǎn)角時（方向是逆著對應(yīng)軸向原點看去逆時針旋轉(zhuǎn)，下同），旋轉(zhuǎn)矩陣為;接著, 坐標系繞著x軸旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)矩陣為;最后,繞著y軸旋轉(zhuǎn)角, 旋轉(zhuǎn)矩陣為。平移物坐標系原點到相機坐標系原點（即光心），可用變換矩陣T完成,設(shè)：T=經(jīng)過上述兩個過程，就實現(xiàn)了物坐標系和相機坐標系的重合，得到物坐標里的點在相機坐標系中的坐標，它們之間的轉(zhuǎn)換式為：，也可以寫成=（1）其中，R為一個3行3列的旋轉(zhuǎn)矩陣，是對三個坐標軸進行旋轉(zhuǎn)變換后的綜合旋轉(zhuǎn)矩陣。5.2.2 旋轉(zhuǎn)矩陣R的確定旋轉(zhuǎn)矩陣R的確定，必須分別求得對應(yīng)的。下面以繞z軸旋轉(zhuǎn)角度,

10、求解為例，探究求解旋轉(zhuǎn)矩陣的辦法，得到圖3：xz（）y()投影M(x,y,0)圖3 物坐標系繞z軸旋轉(zhuǎn)角度立體圖因為物坐標系圍繞著z軸旋轉(zhuǎn)，所以點其z坐標是不變的，只需確定橫、縱坐標的變化。為了表示的更直觀一些，取xoy坐標面，得到圖4：xyoyxM圖4 物坐標系繞z軸旋轉(zhuǎn)角度平面圖由圖4，易得到下列公式：因為，所以上式可化為： 又因為，故可得到，其中A=這樣=，得到旋轉(zhuǎn)矩陣=；同理可得繞x軸旋轉(zhuǎn)角得到旋轉(zhuǎn)矩陣；繞y軸旋轉(zhuǎn)角得到旋轉(zhuǎn)矩陣為.綜上，繞這三個坐標軸進行旋轉(zhuǎn)變換后的綜合旋轉(zhuǎn)矩陣R=，所以最終得到旋轉(zhuǎn)矩陣：R= 相機坐標系到像坐標系的轉(zhuǎn)換根據(jù)照相機的構(gòu)造原理可知，從相機坐標系到圖像坐標

11、系是一個縮放的過程，縮放比例是，這個關(guān)系用矩陣表示為：(2) 物坐標系到像坐標系的轉(zhuǎn)換綜合(1)(2)式可知從物坐標系經(jīng)過相機坐標系轉(zhuǎn)化到圖像坐標系的關(guān)系，用矩陣可以表示為：其中的雖然是未知量，但可以由(2)式得到其用，來表示，表示公式為：，其中表示旋轉(zhuǎn)矩陣的第i行j列元素，由此得到從物坐標系到圖像坐標系的表達式為：（3）其中為的表達式:所以對于(3)式只要求出參數(shù)和，這個轉(zhuǎn)化關(guān)系就明確，由此求解靶標上圓的圓心的像坐標的模型也就建立出來了。6 問題二的解決6.1 標定點選擇結(jié)合方程(3)， 找到5個內(nèi)公切線的交點的物坐標及對應(yīng)的像坐標即可求得方程(3)的各參數(shù)。為了便于說明，選取圖5所示5個內(nèi)

12、公切線的交點（標定點），圖中自左上角順時針旋轉(zhuǎn)分別是圓A，C，D，E的像，各標定點分別用字母來表示：圖5 標定點的選取結(jié)合圓的有關(guān)性質(zhì)，對于如圖6中所示的兩圓中，在兩圓上分別選取兩點連線的斜率必將介于兩條內(nèi)公切線的斜率之間（兩內(nèi)公切線的斜率分別為兩圓上任意兩點連線斜率的最大值和最小值），即有關(guān)系式（為斜率）：圖6 圓與內(nèi)公切線（平放）而對于如圖7所示的兩圓中，在兩圓上分別選取兩點連線的斜率的倒數(shù)必將介于兩條內(nèi)公切線的斜率的倒數(shù)之間，即有關(guān)系式：圖7 圓與內(nèi)公切線（豎放）在圖1經(jīng)過相機照相得到圖2過程中，雖然圓的像不是規(guī)則的圓形，根據(jù)成像原理，像的變化具有整體性，可得上面的原理在像中依舊成立。這

13、樣就可先求得相應(yīng)兩圓的像任意兩點的斜率（或斜率倒數(shù)），在其中找到最大者和最小者，即分別為兩條內(nèi)公切線的斜率(或斜率倒數(shù))。由此求得對應(yīng)的內(nèi)公切線的方程，它們的交點即為所求標定點。6.2 標定點像坐標的計算利用matalb編程1將圖2中各圓像輪廓所有點的像坐標找出來，然后再利用matlab2計算給定兩圓邊緣上兩點連線的最大斜率與最小斜率，然后找出對應(yīng)的切點，利用點斜式算得兩條內(nèi)公切線方程，進而求得對應(yīng)的標定點的像坐標。下面以計算點為例具體闡述計算像坐標的方法。為方便說明，在圖5提取圖8：AC圖8 A、C的像內(nèi)公切線與焦點基于上述分析，得到A,C像上任意兩點斜率的最大值與最小值分別為，所以直線,的

14、斜率分別為:,同時，得到點的像坐標分別為:,利用求解直線方程的點斜式: ，整理得到：(4)由方程(4)得到的像坐標為.用同樣的辦法可以求得的像坐標（注意,像坐標求解時，尋找內(nèi)公切線的斜率時，是所有任意兩個點連線斜率倒數(shù)的最大值與最小值），比照內(nèi)功切線交點的物坐標，最終得到表1：表1 標定點物坐標與像坐標標定點原像物坐標()標定點像像坐標()(0,50,0)(-6.9767,48.1604)(0,0,0)(-12.6984,7.6720)(0,-50,0)(-20.6349,-30.6878)(-50,0,0)(-54.7619,8.9941)(50,0,0)(25.6614,5.8201)6.

15、3求解方程(3)待定參數(shù)將表1的相關(guān)數(shù)據(jù)代入方程(3)，利用lingo求解得到參數(shù)的計算結(jié)果見表2：表2 參數(shù)計算結(jié)果參數(shù)求解結(jié)果-12.17855.4722497.6689再將計算的各參數(shù)的結(jié)果代入方程(3)，并且注意到，最終得到物坐標系到像坐標系的轉(zhuǎn)換表達式為：（5）6.4 靶標圓心像坐標的確定容易得到各圓心的物坐標，見表3：表3 各圓心物坐標圓心物坐標A(-50,50)B(-20,50)C(50,50)D(50,-50)E(-50,-50)將各圓心的物坐標分別代入方程(5)，得到它們的像坐標見表4，問題二得以解決：表4 各圓心像坐標圓心像坐標A(-49.8577,50.6559)B(-2

16、4.5423,49.1824)C(32.5168,48.5784)D(18.3139,-30.6194)E(-60.3038,-30.3856)7 問題三的解決7.1 問題一、二模型的精度分析對于問題三，根據(jù)成像原理，原像中的直線在它對應(yīng)的像中，仍然保持一條直線。所以我們選取物坐標系中在一條直線上的幾個點，由問題一、二求得的物坐標與圖像坐標之間的轉(zhuǎn)換，算出它們在圖像坐標系里面對應(yīng)的坐標，然后利用一元線性回歸分析的方法判斷它們是否成直線分布，根據(jù)結(jié)果對模型進行檢驗。在物坐標系里面，可以確定下面9個點(圖9)在一條直線上：ABCA左A右B左B右C左C右圖9 進行檢驗的9個點容易求得它們的物坐標，見

17、表5：表5 進行檢驗的9個點物坐標點物橫坐標物縱坐標A左-6250A-5050A右-3850B左-3250B-2050B右-850C左3850C5050C右6250將它們的坐標分別代入方程(5)，求得它們對應(yīng)的像坐標，計算結(jié)果見表6：表6 進行檢驗的9個點圖像坐標對應(yīng)的像像橫坐標x像縱坐標yA左-61.471650.7148A-49.857750.6559A右-39.072350.1347B左-31.831750.0626B-24.542349.1824B右-9.472349.0723C左20.192748.9012C32.516848.5784C右43.734548.1258利用matlab

18、對表6涉及的點進行一元線性回歸分析，得到它們在顯著性水平為0.05下的回歸方程為:(6)并且p值為0.0001遠小于0.05，擬合優(yōu)度為0.9096，說明直線方程(6)能很好的反應(yīng)這9個點圖像坐標的關(guān)系，認為它們的分布符合一條直線是合理的，模型精度較高。7.2 問題一、二模型的穩(wěn)定性分析對模型的穩(wěn)定性進行檢驗，我們具體的做法是：令靶標上的五個圓圓心分別向左偏移1mm，來計算各圓心的像的像坐標。比較偏移前后圓心像坐標的變化，對模型的穩(wěn)定性進行分析。將各圓心分別向左偏移1mm得到各圓心的坐標如表7：表7 圓心向左偏移1mm后的物坐標圓心(偏移)物橫坐標物縱坐標A-5150B-2150C4950D4

19、9-50E-51-50由問題二的計算結(jié)果可知，移動前的各圓心的像坐標如表8：表8 圓心偏移前像坐標圓心像橫坐標像縱坐標A-49.857750.6559B-24.542349.1824C32.516848.5784D18.3139-30.6194E-60.3038-30.3856將表7的數(shù)據(jù)代入方程(5),得到各圓心分別向左平移1mm后得到各圓圓心的像坐標，見表9表9 圓心偏移后的像坐標圓心(偏移)像橫坐標像縱坐標A-50.265550.4574B-25.232248.836C31.650747.9526D17.8788-29.9348E-61.975-29.8224 進一步計算得到移動前后圓心

20、像的總偏移量是：=4.8688mm其中分別代表A,B,C,D,E，進一步求得平均偏移量=0.9738mm平均偏移量非常接近1mm；偏移量的相對誤差是，這樣模型的穩(wěn)定性就得到了檢驗。7.3 問題一、二模型的檢驗進行模型檢驗時，可在各圓像的輪廓上選取若干個點(這兒每個圓選取4個點)的像坐標，利用方程(5)推出它們對應(yīng)的物坐標。在模型沒有誤差的情況下，這些點的物坐標應(yīng)該在對應(yīng)圓的圓周上，它們與對應(yīng)圓的圓心的距離應(yīng)該為12mm。為此，我們計算這些點的物坐標與對應(yīng)圓心的距離同12的相對誤差，根據(jù)相對誤差的大小，對模型進行檢驗。為此檢驗過程中，在圓(選A、C、D、E)像的輪廓上選取點的像坐標、求得對應(yīng)的物

21、坐標、物坐標與相應(yīng)圓心的距離、距離的均值見表10：表10 模型檢驗表格（單位：mm）點像橫坐標像縱坐標物橫坐標物縱坐標離心距離距離均值園A的像輪廓上選取的4個點-46.682458.3216-49.073461.332511.370312.5003-58.597749.8499-62.117349.651812.1223-39.561540.9986-38.708641.001914.4382-49.498339.3504-50.239537.931912.0705園C的像輪廓上選取的4個點34.635950.887250.637261.689511.706912.016424.130142.

22、793438.249850.321311.754642.912440.992861.835950.229511.838133.636631.453251.030137.275412.7662園D的像輪廓上選取的4個點28.8282-29.824450.2163-37.778412.223511.810318.8822-39.566338.9842-50.122311.016537.7018-41.184161.9538-50.606111.969227.5855-50.205950.3844-62.025912.032園E的像輪廓上選取的4個點-55.6822-24.4521-50.2736-

23、38.193911.809311.9074-67.0758-33.2058-62.3171-49.168512.3451-46.0506-34.6771-38.0687-49.299211.9519-57.4385-44.5837-50.0616-61.523311.5235由此可以計算每個距離均值與12mm的相對誤差：4.17% 0.14%1.58% 0.77%平均相對誤差rel=1.66%,由此可見，計算結(jié)果是比較準確的，模型具有很高的可信度。8 問題四的解決在問題一的基礎(chǔ)上，我們考慮有兩臺照相機給同一靶標照相的情形。對于第一臺照相機，其相機坐標為，我們有：其中分別是從物坐標系到第一個相機

24、坐標系的旋轉(zhuǎn)矩陣和位移矩陣。同樣地，對于第二臺照相機，其相機坐標為我們有：其中是從物坐標系到第二個相機坐標系的旋轉(zhuǎn)矩陣和位移矩陣。將上述兩個等式變形得到：= 和=因為兩個照相機是對同一物體(特征點)進行拍照，這樣我們有：=將其變形就可得到:(6)等式(6)即反映了兩個相機的相對位置，并且可以得到從第一個相機坐標系到第二個相機坐標系的旋轉(zhuǎn)矩陣為=，位移矩陣為=.9 模型的優(yōu)缺點及改進方向（1）模型的優(yōu)點對于問題一，采用坐標變換的思想建立求解靶標圓心像坐標的模型，方法上通俗易懂，易于操作。問題二中，把兩圓的內(nèi)公切線的交點作為標定點，基于對斜率的分析，容易求得它們的像坐標，與找其它標定點，方法簡單很

25、多。（2）模型的缺點對于問題一建立的物坐標系到像坐標系的轉(zhuǎn)換方程，里面的參數(shù)比較多，利用lingo求解時花費的時間比較長。問題三中，對模型的精度以及穩(wěn)定性進行討論時使用的數(shù)據(jù)較少，誤差較大。（3）模型的改進對問題三進行模型精度與穩(wěn)定性討論時，多選取幾個數(shù)據(jù)，增加可信度。在模型檢驗中我們分別在四個圓的像中上選取了四個點，結(jié)果不具有一般性。因此可以取出圓的像中輪廓的所有坐標點(這些坐標都是像坐標)，將這些坐標代入(5)式中求得它們所對應(yīng)的物坐標，然后將這些物坐標與給定圖1的圓的坐標進行比對，重合的點數(shù)越多則說明我們所建立的模型越好。參考文獻1 張德豐等,MATLAB數(shù)字圖像處理，北京：機械工業(yè)出版

26、社，20092 國外計算機科學教材系列,數(shù)值方法（MATLAB版）.第四版,北京：電子工業(yè)出版社，2010附錄1.matlab程序代碼1%輸出提取的邊緣點的的坐標（像素坐標）bound=;h=0;a=B;while h=0 m=; for i=1:length(a(:,1) for j=1:length(a(1,:) if a(i,j)=1 break; end end if a(i,j)=1 break; end end if i=768&j=1024 h=1; break; else hh=0; while hh=0 a(i,j)=0; m=m;i,j; if a(i+1,j)=1

27、 i=i+1; elseif a(i-1,j)=1 i=i-1; elseif a(i,j+1)=1 j=j+1; elseif a(i,j-1)=1 j=j-1; elseif a(i-1,j-1)=1 i=i-1;j=j-1; elseif a(i-1,j+1)=1 i=i-1;j=j+1; elseif a(i+1,j-1)=1 i=i+1;j=j-1; elseif a(i+1,j+1)=1 i=i+1;j=j+1; else hh=1; end end end for i=1:length(a(:,1) for j=1:length(a(1,:) if a(i,j)=1 if a(i

28、-1,j)=0&a(i+1,j)+0&a(i,j-1)=0&a(i,j+1)=0&a(i-1,j+1)=0&a(i-1,j-1)=0&a(i+1,j+1)=0&a(i+1,j-1)=0 a(i,j)=0; end end end end bound=bound,m;endbound(2)=;2.matlab程序代碼2%求內(nèi)公切線的斜率function Kmax,Kmin=zx(Ax,Bx,Ay,By)xl=zeros(235*212,1);l=1;for i=1:235 for j=1:212 if (Bx(j)-Ax(i)0 xl(l)

29、=(By(j)-Ay(i)/(Bx(j)-Ax(i); l=l+1; end endendKmax,cc=max(xl);m=ccKmin,dd=min(xl);n=dd3.matlab程序代碼3%像素坐標與像坐標轉(zhuǎn)換A1=(A-512)./3.78;%A為圖像橫坐標像素矩陣B1=(384-B)./3.78;%B為圖像縱坐標像素矩陣A1B14.matlab程序代碼4%當圓心坐標偏移1mm時圓心像的坐標偏移量算法（穩(wěn)定性分析）Ox=-49.8577 -24.5423 32.5168 18.3139 -60.3038;Oy=50.6559 49.1824 48.5784 -30.6194 -30.3856;Ox1=-50.2655 -25.2322 31.6507 17.8788 -61.975;Oy1=50.4574 48.836 47.9526 -29.9348 -29.8224;dd=(Ox-Ox1).2+(Oy-Oy1).2).(1/2)m=sum(dd)n=m/55.matlab程序代碼5(模型檢驗)Ax=-49.0734 -62.1173 -38.7086 -50.2395;%由給定像A邊緣上四個點坐標解出的對應(yīng)的物A