數(shù)值分析實驗應(yīng)用數(shù)學(xué)研究生

1、數(shù)值分析實驗題 理學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)研究生實驗1 病態(tài)問題與數(shù)值穩(wěn)定性實驗1.1 病態(tài)問題實驗?zāi)康模核惴ㄓ小皟?yōu)”與“劣”之分，問題也有“好”和“壞”之別.對數(shù)值方法的研究而言，所謂壞問題就是問題本身對擾動敏感者，反之屬于好問題.希望讀者通過本實驗對此有一個初步的體會.數(shù)值分析的大部分研究課題中，如線性代數(shù)方程組，矩陣特征值問題，非線性方程及方程組等都存在病態(tài)的問題.病態(tài)問題要通過研究和構(gòu)造特殊的算法來解決，當(dāng)然一般要付出一些代價（如耗用更多的機(jī)器時間，占用更多的存儲空間等）問題提出：考慮一個高次的代數(shù)多項式， （1）顯然該多項式的全部根為1,2，20共計20個，且每個根都是單重的（也稱為簡單的）.

2、現(xiàn)考慮該多項式的一個擾動, （2）式中，是一個非常小的數(shù).這相當(dāng)于是對（1）中的系數(shù)作一個小的擾動.希望比較式（1）和（2）根的差別，從而分析方程（1）的解對擾動的敏感性.實驗內(nèi)容：為了實現(xiàn)方便，介紹兩個Matlab函數(shù)："roots"和"poly". u=roots(a)，其中若變量a存儲n+1維的向量，則該函數(shù)的輸出u為一個n維的向量.設(shè)a的元素依次為，則輸出u的各分量是多項式方程 的全部根；而函數(shù)b=poly(v)的輸出b是一個維變量，它是以維變量的各分量為根的多項式系數(shù).可見"roots"和"poly"是兩

3、個互逆的運算函數(shù).ve=zeros(1,21); ve(2)=ess; roots(poly(1:20)+ve)上述簡單的Matlab程序便得到（2）的全部根，程序中的“ess”即是（2）中的.實驗要求：（1）選擇充分小的ess，反復(fù)進(jìn)行上述實驗，記錄結(jié)果的變化并分析它們.如果擾動項的系數(shù)很小，我們自然感覺式（1）和式（2）的解應(yīng)當(dāng)相差很小.計算中你有什么出乎意料的發(fā)現(xiàn)？表明有些解關(guān)于如此的擾動敏感性如何？（2）將方程（2）中的擾動項改成或其他形式，實驗中又有怎樣的現(xiàn)象出現(xiàn)？（3）請從理論上分析產(chǎn)生這一問題的根源.注意我們可以將方程（2）寫成展開的形式 . （3）同時將方程的解看成是系數(shù)的函數(shù)

4、，考察方程的某個解關(guān)于的擾動是否敏感，與研究它關(guān)于的導(dǎo)數(shù)的大小有何關(guān)系？為什么？你發(fā)現(xiàn)了什么現(xiàn)象，哪些根關(guān)于的變化更敏感？實驗1.2 誤差傳播與算法穩(wěn)定性實驗?zāi)康模后w會穩(wěn)定性在選擇算法中的地位，誤差擴(kuò)張的算法是不穩(wěn)定的，是我們所不期望的；誤差衰竭的算法是穩(wěn)定的，是我們努力尋求的，這是貫穿本課程的目標(biāo).問題提出：考慮一個簡單的由積分定義的序列.顯然利用分部積分易得,. （1）又有.實驗內(nèi)容：由遞推關(guān)系（1），可以得到計算積分序列的兩種算法 算法1： (2)算法2： (3)實驗要求：（1）分別用算法1、算法2并在計算中分別采用5位、6位和7位有效數(shù)字，請判斷哪種算法能給出更精確的結(jié)果.（2）兩種算

5、法的優(yōu)劣，與你的第一感覺是否吻合.請從理論上證明你實驗得出的結(jié)果，解釋實驗的結(jié)果.設(shè)算法1中的計算誤差為,由遞推計算的誤差為；算法2中的誤差為，由向前遞推計算誤差為.如果在上述兩算法中都假定后面的計算不再引入其他誤差，試給出與的關(guān)系和的關(guān)系.（3）算法1中通常會很小，當(dāng)n增大時，的變化趨勢如何？算法2中通常相對比較大，當(dāng)n減小時，誤差又是如何傳播的？也就是說比較一下上述兩個算法，當(dāng)某一步產(chǎn)生誤差后，該誤差對后面的影響是衰減還是擴(kuò)張的.（4）通過理論分析與計算實驗，針對算法1和算法2的穩(wěn)定性，給出你的結(jié)論.實驗2 非線性方程（組）實驗2.1 迭代法、初始值與收斂性實驗?zāi)康模撼醪秸J(rèn)識非線性問題的迭

6、代法與線性問題迭代法的差別，探討迭代法及初始值與迭代收斂性的關(guān)系.問題提出：迭代法是求解非線性方程及方程組的基本思想方法，與線性方程的情況一樣，其構(gòu)造方法可以有多種多樣，但關(guān)鍵是怎樣才能使迭代收斂且有較快的收斂速度.實驗內(nèi)容：考慮一個簡單的代數(shù)方程可以構(gòu)造多種迭代法，如 (1) (2) (3)在實軸上取初始值,請分別用迭代（1）（3）做實驗，記錄各算法的迭代過程.實驗要求：（1）取定某個初始值，分別計算（1）（3）迭代結(jié)果，收斂性如何？重復(fù)選取不同的初始值，反復(fù)實驗，請讀者自行設(shè)計一種比較形象的記錄方式（如利用Matlab的圖形功能），分析三種迭代法的收斂性與初值選取的關(guān)系？（2）對三個迭代法

7、中的某個，取不同的初始值進(jìn)行迭代，結(jié)果如何？試分析迭代法對不同的初值是否有差異？（3）線性方程組迭代法的收斂性是不依賴初始值選取的，比較線性與非線性問題迭代的差異，有何結(jié)論與問題？實驗2.2 迭代與混沌實驗?zāi)康模貉芯恳话愕降膹?fù)雜行為，初步看到混沌現(xiàn)象.實驗內(nèi)容：考慮迭代公式.實驗要求：取中不同的值，并取進(jìn)行迭代，畫出不同情況下的的圖形，并分析取值與圖形的關(guān)系.你將對于迭代法有更深刻的理解.實驗3 線性方程組實驗3.1主元的選取與算法的穩(wěn)定性問題提出：Gauss消去法是我們在線性代數(shù)中已經(jīng)熟悉的，但由于計算機(jī)的數(shù)值運算是在一個有限的浮點數(shù)集合上進(jìn)行的，如何才能確保Gauss消去法作為數(shù)值算

8、法的穩(wěn)定性呢？Gauss消去法從理論上算法到數(shù)值算法，其關(guān)鍵是主元的選擇.主元的選擇從數(shù)學(xué)理論上看起來平凡，它卻是數(shù)值分析中十分典型的問題.實驗內(nèi)容：考慮線性方程組.編制一個能自動選取主元，又能手動選取主元的求解線性代數(shù)方程組的Gauss消去法過程.實驗要求： （1）取矩陣則方程有解.取計算矩陣的條件數(shù).讓程序自動選取主元，結(jié)果如何？（2）現(xiàn)選擇程序中手動選取主元的功能.每步消去過程總選取按模最小或按模盡可能小的元素作為主元，觀察并記錄計算結(jié)果，若每步消去過程總選取按模最大的元素作為主元，結(jié)果又如何？分析實驗的結(jié)果.（3）取矩陣階數(shù) 或者更大，重復(fù)上述實驗過程，觀察記錄并分析不同的問題及消去過

9、程中選擇不同的主元時計算結(jié)果的差異，說明主元素的選取在消去過程中的作用.（4）選取其他你感興趣的問題或者隨機(jī)生成矩陣，計算其條件數(shù).重復(fù)上述實驗，觀察記錄并分析實驗的結(jié)果.實驗3.2 條件數(shù)與線性方程組的性態(tài)實驗?zāi)康模豪斫鈼l件數(shù)的意義和方程組的性態(tài)對解向量的影響.實驗內(nèi)容：設(shè)和，其中，.由相應(yīng)矩陣的元素計算，其計算公式為.實驗要求： 對取，下面均用Matlab函數(shù)求解方程組.（1）取=4,6,8，分別計算和，判斷和是否為病態(tài)矩陣？隨的增大，矩陣性態(tài)的變化如何？（2）取=6，分別求出兩個方程組的解向量；（3）取=6，不變，對的元素和分別加一個攝動10-6，分別求出的解向量；（4）取=6，不變，對

10、的元素和分別加一個攝動10-7，分別求出的解向量；不變，對的元素加一個攝動10-4，求出的解向量；（5）觀察和分析和的微小擾動對解向量的影響，得出你的結(jié)論；（6）求，和的計算結(jié)果和理論估計.實驗3.3 迭代法初值、收斂性與收斂速度實驗?zāi)康模豪斫獾ㄊ諗康暮x以及迭代初值和方程組系數(shù)矩陣性質(zhì)對收斂速度的影響.實驗內(nèi)容：用迭代法解方程組，其中實驗要求：（1）選取不同的初始向量和不同的方程組右端向量，給定迭代誤差要求，用雅可比迭代法與高斯塞德爾迭代法計算，觀測得到的迭代向量序列是否收斂？若收斂，記錄迭代次數(shù)，分析計算結(jié)果并得出你的結(jié)論；（2）取定初始向量和右端向量，將的主對角線元素成倍增長若干次，

11、非主對角線元素不變，每次用雅可比迭代法計算.要求迭代誤差滿足，比較收斂速度，分析現(xiàn)象并得出你的結(jié)論.實驗3.4 病態(tài)線性方程組求解問題提出：理論的分析表明，求病態(tài)的線性方程組是困難的.實際情況是否如此，會出現(xiàn)怎樣的現(xiàn)象呢？實驗內(nèi)容：考慮方程組=的求解，其中系數(shù)矩陣為Hilbert矩陣，.這是個著名的病態(tài)問題.通過首先給定解（例如取為各個分量均為1）再計算出右端的辦法給出確定的問題.實驗要求：（1）選擇問題的維數(shù)為6，分別用Gauss消去法（即LU分解）、J迭代方法，GS迭代和SOR迭代求解方程組，其各自的結(jié)果如何？將計算結(jié)果與問題的解比較，結(jié)論如何.（2）逐步增大問題的維數(shù)，仍然用上述的方法來

12、解它們，計算的結(jié)果如何？計算的結(jié)果說明了什么？（3）討論病態(tài)問題求解的算法.實驗4 插值法實驗4.1 多項式插值的振蕩現(xiàn)象問題提出: 考慮在一個固定的區(qū)間上用插值逼近一個函數(shù).顯然拉格朗日插值中使用的節(jié)點越多，插值多項式的次數(shù)就越高.我們自然關(guān)心插值多項式的次數(shù)增加時，是否也更加靠近被逼近的函數(shù).龍格給出的一個例子是極著名并富有啟發(fā)性的.設(shè)區(qū)間上函數(shù).實驗內(nèi)容：考慮區(qū)間的一個等距劃分，分點為,則拉格朗日插值多項式為，其中是次拉格朗日插值基函數(shù).實驗要求：（1）選擇不斷增大的分點數(shù)目畫出原函數(shù)及插值多項式函數(shù)在上的圖像，比較并分析實驗結(jié)果.（2）選擇其他的函數(shù)，例如定義在區(qū)間上的函數(shù) ， 重復(fù)上

13、述的實驗看其結(jié)果如何.（3）區(qū)間上切比雪夫點的定義為，以為插值節(jié)點構(gòu)造上述各函數(shù)的拉格朗日插值多項式，比較其結(jié)果.實驗4.2 樣條插值的收斂性問題提出：多項式插值是不收斂的，即插值的節(jié)點多，效果不一定就好，對樣條函數(shù)插值又如何呢？理論上證明樣條插值的收斂性是比較困難的，也超出了本課程的內(nèi)容.通過本實驗可以驗證這一理論結(jié)果.實驗內(nèi)容：請按一定的規(guī)劃分別選擇等距離或者非等距離的插值節(jié)點，并不斷增加插值節(jié)點的個數(shù).考慮實驗4.1中的函數(shù)或者選擇其它你有興趣的函數(shù)，可以用matlab的函數(shù)“spline”作此函數(shù)的三次樣條插值. matlab還提供有spline工具箱（toolbox）.你可以找到極豐

14、富的樣條工具，包括B-樣條.實驗要求：（1）隨著節(jié)點個數(shù)的增加，比較被逼近函數(shù)和樣條插值函數(shù)誤差的變化情況.分析所得結(jié)果并與拉格朗日多項式插值比較.（2）樣條插值的思想是最早產(chǎn)生 于工業(yè)部門.作為工業(yè)應(yīng)用的例子考慮如下問題：某汽車制造商用三次樣條插值設(shè)計車門的曲線，其中一段的數(shù)據(jù)如下：xk0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10ykyk0.0 0.79 1.53 2.19 2.71 3.03 3.27 2.89 3.06 3.19 3.290.8 0.2（3）對實驗4.1中的問題，計算他們的B-樣條插值.實驗5 函數(shù)逼近實驗5.1 最小二乘擬合實驗?zāi)康模鹤钚《藬M合經(jīng)驗公式.實驗內(nèi)容：某類

15、疾病發(fā)病率為和年齡段(每五年為一段，例如05歲為第一段，610歲為第二段,)之間有形如的經(jīng)驗關(guān)系，觀測得到的數(shù)據(jù)表如下1234567890.8982.383.071.842.021.942.222.774.02101112131415161718194.765.466.5310.916.522.535.750.661.681.8實驗要求：（1）用最小二乘法確定模型中的參數(shù)和.（2）利用MATLAB畫出離散數(shù)據(jù)及擬合函數(shù)圖形.（3）利用MATLAB畫出離散點處的誤差圖，并計算相應(yīng)的均方誤差.（4）談一談你對最小二乘擬合的理解，并舉出一個應(yīng)用此方法的例子.實驗5.2 逼近方法比較實驗?zāi)康模豪斫獠煌?/p>

16、的逼近方法.實驗內(nèi)容：對被逼近函數(shù)，在區(qū)間0,1上分別利用插值方法、最佳一致逼近以及最佳平方逼近三種方法求形如的逼近函數(shù)，并進(jìn)行比較.再畫出每種方法的逼近函數(shù)曲線以及誤差圖.實驗5.3 最佳平方逼近多項式的收斂性實驗?zāi)康模貉芯孔罴哑椒奖平囗検降氖諗啃再|(zhì).實驗內(nèi)容：取函數(shù)，在-1，1上以勒讓德多項式為基函數(shù)，對于構(gòu)造最佳平方逼近多項式，令，將的曲線畫在一個圖上.令，畫出的曲線.做出之間的最小二乘曲線，能否提出關(guān)于收斂性的猜測.實驗6 微積分實驗6.1 高斯數(shù)值積分方法用于積分方程求解問題提出：線性的積分方程的數(shù)值求解，可以被轉(zhuǎn)化為線性代數(shù)方程組的求解問題.而線性代數(shù)方程組所含未知數(shù)的個數(shù)，與用

17、來離散積分的數(shù)值方法的節(jié)點個數(shù)相同.在節(jié)點數(shù)相同的前提下，高斯數(shù)值積分方法有較高的代數(shù)精度，用它通常會得到較好的結(jié)果.實驗內(nèi)容：求解第二類Fredholm積分方程.首先將積分區(qū)間a,b等分成n份，在每個子區(qū)間上離散方程中的積分就得到線性代數(shù)方程組.實驗要求：分別使用如下方法，離散積分方程中的積分. 復(fù)化梯形方法； 復(fù)化辛普森方法； 復(fù)化高斯方法.求解如下的積分方程.（1），方程的準(zhǔn)確解為；（2），方程的準(zhǔn)確解為；比較各方法的計算量和誤差以分析它們的優(yōu)劣.實驗6.2 高斯積分?jǐn)?shù)值計算的蒙特卡羅方法問題提出：高維空間中的積分，如果維數(shù)不很高且積分區(qū)域是規(guī)則的或者能等價地寫成多重積分的形式，可以用一

18、元函數(shù)積分的數(shù)值方法來計算高維空間的積分，蒙特卡羅方法對計算復(fù)雜區(qū)域甚至不連通的區(qū)域上的積分并沒有特殊的困難.實驗內(nèi)容：對于一般的區(qū)域，計算其測度（只要理解為平面上的面積或空間中的體積）的一般方法是：先找一個規(guī)則的區(qū)域A包含，且A的測度是已知的.生成區(qū)域A中m個均勻分布的隨機(jī)點，如果其中有n個落在區(qū)域中，則區(qū)域的測度為n/m.函數(shù)在區(qū)域上的積分可以近似為：區(qū)域的測度與函數(shù)在中n個隨機(jī)點平均值的乘積，即.實驗要求：假設(shè)冰淇淋的下部為一錐體而上面為一半球，考慮冰淇淋錐體體積問題：計算錐面上方和球面內(nèi)部區(qū)域的體積.如果使用球面坐標(biāo)，該區(qū)域可以表示為如下的積分：.用蒙特卡羅方法可以計算該積分. 另一方

19、面，顯然這樣的冰淇淋可以裝在如下立方體的盒子里 而該立方體的體積為8.只要生產(chǎn)這個盒子里均勻分布的隨機(jī)點落入冰淇淋錐點的個數(shù)與總點數(shù)之比再乘以8就是冰淇淋錐的體積.比較兩種方法所得到的結(jié)果.實驗7 常微分方程實驗7.1 Lorenz問題與混沌問題提出：考慮著名的Lorenz方程 （1）其中s,r,b為變化區(qū)域有一定限制的實參數(shù).該方程形式簡單，表面上看并無驚人之處，但由該方程揭示出的許多現(xiàn)象，促使“混沌”成為數(shù)學(xué)研究的嶄新領(lǐng)域，在實際應(yīng)用中也產(chǎn)生了巨大的影響.實驗內(nèi)容：計算可以直接使用下面的Matlab程序，其中方程的形式與（1）略有差異.% BLZ Plot the orbit around

20、 the Lorenz chaotic attractor.clf, clc% Solve the ordinary differential equation describing the Lorenz chaotic attractor.The equations % are defined in an M-file,blzeq.m. The values of the global parameters are global SIGMA RHO % BETASIGMA=10.; RHO=28.; BETA=8./3.;% The graphics axis limits are set

21、to values known to contain the solution.axis(10 40 -20 20 -20 20), view(3), hold on, title(Lorenz Attractor)y0=0 0 eps; tfinal=100; y=ode23(blzep,0,tfinal,y0)其中的函數(shù)blzeq.m定義為% BLZEQ Equation of the Lorenz chaotic attractor. ydot=lorenzeq(t,y).% The differential equation is written in almost linear fo

22、rm.Global SIGMA RHO BETAA=-BETA 0 y(2)0 -SIGMA SIGMA -y(2) RHO -1 ;Ydot=A*y;實驗要求：（1）請找出（1）與上述程序中使用的方程間的關(guān)系.（2）對目前取定的參數(shù)值SIGMA、RHO和BETA，選取不同的初始值y0（當(dāng)前的程序中的y0是坐標(biāo)原點），運行上述的程序，觀察計算的結(jié)果有什么特點？解的曲線是否有界？解的曲線是不是周期的或趨于某個固定的點？（3）在問題允許的范圍內(nèi)適當(dāng)改變其中的參數(shù)值SIGMA、RHO和BETA，再選取不同的初始值y0，運行上述的程序，觀察并記錄計算的結(jié)果有什么特點？是否發(fā)現(xiàn)什么不同的現(xiàn)象？實驗7.2 剛性問