整體最小二乘法及其在測(cè)量數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用_圖文

1、 值影響較小，或者系數(shù)矩陣的誤差較小，而觀測(cè)向量的誤差對(duì)增廣矩陣最小奇異值影響較 大時(shí)，如表中第一種情況，就應(yīng)當(dāng)采用普通最小二乘法處理，采用整體最小二乘法反而與 實(shí)際情況不符。表中顯示，在僅觀測(cè)向量受到誤差影響時(shí)，最小奇異值大小為 0.096313，僅 系數(shù)矩陣受到誤差影響時(shí)最小奇異值大小為 0.17439，二者的綜合影響為 0.24816。說(shuō)明本例 中，系數(shù)矩陣的擾動(dòng)對(duì)奇異值的大小影響比較顯著，在這種情況下，就應(yīng)該顧及系數(shù)矩陣 的誤差，適于采用整體最小二乘處理合理。 表 1 系數(shù)陣和觀測(cè)向量誤差對(duì)參數(shù)求解的影響 受誤差的影響情況 精 確 線 性 方 程 系數(shù)陣 觀測(cè)向量 系數(shù)陣、增廣矩陣奇異

2、值 參數(shù)解 Xls -0.40 1.25 -0.14 Xtls -0.40 1.25 -0.14 Xctls -0.40 1.25 -0.14 A0 L0 F ( A0 32.156 2.1977 0.37438 (C 0 32.396 2.7517 0.49147 0 A C F / A / C 0 0 F F 一 僅觀 測(cè)向 量受 到誤 差的 影響 系數(shù)陣 觀測(cè)向量 A0 L F ( A0 32.156 2.1977 0.37438 (C1 32.395 2.6301 0.49395 0.096313 Xls Xtls Xctls -0.40132 -0.45742 -0.4406 1.1

3、33 -0.11323 1.1766 -0.12011 1.1648 -0.1183 A C F / A / C 0.00235 0.00296 F F 二 僅系 數(shù)矩 陣受 到誤 差的 影響 系數(shù)陣 觀測(cè)向量 A L0 F ( A 32.019 2.2893 0.39402 (C 2 32.259 2.8324 0.49084 0.17439 Xls -0.25225 1.0789 -0.10395 Xtls Xctls -0.3641 1.1649 -0.1171 -0.41523 1.1992 -0.12191 A C F / A / C 0.00427 0.00538 F F 三 系數(shù)

4、 矩陣 觀測(cè) 向量 都有 誤差 系數(shù)陣 觀測(cè)向量 A L F ( A 32.019 2.2893 0.39402 (C3 32.258 2.7099 0.48968 0.24816 Xls -0.1876 0.91741 Xtls Xctls -0.55049 -0.4049 1.183 1.0846 A C F / A / C 0.00614 0.00766 F F -0.07138 -0.11084 -0.0968 表中 Xls、Xtls、Xctls 分別表示普通最小二乘、整體最小二乘和混合最小二乘的參數(shù)求解結(jié)果 404 5 結(jié)論 整體最小二乘方法自 20 世紀(jì) 90 年代初正式提出以來(lái)，

5、已在自動(dòng)控制、信號(hào)處理、圖 像處理等許多領(lǐng)域取得了成功應(yīng)用，作為一種新的數(shù)據(jù)處理方法是目前的一個(gè)研究熱點(diǎn)之 一。在測(cè)量數(shù)據(jù)處理中許多情況下系數(shù)矩陣和觀測(cè)向量同時(shí)存在誤差，如多元線性回歸、 GPS 高程擬合，圖形圖像糾正等學(xué)多情況都適于采用整體最小二乘法處理。本文系統(tǒng)介紹 了整體最小二乘的思想、解算方法；并與普通最小二乘法進(jìn)行了比較分析。 整體最小二乘的求解通過(guò)奇異值分解實(shí)現(xiàn)， 通過(guò)分析系數(shù)矩陣和觀測(cè)向量的誤差對(duì)奇異 值大小的影響， 本文通過(guò)對(duì)整體最小二乘的誤差特性分析， 提出了要注意整體最小二乘應(yīng)條 件的建議。從參數(shù)估計(jì)的角度講，只有在系數(shù)矩陣誤差對(duì)最小奇異值的大小影響顯著時(shí)，整 體最小二乘法

6、效果才比較明顯； 當(dāng)系數(shù)矩陣的誤差對(duì)最小奇異值的影響較小時(shí)， 或則系數(shù)矩 陣比較精確時(shí)，就不適于采用整體最小二乘法。 在本文的算例中系數(shù)矩陣、 觀測(cè)向量的誤差服從正態(tài)分布且等權(quán)獨(dú)立的白噪聲誤差， 實(shí) 際環(huán)境中，誤差分布比較復(fù)雜，對(duì)系數(shù)矩陣、觀測(cè)向量影響及對(duì)參數(shù)求解影響更加復(fù)雜。在 測(cè)量數(shù)據(jù)處理中，如何結(jié)合實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)特點(diǎn)，判斷系數(shù)矩陣誤差、觀測(cè)向量誤差對(duì)參數(shù)求 解的影響以及影響程度，整體最小二乘精度評(píng)定方法等都是值得探討的問(wèn)題。 參考文獻(xiàn) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 劉大杰，陶本藻.實(shí)用測(cè)量數(shù)據(jù)處理方法M.北京：測(cè)繪出版社，2000 Davis，T. G. Total le

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