無窮等比數(shù)列各項的和

1、7.7 無窮等比數(shù)列各項的和課表解讀1.理解無窮等比數(shù)列各項的和的含義，掌握無窮等比數(shù)列各項的和的公式，會求無窮等比數(shù)列各項的和。2.會利用求無窮等比數(shù)列各項的和的方法把循環(huán)小數(shù)化為分數(shù)。3. 會用無窮等比數(shù)列各項和解決相關問題。目標分解1. 無窮等比數(shù)列的各項和的定義：我們把的無窮等比數(shù)列的前n項的和，當時的極限叫做無窮等比數(shù)列的各項和，并用符號S表示，記作2. 無窮遞縮等比數(shù)列的定義：把的無窮等比數(shù)列成為無窮遞縮等比數(shù)列。解釋“無窮遞減縮等比數(shù)列”：(1)數(shù)列本身是等比數(shù)列；(2)當時，數(shù)列單調(diào)遞減，故稱“遞縮”；(3)當時，數(shù)列為無窮數(shù)列。強調(diào)：(1)只有當無窮等比數(shù)列的公比q滿足時，其

2、前n項和的極限才存在；（當時，極限不存在；當時，不存在；當時，不存在）(2)無窮等比數(shù)列各項的“和”已經(jīng)不同于初等數(shù)學中的有限項的“和”，它已經(jīng)不是代數(shù)和，實質(zhì)上是一個無窮數(shù)列的極限！(3)應用：化循環(huán)小數(shù)為分數(shù)。問題分析一、無窮等比數(shù)列各項和例1. 計算分析：是無窮等比數(shù)列前n項和的極限，即等于+，可以利用無窮等比數(shù)列各項和的公式來計算，同理，分母也可以作類似計算，由于分子、分母都有極限，因此可以利用極限運算法則。解： = =例2. 無窮遞縮等比數(shù)列各項和是4，各項的平方和是6，求各項的立方和。解：設首項為a，公比為則各項的立方和：二、無窮等比數(shù)列各項和的應用例3. 已知等比數(shù)列的首項為，公

3、比為，且有， 求首項的取值范圍。解： 一定存在?；?當時， 當時，由得， ，且 綜上，得且或例4. 已知無窮等比數(shù)列各項和等于3，各項的平方組成的數(shù)列各項的和等于，求數(shù)列（即各項的立方組成的數(shù)列）各項的和。解：設數(shù)列的首項為，公比為，依題意， 可知，據(jù)題意，得 數(shù)列各項的和為點評：無窮等比數(shù)列各項的和是指前n項和的極限，當時，；當時，這一極限不存在，換言之，在無窮等比數(shù)列中是存在的充要條件，一定要特別注意公式的含義及適用范圍，要注意S和S的區(qū)別與聯(lián)系。例5. 化下列循環(huán)小數(shù)為分數(shù)： (1)；(2)3.4解(1) =0.29+0. 002 9+0. 00029+。 等式右邊是首項為0. 29，公

4、比是0. 01的無窮等比數(shù)列的各項的和， 所以 = (2) 3.4=3. 4+0. 031+0. 000 31+0. 000 003 1+， 等式右邊是3. 4加上一個首項為0. 031，公比是0. 01的無窮等比數(shù)列的各項的和，所以 3.4= 循環(huán)小數(shù)化為分數(shù)的法則： (1)純循環(huán)小數(shù)化分數(shù)：將一個循環(huán)節(jié)的數(shù)作分子，分母上的數(shù)字都是9，9的個數(shù)是循環(huán)節(jié)上數(shù)字的位數(shù)； (2)混循環(huán)小數(shù)化分數(shù)：所得到分數(shù)的分母上的數(shù)字，前面都是9，后面是0，數(shù)字9的個數(shù)等于一個循環(huán)節(jié)上數(shù)字的位數(shù)，數(shù)字0的個數(shù)等于不循環(huán)數(shù)字的個數(shù)；所得到分數(shù)的分子上的數(shù)是一個循環(huán)節(jié)連同不循環(huán)部分的數(shù)減去不循環(huán)部分所得的差。例6.

5、 如圖，正方形ABCD的邊長為1，聯(lián)結這個正方形各邊的中點得到一個小正方形 A。B，C，D，；又聯(lián)結這個小正方形各邊的中點得到一個更小正方形A。B。C。D。；如此無限繼續(xù)下去，求所有這些正方形周長的和與面積的和。分析：關鍵是求出第n個正方形的邊長與前一個正方形的邊長的關系。解：由題意得：第1個正方形的邊長，第n個正方形的邊長 ，即所有正方形的邊長組成的數(shù)列為1，于是所有正方形的周長組成的數(shù)列4，2，4，這是首項為4、公比為的無窮等比數(shù)列，故所有的正方形的周長之和為。所有正方形的面積組成的數(shù)列為1，這是首項為1、公比為的無窮等比數(shù)列，故所有的正方形的面積之和：知識內(nèi)化 1. 把循環(huán)小數(shù)化為分數(shù)_

6、。 2. 無窮等比數(shù)列1，的各項和等于_。 3. 在等比數(shù)列中，（為銳角），且前n項和滿足，那么的取值范圍_。 4. 若數(shù)列的通項公式是，前n項和為，的值為（ ） (A)0(B)(C)(D) 5. 如圖是一塊半徑為1的半圓形紙板，在的左下端剪去一個半徑為的半圓后得到圖形，然后依次剪去一個更小半圓（其直徑為前一個被剪掉半圓的半徑）得圖形，記紙板的周長、面積分別為、。求(1)；(2) 能力遷移 數(shù)列的首項為，且對任意，與恰為方程的兩根，其中，當，求c的取值范圍?；揪毩曇?、填空題1. 一個無窮等比數(shù)列的各項和為S，首項，公比q<0，則S的取值范圍是_。 2. 已知無窮等比數(shù)列中，則_。 3.

7、 若數(shù)列1，2cos，(2cos)，且，則_。 4. 計算 _。 5. 設等比數(shù)列的公比，且，則_。6. 若，則的值為_。7. 無窮等比數(shù)列的前以項和為，且，則=_。8. a，bR，且，則無窮數(shù)列：1，的和為_。9. 如圖，一動點由原點出發(fā)，首先向右移動1個單位到達A(1，0)點，然后沿著原方向逆時針旋轉(zhuǎn)90°的方向，移動個單位到達，若照此繼續(xù)下去，每次都沿著逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°方向，移動上次所移動距離的一半，則動點移動的極限位置_。10. 正方形上連接等腰直角三角形，再連接正方形，無限重復同一過程，設正方形面積為S，S，S，三角形面積為T，T，T，當S的邊長為2時，這些四

8、邊形與三角形的面積的總和是_。二、選擇題11. 一個無窮等比數(shù)列的第一項是自然數(shù)，公比是一個自然數(shù)的倒數(shù)，此數(shù)列的各項之和是3，那么數(shù)列的前兩項之和是( ) (A)(B)(C)2(D)12. 若數(shù)列的通項公式是，則等于( ) (A)(B)(C)(D)13. 數(shù)列中，則等于( ) (A)(B)(C)(D)14. 等腰三角形ABC中，是頂角，作一個以底角么B為頂角，以BC為腰的等腰三角形ABC，再作一個以為頂角，以BC為腰的等腰三角形ABC，如此下去，則=（ ） (A)30°(B)45°(C)60°(D)90°三、解答題15. 無窮遞縮等比數(shù)列各項和是4，各項的平方和是6，求各項的立方和。16. 設數(shù)列的首項，且記 (1)求； (2)判斷數(shù)列