平面,空間兩條直線

1、平面、空間兩條直線知識梳理1.平面的基本性質(zhì)，即三個公理及推論.2.公理4及等角定理.3.空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種，即平行、相交及異面.4.兩條異面直線所成的角及距離，求作異面直線所成的角時，往往取題中的特殊點.點擊雙基1.若a，b是異面直線，則只需具備的條件是A.a平面，b平面，a與b不平行B.a平面，b平面，=l，a與b無公共點C.a直線c，bc=A，b與a不相交D.a平面，b 是的一條斜線答案：C2.如下圖，直線a、b相交于點O且a、b成60°角，過點O與a、b都成60°角的直線有A.1條 B.2條 C.3條 D.4條解析：在a、b所確定的平面內(nèi)有一條，平面

2、外有兩條.答案：C3.如下圖，正四面體SABC中，D為SC的中點，則BD與SA所成角的余弦值是A. B. C. D.解析：取AC的中點E，連結(jié)DE、BE，則DESA，BDE就是BD與SA所成的角.設(shè)SA=a，則BD=BE= a，DE= a，cosBDE= .答案：C5.正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面邊長為1，側(cè)棱長為，則這個棱柱的側(cè)面對角線E1D與BC1所成的角是_.解析：連結(jié)FE1、FD，則由正六棱柱相關(guān)性質(zhì)可得FE1BC1，在EFD中，EF=ED=1，F(xiàn)ED=120°，F(xiàn)D=.在EFE1和EE1D中，易得E1F=E1D=，E1FD是等邊三角形，F(xiàn)E1D=60&

3、#176;.而FE1D即為E1D與BC1所成的角.答案：60°說明：本題主要考查正六棱柱的性質(zhì)及異面直線所成角的求法.典例剖析【例1】 如下圖，四面體ABCD中，E、G分別為BC、AB的中點，F(xiàn)在CD上，H在AD上，且有DFFC=23，DHHA=23.求證：EF、GH、BD交于一點.證明：連結(jié)GE、HF，E、G分別為BC、AB的中點，GEAC.又DFFC=23，DHHA=23，HFAC.GEHF.故G、E、F、H四點共面.又EF與GH不能平行，EF與GH相交，設(shè)交點為O.則O面ABD，O面BCD，而平面ABD平面BCD=BD.EF、GH、BD交于一點.評述：證明線共點，常采用證兩直線

4、的交點在第三條直線上的方法，而第三條直線又往往是兩平面的交線.【例2】 A是BCD平面外的一點，E、F分別是BC、AD的中點，（1）求證：直線EF與BD是異面直線；（2）若ACBD，AC=BD，求EF與BD所成的角.（1）證明：用反證法.設(shè)EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A、B、C、D在同一平面內(nèi)，這與A是BCD平面外的一點相矛盾.故直線EF與BD是異面直線.（2）解：取CD的中點G，連結(jié)EG、FG，則EGBD，所以相交直線EF與EG所成的銳角或直角即為異面直線EF與BD所成的角.在RtEGF中，求得FEG=45°，即異面直線EF與

5、BD所成的角為45°.特別提示證明兩條直線是異面直線常用反證法；求兩條異面直線所成的角，首先要判斷兩條異面直線是否垂直，若垂直，則它們所成的角為90°；若不垂直，則利用平移法求角，一般的步驟是“作（找）證算”.注意，異面直線所成角的范圍是（0，.【例3】 長方體ABCDA1B1C1D1中，已知AB=a，BC=b，AA1=c，且a>b，求：（1）下列異面直線之間的距離：AB與CC1；AB與A1C1；AB與B1C.（2）異面直線D1B與AC所成角的余弦值.（1）解：BC為異面直線AB與CC1的公垂線段，故AB與CC1的距離為b.AA1為異面直線AB與A1C1的公垂線段，故

6、AB與A1C1的距離為c.過B作BEB1C，垂足為E，則BE為異面直線AB與B1C的公垂線，BE=，即AB與B1C的距離為.（2）解法一：連結(jié)BD交AC于點O，取DD1的中點F，連結(jié)OF、AF，則OFD1B，AOF就是異面直線D1B與AC所成的角.AO=，OF= BD1=，AF=，在AOF中，cosAOF=.解法二：如下圖，在原長方體的右側(cè)補上一個同樣的長方體，連結(jié)BG、D1G，則ACBG，D1BG（或其補角）為D1B與AC所成的角.BD1=，BG=，D1G=，在D1BG中，cosD1BG=，故所求的余弦值為.深化拓展利用中位線平移和利用補形平移是處理長方體中異面直線所成角的重要方法.【例4】

7、 設(shè)異面直線a與b所成的角為50°，O為空間一定點，試討論，過點O與a、b所成的角都是（0°90°）的直線l有且僅有幾條?解：過點O作a1a，b1b，則相交直線a1、b1確定一平面.a1與b1夾角為50°或130°，設(shè)直線OA與a1、b1均為角，作AB面于點B，BCa1于點C，BDb1于點D，記AOB=1，BOC=2（2=25°或65°），則有cos=cos1·cos2.因為0°190°，所以0coscos2.當(dāng)2=25°時，由0coscos25°，得25°90&#

8、176;；當(dāng)2=65°時，由0coscos65°，得65°90°.故當(dāng)<25°時，直線l不存在；當(dāng)=25°時，直線l有且僅有1條；當(dāng)25°<<65°時，直線l有且僅有2條；當(dāng)=65°時，直線l有且僅有3條；當(dāng)65°<<90°時，直線l有且僅有4條；當(dāng)=90°時，直線l有且僅有1條.說明：異面直線所成的角就是選點、平移后的平面角.上述解答首先將問題轉(zhuǎn)化為：求過點O與a1、b1均成角的直線的條數(shù)，進而通過討論的范圍去確定直線l的條數(shù).【例5】 已知空

9、間四邊形ABCD，E、H分別是AB、AD的中點，F(xiàn)、G分別是邊BC、DC的三等分點（如下圖），求證：（1）對角線AC、BD是異面直線；（2）直線EF和HG必交于一點，且交點在AC上.證明：（1）假設(shè)對角線AC、BD在同一平面內(nèi)，則A、B、C、D都在平面內(nèi)，這與ABCD是空間四邊形矛盾，AC、BD是異面直線.（2）E、H分別是AB、AD的中點， EHBD.又F、G分別是BC、DC的三等分點，F(xiàn)GBD.EHFG，且EHFG.FE與GH相交.設(shè)交點為O，又O在GH上，GH在平面ADC內(nèi)，O在平面ADC內(nèi).同理，O在平面ABC內(nèi).從而O在平面ADC與平面ABC的交線AC上.闖關(guān)訓(xùn)練1.兩條相交直線l、

10、m都在平面內(nèi)且都不在平面內(nèi).命題甲：l和m中至少有一條與相交，命題乙：平面與相交，則甲是乙的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件D.非充分非必要條件解析：若l和m中至少有一條與相交，不妨設(shè)l=A，則由于l，A.而A，與相交.反之，若=a，如果l和m都不與相交，由于它們都不在平面內(nèi)，l且m.la且ma，進而得到lm，與已知l、m是相交直線矛盾.因此l和m中至少有一條與相交.答案：C2.如下圖，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分別是CC1、AD的中點，那么異面直線OE和FD1所成的角的余弦值等于A. B. C. D.解法一：取面CC1D1D

11、的中心為H，連結(jié)FH、D1H.在FHD1中，F(xiàn)D1=，F(xiàn)H=，D1H=.由余弦定理，得D1FH的余弦值為.解法二：取BC的中點G.連結(jié)GC1FD1，再取GC的中點H，連結(jié)HE、OH，則OEH為異面直線所成的角.在OEH中，OE=，HE=，OH=.由余弦定理，可得cosOEH=.答案：B3.在三棱錐ABCD中，AD=BC=2a，E、F分別是AB、CD的中點，EF=a，求AD與BC所成的角.解：取AC的中點M，連結(jié)ME、MF，則MEBC，MFAD，所以EMF（或其補角）是直線AD與BC所成的角.在EMF中，ME=BC=a，MF=AD=a，EF=a，cosEMF=，EMF=120°，因此異

12、面直線AD與BC所成的角為60°.4.如下圖，在三棱錐PABC中，AB=AC，PB=PC，E、F分別是PC和AB上的點且PEEC=AFFB=32.（1）求證：PABC；（2）設(shè)EF與PA、BC所成的角分別為、，求證：+=90°.證明：（1）取BC的中點D，連結(jié)AD、PD.則BC平面ADP，AP平面ADP，APBC.（2）在AC上取點G，使AGGC=32，連結(jié)EG、FG，則EGPA，F(xiàn)GBC，從而EGF為PA與BC所成的角，由（1）知EGF=90°，而GEF、GFE分別是EF與PA、EF與BC所成的角、，+=90°.平面、空間兩條直線知識梳理1.平面的基本

13、性質(zhì)，即三個公理及推論.2.公理4及等角定理.3.空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種，即平行、相交及異面.4.兩條異面直線所成的角及距離，求作異面直線所成的角時，往往取題中的特殊點.點擊雙基1.若a，b是異面直線，則只需具備的條件是A.a平面，b平面，a與b不平行B.a平面，b平面，=l，a與b無公共點C.a直線c，bc=A，b與a不相交D.a平面，b 是的一條斜線2.如下圖，直線a、b相交于點O且a、b成60°角，過點O與a、b都成60°角的直線有A.1條 B.2條 C.3條 D.4條3.如下圖，正四面體SABC中，D為SC的中點，則BD與SA所成角的余弦值是A. B.

14、C. D.5.正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面邊長為1，側(cè)棱長為，則這個棱柱的側(cè)面對角線E1D與BC1所成的角是_.典例剖析【例1】 如下圖，四面體ABCD中，E、G分別為BC、AB的中點，F(xiàn)在CD上，H在AD上，且有DFFC=23，DHHA=23.求證：EF、GH、BD交于一點.【例2】 A是BCD平面外的一點，E、F分別是BC、AD的中點，（1）求證：直線EF與BD是異面直線；（2）若ACBD，AC=BD，求EF與BD所成的角.【例3】 長方體ABCDA1B1C1D1中，已知AB=a，BC=b，AA1=c，且a>b，求：（1）下列異面直線之間的距離：AB與CC1；A

15、B與A1C1；AB與B1C.（2）異面直線D1B與AC所成角的余弦值.【例4】 設(shè)異面直線a與b所成的角為50°，O為空間一定點，試討論，過點O與a、b所成的角都是（0°90°）的直線l有且僅有幾條?【例5】 已知空間四邊形ABCD，E、H分別是AB、AD的中點，F(xiàn)、G分別是邊BC、DC的三等分點（如下圖），求證：（1）對角線AC、BD是異面直線；（2）直線EF和HG必交于一點，且交點在AC上.闖關(guān)訓(xùn)練1.兩條相交直線l、m都在平面內(nèi)且都不在平面內(nèi).命題甲：l和m中至少有一條與相交，命題乙：平面與相交，則甲是乙的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件D.非充分非必要條件2.如下圖，在