大學(xué)概率論總復(fù)習(xí)（課堂PPT）

1、.1概率論概率論 總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí).2第一章第一章 隨機(jī)事件隨機(jī)事件第一節(jié)第一節(jié) 樣本空間和隨機(jī)事件樣本空間和隨機(jī)事件第二節(jié)第二節(jié) 事件關(guān)系和運(yùn)算事件關(guān)系和運(yùn)算.3第一章第一章 基本知識(shí)點(diǎn)基本知識(shí)點(diǎn)1. 概率論概率論概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科2. 確定性現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象確定性現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象3. 隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)(1) 試驗(yàn)在相同的條件下可重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)在相同的條件下可重復(fù)進(jìn)行(2) 每次試驗(yàn)的結(jié)果具有多種可能性，而且在試驗(yàn)之前每次試驗(yàn)的結(jié)果具有多種可能性，而且在試驗(yàn)之前 可以確定試驗(yàn)的所有可能結(jié)果可以確定試驗(yàn)的所有可能結(jié)果(3) 每次試驗(yàn)前

2、不能準(zhǔn)確預(yù)言試驗(yàn)后會(huì)出現(xiàn)哪種結(jié)果每次試驗(yàn)前不能準(zhǔn)確預(yù)言試驗(yàn)后會(huì)出現(xiàn)哪種結(jié)果 .4 在隨機(jī)試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，而在大在隨機(jī)試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，而在大 量的重復(fù)試驗(yàn)中具有某種規(guī)律性的事件叫做隨機(jī)量的重復(fù)試驗(yàn)中具有某種規(guī)律性的事件叫做隨機(jī) 事件，簡(jiǎn)稱事件事件，簡(jiǎn)稱事件 4. 隨機(jī)事件隨機(jī)事件5. 樣本點(diǎn)樣本點(diǎn)6. 樣本空間樣本空間隨機(jī)試驗(yàn)中的每一個(gè)可能出現(xiàn)的試驗(yàn)結(jié)果稱為隨機(jī)試驗(yàn)中的每一個(gè)可能出現(xiàn)的試驗(yàn)結(jié)果稱為這個(gè)試驗(yàn)的一個(gè)樣本點(diǎn)，記作這個(gè)試驗(yàn)的一個(gè)樣本點(diǎn)，記作 (1,2,)ii 全體樣本點(diǎn)組成的集合稱為這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間，全體樣本點(diǎn)組成的集合稱為這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間，記作記作即即

3、12,n .5僅含一個(gè)樣本點(diǎn)的隨機(jī)事件稱為基本事件僅含一個(gè)樣本點(diǎn)的隨機(jī)事件稱為基本事件 7. 隨機(jī)事件隨機(jī)事件 含有多個(gè)樣本點(diǎn)的隨機(jī)事件稱為復(fù)合事件含有多個(gè)樣本點(diǎn)的隨機(jī)事件稱為復(fù)合事件 8. 必然事件必然事件一次隨機(jī)試驗(yàn)中，必然會(huì)發(fā)生的隨機(jī)事件一次隨機(jī)試驗(yàn)中，必然會(huì)發(fā)生的隨機(jī)事件. .9. 不可能事件不可能事件一次隨機(jī)試驗(yàn)中，不可能會(huì)發(fā)生的隨機(jī)事件一次隨機(jī)試驗(yàn)中，不可能會(huì)發(fā)生的隨機(jī)事件. .6給定一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，設(shè)給定一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，設(shè)為其樣本空間，則：為其樣本空間，則：事件事件事件之間的關(guān)系事件之間的關(guān)系集合集合集合之間的關(guān)系集合之間的關(guān)系10. 事件關(guān)系和運(yùn)算事件關(guān)系和運(yùn)算事件的運(yùn)算事件的運(yùn)算

4、集合的運(yùn)算集合的運(yùn)算概率論概率論集合論集合論隨機(jī)事件隨機(jī)事件A，B，. . 的子集的子集A，B，. . 隨機(jī)事件隨機(jī)事件間的關(guān)系間的關(guān)系各種集合各種集合間的關(guān)系間的關(guān)系.7概率論與集合論之間的關(guān)系概率論與集合論之間的關(guān)系概率論概率論集合論集合論樣本空間樣本空間 全集全集 必然事件必然事件 全集全集 不可能事件不可能事件 空集空集 子事件子事件AB 子集子集AB 并事件并事件AB 并集并集AB 交事件交事件AB 交集交集AB 差事件差事件AB 差集差集AB 對(duì)立事件對(duì)立事件A補(bǔ)集補(bǔ)集A.8第二章第二章 事件的概率事件的概率第一節(jié)第一節(jié) 概率的概念概率的概念第二節(jié)第二節(jié) 古典概型古典概型第三節(jié)第三

5、節(jié) 幾何概型幾何概型第四節(jié)第四節(jié) 概率的公理化定義概率的公理化定義.9第二章第二章 基本知識(shí)點(diǎn)基本知識(shí)點(diǎn)1. 隨機(jī)事件的頻率隨機(jī)事件的頻率 設(shè)隨機(jī)事件設(shè)隨機(jī)事件A在在n次隨機(jī)試驗(yàn)中出現(xiàn)了次隨機(jī)試驗(yàn)中出現(xiàn)了r次，次， 則稱這則稱這n次試驗(yàn)中事件次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的頻率為：出現(xiàn)的頻率為：( )nrfAn Arn 事事件件 出出現(xiàn)現(xiàn)的的次次數(shù)數(shù)試試驗(yàn)驗(yàn)的的總總次次數(shù)數(shù) 隨機(jī)事件隨機(jī)事件A在相同條件下重復(fù)多次時(shí)，事件在相同條件下重復(fù)多次時(shí)，事件 A 發(fā)生的頻率在一個(gè)固定的數(shù)值發(fā)生的頻率在一個(gè)固定的數(shù)值p附近擺動(dòng)，附近擺動(dòng)， 隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加更加明顯隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加更加明顯.2. 頻率的穩(wěn)定性頻率的

6、穩(wěn)定性.10對(duì)任意事件對(duì)任意事件A，在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行，在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行n 次試驗(yàn)，事件次試驗(yàn)，事件A 發(fā)生的頻率隨著試驗(yàn)次發(fā)生的頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的增大而穩(wěn)定地在某個(gè)常數(shù)數(shù)的增大而穩(wěn)定地在某個(gè)常數(shù)p附近擺動(dòng)附近擺動(dòng),那么稱那么稱p為事件為事件A的概率，記為的概率，記為事件事件A的的頻率頻率3. 概率的統(tǒng)計(jì)定義概率的統(tǒng)計(jì)定義( )P Ap 事件事件A的的概率概率當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí)當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí)近似地代替近似地代替事件事件A的概率的概率準(zhǔn)確的數(shù)值準(zhǔn)確的數(shù)值頻率的穩(wěn)定值頻率的穩(wěn)定值概率概率事件事件A.11(1) 有限性：有限性：各個(gè)可能結(jié)果出現(xiàn)是等可能的各個(gè)可能結(jié)果出現(xiàn)是等可能的. .

7、試驗(yàn)的可能結(jié)果只有有限個(gè)；試驗(yàn)的可能結(jié)果只有有限個(gè)；(2) 等可能性：等可能性： 12,n 4. 古典概型：古典概型：古典概型的基本特征：古典概型的基本特征：樣本空間樣本空間是個(gè)有限集是個(gè)有限集121()()(), niiP AP AP AAn 基本事件的概率均相同基本事件的概率均相同.12 5. 概率的古典定義概率的古典定義對(duì)于古典概型：對(duì)于古典概型： 12,n 12,rkkkA ( )rP An Arn 事事件件 包包含含的的基基本本事事件件的的基基本本事事件件(1) 設(shè)所有可能的試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的樣本空間為：設(shè)所有可能的試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的樣本空間為：(2) 事件事件12,rk kk其中其中 為為

8、1, 2, , n中的中的r個(gè)不同的數(shù)個(gè)不同的數(shù)則定義事件則定義事件A的概率為：的概率為：.136. 幾何概型幾何概型古典概型中的有限性推廣到古典概型中的有限性推廣到無限性無限性，而保留，而保留等可能性等可能性事件事件A“隨機(jī)點(diǎn)落在隨機(jī)點(diǎn)落在中的子區(qū)域中的子區(qū)域SA中中”長度、面積或體積長度、面積或體積 1. 基本特征：基本特征：(1) 有一個(gè)可度量的幾何圖形有一個(gè)可度量的幾何圖形(2) 試驗(yàn)試驗(yàn)E看成在看成在中隨機(jī)的一點(diǎn)中隨機(jī)的一點(diǎn)( )|ASP A AS 的的幾幾何何度度量量的的幾幾何何度度量量.14設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為，若對(duì)任一，若對(duì)任一事件事件A，有且只有一個(gè)實(shí)

9、數(shù)，有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)與之對(duì)應(yīng)，與之對(duì)應(yīng)，滿足如下公理：滿足如下公理：(1) 非負(fù)性非負(fù)性：(2) 規(guī)范性：規(guī)范性：(3) 完全可加性完全可加性：7. 概率的公理化定義概率的公理化定義0( )1P A ()1P 11()nnnnPAP A 對(duì)任意一列兩兩互斥事件對(duì)任意一列兩兩互斥事件A1，A2，有：，有：則稱則稱P(A)為事件為事件A的概率的概率.158. 概率的性質(zhì)概率的性質(zhì) 不可能事件的概率為零不可能事件的概率為零性質(zhì)性質(zhì)1()0P 性質(zhì)性質(zhì)2( )1( )P AP A逆事件的概率逆事件的概率性質(zhì)性質(zhì)3對(duì)任意有限個(gè)互斥事件對(duì)任意有限個(gè)互斥事件A1，A2， An ，有：有：11()nn

10、kkkkPAP A 互不相容事件概率的有限可加性互不相容事件概率的有限可加性性質(zhì)性質(zhì)4()()()()P ABP AP BP AB 加法定理加法定理性質(zhì)性質(zhì)5()()()P BAP BP A ( )( )P AP B AB 若若 ，則：，則：且且差事件的概率差事件的概率.16BCA性質(zhì)性質(zhì)6 ()( )( )( ) ()()()()P ABCP AP BP CP ABP BCP ACP ABC 加法定理的推廣形式加法定理的推廣形式.17第三章第三章 條件概率與事件的獨(dú)立性條件概率與事件的獨(dú)立性第一節(jié)第一節(jié) 條件概率條件概率第二節(jié)第二節(jié) 全概率公式全概率公式第三節(jié)第三節(jié) 貝葉斯公式貝葉斯公式第四

11、節(jié)第四節(jié) 事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性第五節(jié)第五節(jié) 伯努利試驗(yàn)和二項(xiàng)概率伯努利試驗(yàn)和二項(xiàng)概率第六節(jié)第六節(jié) 主觀概率主觀概率.18第三章第三章 基本知識(shí)點(diǎn)基本知識(shí)點(diǎn)設(shè)設(shè)A，B為同一隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)隨機(jī)事件為同一隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)隨機(jī)事件 , 且且 P(A) 0， 則稱已知?jiǎng)t稱已知A發(fā)生條件下發(fā)生條件下B發(fā)生發(fā)生的概率為的概率為B的條件概率，記為的條件概率，記為 1. 條件概率的定義條件概率的定義()(|)( )P ABP B AP A 2. 乘法定理乘法定理()(|)( )P ABP B AP A ()(|)( )P ABP A BP B ()( ) (|)P ABP A P B A ()( ) (|

12、)P ABP B P A B .19設(shè)設(shè)A1 ，A2 ，.，An 構(gòu)成一個(gè)完備事件組，構(gòu)成一個(gè)完備事件組，且且P(Ai )0 (i1，2，.，n)，則對(duì)任一隨機(jī)，則對(duì)任一隨機(jī)事件事件B，有，有: 3. 全概率公式全概率公式niiiP BP A P B A1( )() (|) A1A2A3P A1()P A2()P A3()P B A1(|)P B A2(|)P B A3(|)P B( ).20 設(shè)設(shè)A1，A2，, An構(gòu)成完備事件組，且每個(gè)構(gòu)成完備事件組，且每個(gè) P(Ai)0，B為樣本空間的任意事件且為樣本空間的任意事件且P(B) 0 , 則有：則有：4. 貝葉斯公式貝葉斯公式kkkniiiP

13、 A P B AP ABknP A P B A1() (|)(|) (1,2, )() (|) P(BA) = P(B)5. 事件獨(dú)立的定義事件獨(dú)立的定義P ABP A P B()( ) ( ) A與與B相互獨(dú)立的相互獨(dú)立的充要條件充要條件.21如果事件如果事件A，B，C滿足滿足:(a) P(AB) = P(A)P(B)(b) P(AC) = P(A)P(C)(c) P(BC) = P(B)P(C)則稱事件則稱事件A，B，C兩兩獨(dú)立兩兩獨(dú)立.6. 事件的獨(dú)立性的推廣事件的獨(dú)立性的推廣 (1) 事件事件A，B，C兩兩獨(dú)立兩兩獨(dú)立：如果事件如果事件A，B，C滿足滿足:(a) P(AB) = P(A

14、)P(B)(b) P(AC) = P(A)P(C)(c) P(BC) = P(B)P(C)(d) P(ABC) = P(A)P(B)P(C)則稱事件則稱事件A，B，C相互獨(dú)立相互獨(dú)立.(2) 事件事件A，B，C相互獨(dú)立相互獨(dú)立：.22在在n重獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，若每次試驗(yàn)只有兩種可重獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，若每次試驗(yàn)只有兩種可能的結(jié)果：能的結(jié)果：A及及 ，且，且A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為率為p，則稱其為，則稱其為n重貝努利試驗(yàn)重貝努利試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱貝努利，簡(jiǎn)稱貝努利試驗(yàn)試驗(yàn).7. 貝努利試驗(yàn)貝努利試驗(yàn)A8. 二項(xiàng)概率：二項(xiàng)概率： 設(shè)在一次試驗(yàn)中事件設(shè)在一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為發(fā)生的概率

15、為 p (0p 0, 則在條件則在條件Y = yj下下X = xi的條的條件概率為：件概率為：10. 離散型隨機(jī)變量的條件分布律離散型隨機(jī)變量的條件分布律:(,)(|)()ijijjP Xx YyPXxYyP Yy 稱這個(gè)分布為稱這個(gè)分布為在給定的在給定的Y = yj條件下條件下X的條件分布律的條件分布律.表格形式：表格形式：|jX Yy 概率概率x1x2ix (1,2,)ijjpip 1 jjpp 2 jjpp ijjpp .40(2) 設(shè)設(shè)(X, Y)為二維離散型隨機(jī)變量，其分布律已知為二維離散型隨機(jī)變量，其分布律已知. 假設(shè)假設(shè)P(X = xi) 0, 則在條件則在條件X = xi下下Y

16、 = yj的的 條件概率為：條件概率為：(,)(|)()ijjiiP Xx YyP YyXxP Xx 稱這個(gè)分布為稱這個(gè)分布為在給定的在給定的X = xi條件下條件下Y的條件分布律的條件分布律.表格形式：表格形式：|iY Xx 概率概率1y2yjy (1,2,)ijipjp 1iipp 2iipp ijipp .41(1) 對(duì)于二維連續(xù)型隨機(jī)變量對(duì)于二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X, Y)，其分布已知，其分布已知. 規(guī)定規(guī)定在給定的在給定的Y = y條件下條件下X的條件分布的條件分布為一個(gè)為一個(gè) 連續(xù)型分布，它的條件密度函數(shù)為：連續(xù)型分布，它的條件密度函數(shù)為：11. 連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布律連續(xù)型隨機(jī)

17、變量的條件分布律:( , )(|)( , )df x yf x yf x yx ( , )( )Yf x yfy (2) 對(duì)于二維連續(xù)型隨機(jī)變量對(duì)于二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X, Y)，其分布已知，其分布已知. 規(guī)定規(guī)定在給定的在給定的X = x條件下條件下Y的條件分布的條件分布為一個(gè)為一個(gè) 連續(xù)型分布，它的條件密度函數(shù)為：連續(xù)型分布，它的條件密度函數(shù)為：( , )(|)( , )df x yf y xf x yy ( , )( )Xf x yfx .42第六章第六章 隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第一節(jié)第一節(jié) 一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第二節(jié)第二節(jié) 二維隨機(jī)

18、變量的函數(shù)的分布二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布.43第六章第六章 基本知識(shí)點(diǎn)基本知識(shí)點(diǎn)若若X為離散型隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量, 其分布律為其分布律為則隨機(jī)變量則隨機(jī)變量X的函數(shù)的函數(shù)Y = g(X)的分布律為的分布律為1. 離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布X概率概率x1x2ix1pip2p()Yg X 概率概率1()g x2()g x()ig x1pip2p.44設(shè)設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為f (x). y = g(x)是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，則：是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，則：(1) 求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量Y = g(X)的分布函數(shù)的分布函數(shù) FY (y

19、)為：為：( )YFy()P Yy ( ()P g Xy (2) 隨機(jī)變量隨機(jī)變量Y = g(X)的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù) fY (y)為：為：2. 連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 ( )P Xx g xy ()gP xI ( )( )YYfyFy .45設(shè)設(shè)(X, Y)是二維離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合是二維離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布律為分布律為(,) ( ,1,2,)i jijpP Xx Yyi j g(x, y)是一個(gè)二元函數(shù)，是一個(gè)二元函數(shù)，Z = g(X, Y)是二是二維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量(X, Y)的函數(shù)，則隨機(jī)變量的函數(shù)，則隨機(jī)變量Z的分布律為：的分布律為：

20、(,) ( ,1,2,)iji jP Zg xypi j .46( )( (,)ZFzP g X Yz Z的分布密度函數(shù)為：的分布密度函數(shù)為： ( , )( , )d dg x yzf x yx y (1) (X, Y)是二維隨機(jī)變量是二維隨機(jī)變量Z的分布函數(shù)為：的分布函數(shù)為：假設(shè)：假設(shè)：(2) (X, Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x, y)(3) Z = g(X, Y)是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量X, Y的二元函數(shù)的二元函數(shù)( )( )ZZfzFz .47第七章第七章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望第二節(jié)第二節(jié) 方差和標(biāo)準(zhǔn)差方差和標(biāo)準(zhǔn)差第三節(jié)第三節(jié) 協(xié)

21、方差和相關(guān)系數(shù)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)第四節(jié)第四節(jié) 切比雪夫不等式及大數(shù)律切比雪夫不等式及大數(shù)律第五節(jié)第五節(jié) 中心極限定理中心極限定理.48第七章第七章 基本知識(shí)點(diǎn)基本知識(shí)點(diǎn)1122iix px px p () (1,2,)iiP Xxpi設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布律為設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布律為 1. 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望則隨機(jī)變量則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為：的數(shù)學(xué)期望為：定義：定義：即即X概率概率x1x2ix1pip2p iiix p ( )E X 2. 連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E(X)() ( )dE Xx f xx .493. 二維隨機(jī)變量的

22、數(shù)學(xué)期望及邊緣分布的數(shù)學(xué)期望二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及邊緣分布的數(shù)學(xué)期望(1) (X, Y)為二維離散型隨機(jī)變量為二維離散型隨機(jī)變量(,)(),( )E X YE XE Y ()()iiiiiijiiijE Xx P Xxx px p ( )()jjjjjijjjjiE Yy P Yyy py p ()()d(,)d dXE Xxfxxxfx yx y ()()d(,)d dYE Yyfyyyfx yx y (2) (X, Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量為二維連續(xù)型隨機(jī)變量.504. 隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理定理1：設(shè)設(shè)Y = g(X)是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量X的函數(shù)，的函數(shù)，1( ) ()()kkkE YE g Xg xp () (1,2,)iiP Xxpi ( ) ()( ) ( )dE YE g Xg x f xx ( )f x概率密度為概率密度為一維情形一維情形.51 (,)(,)ij