泛函分析知識(shí)總結(jié)

1、泛函分析知識(shí)總結(jié)與舉例、應(yīng)用學(xué)習(xí)泛函分析主要學(xué)習(xí)了五大主要內(nèi)容：一、度量空間和賦范線性空間；二、有界線性算子和連續(xù)線性泛函；三、內(nèi)積空間 和希爾伯特空間；四、巴拿赫空間中的基本定理；五、線性算子 的譜。本文主要對(duì)前面兩大內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)、舉例、應(yīng)用。度量空間和賦范線性空間(一)度量空間度量空間在泛函分析中是最基本的概念，它是n維歐氏空間Rn (有限維空間)的推廣，所以學(xué)好它有助于后面知識(shí)的學(xué)習(xí)和理解。1 .度量定義：設(shè)X是一個(gè)集合，若對(duì)于 X中任意兩個(gè)元素X, y,都有唯一確定的實(shí)數(shù)d()與之對(duì)應(yīng)，而且這一對(duì) 應(yīng)關(guān)系滿足下列條件：1° d() >0 , d()=0 y x=y (非

2、負(fù)性)2 d()= d() (對(duì)稱性)3°對(duì)vz ,都有d() <d()()(三點(diǎn)不等式)則稱d()是x、y之間的度量或距離(或)，稱為 ()度量空間或距離空間()。(這個(gè)定義是證明度量空間常用的方法)注意： 定義在X中任意兩個(gè)元素x, y確定的實(shí)數(shù)d(),只要滿足1°、2°、3°都稱為度量。這里“度量”這個(gè)名 稱已由現(xiàn)實(shí)生活中的意義引申到一般情況，它用來描 述X中兩個(gè)事物接近的程度，而條件1°、2°、3°被 認(rèn)為是作為一個(gè)度量所必須滿足的最本質(zhì)的性質(zhì)。 度量空間中由集合 X和度量函數(shù)d所組成，在同一個(gè) 集合X上若有兩

3、個(gè)不同的度量函數(shù)di和d2,則我們認(rèn)為 (X, di)和(X, d2)是兩個(gè)不同的度量空間。集合X不一定是數(shù)集，也不一定是代數(shù)結(jié)構(gòu)。為直觀 起見，今后稱度量空間()中的元素為“點(diǎn)”，例如若 xwX,則稱為“ X中的點(diǎn)” o 在稱呼度量空間()時(shí)可以省略度量函數(shù) d,而稱“度 量空間X'。1.1 舉例1.11 離散的度量空間：設(shè) X是任意的非空集合，對(duì) X中任意兩 點(diǎn)G X,令d(x, y) "y,則稱(X, d)為離散 0,當(dāng) x=y度量空間。1.12 序列空間S: S表示實(shí)數(shù)列(或復(fù)數(shù)列)的全體，d()=1 1 二一 “1 -i；"1+| '1.13 有界

4、函數(shù)空間B(A) : A是給定的集合，B(A)表示A上有界實(shí)值(或復(fù)值)函數(shù)全體，對(duì) B(A)中任意兩點(diǎn)，定義d()= sup x(t) - y(t) 仔11.14 可測函數(shù)空間M(X): M(X)為X上實(shí)值(或復(fù)值)的L可測 函數(shù)全體。d(f,g)=f(t)-g(t)l dtX1 f-g(t)1.15 C口空間(重要的度量空間)：C表示閉區(qū)間口上實(shí)值(或 復(fù)值)連續(xù)函數(shù)全體， 對(duì)C口中任意兩點(diǎn)，定 義d() = maxx(t) -y(t) a <<b1.16 l2:無限維空間(重要的度量空間) 例1.15、1.16是考試中?？嫉亩攘靠臻g。2 .度量空間中的極限，稠密集，可分空間2

5、.1 %的6一領(lǐng)域：設(shè)(X, d)為度量空間，d是距離，定義U = (Xo,薊=卜三XI d(x,x 0)(一為Xo的以S為半 徑的開球，亦稱為Xo的名一領(lǐng)域。注：通過這個(gè)定義我們可以從點(diǎn)集這一章學(xué)到的知識(shí)來定義距離 空間中一個(gè)點(diǎn)集的內(nèi)點(diǎn)，外點(diǎn)，邊界點(diǎn)及聚點(diǎn)，導(dǎo)集，閉包, 開集等概念。2.2 度量空間的收斂點(diǎn)列：設(shè)(X, d)是一個(gè)度量空間，%是(X,d)中點(diǎn)歹U ,如果存在xw X , xn收斂于 x 使 lim xn = x，即 dX x) gn 4*30,， n ,，稱點(diǎn)列£xn是(X, d)中的收斂點(diǎn)列， x叫做點(diǎn)列Ln的極限，且收斂點(diǎn)列 的極限是唯一的。注：度量空間中點(diǎn)列收

6、斂性質(zhì)與數(shù)列的收斂性質(zhì)有許多共同 之處。2.3 有界集：設(shè)M是度量空間(X,d)中的點(diǎn)集，定義6(M) = supi(x,y) x,y ：-m為點(diǎn)集M的直徑。若6(M)<g,則稱M為(X, d) 中的有界集。(類似于Rn,我們可以證明一個(gè)度量空間中收斂點(diǎn)列是有界點(diǎn)集)2.4 閉集：A是閉集u A中任意收斂點(diǎn)列的極限都在 A中，即若 xn w A , 1,2 ,.xnT x,則 xW A。(要會(huì)證明)2.5 舉例2.5.1 n 維歐氏空間Rn中，點(diǎn)列依距離收斂d(xk,x)T0u依分量 收斂。2.5.2 C口空間中，點(diǎn)列依距離收斂d(xk,x)T0u依分量一致收斂。2.5.3 序列空間S中

7、，點(diǎn)列依坐標(biāo)收斂。2.5.4 可測函數(shù)空間M(X):函數(shù)列依測度收斂于f,即d( fn, f) 0 = fn = f。2.6 稠密子集和可分度量空間有理數(shù)集在實(shí)數(shù)集中的稠密性， 它屬于實(shí)數(shù)集中，現(xiàn)把稠密性推 廣到一般的度量空間中。2.6.1 定義：設(shè)X是度量空間，E和M是X的兩個(gè)子集，令M表 示M的閉包，如果E? M,則稱集M在集E中稠密， 當(dāng)時(shí)，稱M為X的一個(gè)稠密子集，如果X有一個(gè)可 數(shù)的稠密子集，則稱 X為可分空間。注：可分空間與稠密集的關(guān)系：由可分空間定義知，在可分空間X中一定有稠密的可數(shù)集。這時(shí) 必有X中的有限個(gè)或可數(shù)個(gè)點(diǎn) 在X中稠密。2.6.2 舉例n維歐式空間Rn是可分空間：坐標(biāo)為

8、有理數(shù)的全體是 Rn的可數(shù) 稠密子集。離散度量空間X可分uX是可數(shù)集。（因?yàn)閄中無稠密真子集，X中唯一的稠密只有 X本身）1二是不可分空間。數(shù)學(xué)知識(shí)間都有聯(lián)系，現(xiàn)根據(jù)直線上函數(shù)連續(xù)性的定義，引進(jìn)了度量空間中映射連續(xù)性的概念。3 .連續(xù)映射 3.1 定義：設(shè)（X, d）（Y, d ）是兩個(gè)度量空間，T是X至U Y中的映射X0?X,如果對(duì)V £ >0, 3 8 >0 ,使對(duì)X中一切滿足d （x, X0）8的x,有d（Tx,Tx0）£ ,則稱T在 X0連續(xù)。（度量空間之間的連續(xù)映射是數(shù)學(xué)分析中連續(xù)函數(shù)概念的推廣， 特別，當(dāng)映射是值域空間Y=R時(shí)，映射就是度量空間上的函

9、數(shù)。）注：對(duì)于連續(xù)可以用定義證明，也可以用鄰域的方法證明。下面 用鄰域描述：對(duì)Tx0的£ -鄰域U,存在x0的某個(gè)5 鄰域 V 使二，其中表示V在映射T作用下的像。 3.2 定理1:設(shè)T是度量空間（X, d）到度量空間（Y, d）中映 射，T在WX連續(xù)？當(dāng)xnTxo（nT.）時(shí)，必有Txn t Tx0（nt 笛）。在映射中我們知道像與原像的概念，下面對(duì)原像給出定義。3.3 原像的定義：映射T在X的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱T是X上的 連續(xù)映射，稱集合x I xGX, ? M? Y為集合 M在映射T下的原像，簡記為T,M?？梢?，對(duì)于度量空間中的連續(xù)映射可以用定理來證明，也可以用原像的定義來證明

10、。3.4 定理2:度量空間X到Y(jié)中的映射T是X上連續(xù)映射？ 丫中 任意開集M的原像T玉 是X中的開集（除此之外， 利用T4（M的補(bǔ)集）=（T，M ）的補(bǔ)集，可將定理中 開集改成閉集，定理也成立。）注：像開原像開，像閉原像閉，映射連續(xù)。在數(shù)學(xué)分析中有學(xué)過收斂點(diǎn)列，柯西點(diǎn)列，但研究都在R中?，F(xiàn)在我們可類似的給出度量空間中柯西點(diǎn)列的概念。4 .柯西（Cauchy）點(diǎn)列和完備的度量空間。4.1 柯西點(diǎn)列的定義：設(shè)（X, d）是度量空間，4是X中的點(diǎn) 歹U,對(duì)卡£ >0,可正整數(shù)（£ ）,使當(dāng)n , Hl >N 時(shí)，必有 d （ Xn , Xm ） < £

11、 ,則稱 Xn 是X中的柯西（）點(diǎn)列或基本點(diǎn)列?！緯?huì) 判斷：柯西點(diǎn)列是有界點(diǎn)列】我們知道實(shí)數(shù)集的完備性，同時(shí)在學(xué)習(xí)數(shù)列收斂時(shí)，數(shù)列收 斂的充要條件是數(shù)列是列， 這由實(shí)數(shù)的完備性所致。在度量空間 中，這一結(jié)果未必成立。但在度量空間中的確存在完備的度量空 間。4.2 完備的度量空間的定義：如果度量空間（X, d）中每一個(gè)柯西點(diǎn)列都在（X, d）中收斂，那么 稱（X, d）是完備的度量空間.但要注意，在定義中要求X中存在一點(diǎn)，使該柯西點(diǎn)列收斂到 這一點(diǎn)。4.3 舉例（記住結(jié)論）4.3.1 有理數(shù)全體按絕對(duì)值距離構(gòu)成的空間不完備，但n維歐式空間Rn是完備的度量空間。4.3.2 在一般度量空間中，柯西點(diǎn)

12、列不一定收斂，但是度量空間 中的每一個(gè)收斂點(diǎn)列都是柯西點(diǎn)列：C、C口、/也是完備的度量空間。4.4 定理 完備度量空間X的子空間M是完備空間二M是X中 的閉子空間。Pa, b（表示閉區(qū)間a, b上實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式 全體，作為C a , b的子空間）是不完備的度量 空間.5 .度量空間的完備化。5.1 等距映射：設(shè)（X, d） ,（x,d）是兩個(gè)度量空間，T是從X到 X上的映射，即對(duì)vwX,d（）（）,則稱T是等距映 射。5.2 定義：設(shè)（X, d）, （X,d）是兩個(gè)度量空間，如果存在一個(gè)從 X到X上的等距映射T,則稱（X, d）和（X,d）等距同囪，此時(shí)T稱為X到x上的等距同構(gòu)映射。（像的距 離

13、等于原像的距離）注：在泛函分析中往往把兩個(gè)等距同構(gòu)的度量空間不加區(qū)別而視為同一的。5.3 定理1 （度量空間的完備化定理）：設(shè)（X, d）是度量空間， 那么一定存在完備度量空間 x =（X,d）,使X與X的某個(gè)稠密子空間 W等距同構(gòu)，弁且X在等距同構(gòu)下是唯一的，即若（父，孑）也是一個(gè)完備的度量空間，且 X 與父的某個(gè)稠密子空間等距同構(gòu)，則（X,d）與（寅，（?） 等距同構(gòu)。（不需要掌握證明但是要記住結(jié)論 ）5.2.1定理1的改述：設(shè)*= （X, d）是度量空間，那么存在唯一的 完備度量空間X= （X,d）,使X為X的 稠密子空間。6.壓縮映射原理及其應(yīng)用（重點(diǎn)內(nèi)容，要求掌握弁會(huì)證明）學(xué)習(xí)完備度

14、量空間概念，就需要應(yīng)用，而壓縮映像原理是求 解代數(shù)方程、微分方程、積分方程，以及數(shù)值分析中迭代算法收 斂性很好的工具，另外要 學(xué)會(huì)如何求不動(dòng)點(diǎn)。6.1 壓縮映射定義：X是度量空間，T是X到X的映射，如果存在一個(gè)數(shù)a , be （0,1）,使對(duì) v x,ywX,d（,）Wad（x,y）則 稱T為壓縮映射。6.2 （壓縮映射定理）設(shè) X是完備的度量空間，T是X上的壓縮 映射，那么T有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)（即方程，有且只有一個(gè)解）。（x是T的不動(dòng)點(diǎn)u x是方程的解）這個(gè)定理對(duì)代數(shù)方程、微分方程、積分方程、數(shù)值分析的 解的存在性和唯一性的證明中起重要作用。6.3 壓縮映射原理的應(yīng)用：在眾多情況下，求解各種

15、方程的問題 可以轉(zhuǎn)化為求其某一映射的不動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)在以大家熟悉的一階常微 分方程dy = f (x, y) dx(1)為例來說明這一點(diǎn)。求微分方程(1)滿足初始條件yM) = y0的解 與求積分方程xy(x) = y0f (x,y(t)dtx(2)等價(jià)。我們做映射x Ty(x) = y0. f (x, y(t)dtx)則方程(2)的解就轉(zhuǎn)化為求y,使之滿足Ty=y。也就是求這樣 的y,它經(jīng)映射作用后仍變?yōu)閂。因此，求解方程(1)就變?yōu)榍?映射T的不動(dòng)點(diǎn)，這種求解方程變?yōu)榍蠼庥成涞牟粍?dòng)點(diǎn)的做法在 數(shù)學(xué)中是常用的。那么如何求解映射的不動(dòng)點(diǎn)呢？在 R中求方程 解的逐次逼近法給了我們啟示。這種迭代原理是解

16、決映射不動(dòng)點(diǎn)問題最基本的方法。在解決 上述問題中，看到實(shí)數(shù)完備性的重要作用。代數(shù)方程、微分方程、積分方程及其他方程求解的逐次逼近法在泛函分析中成了一個(gè)一般原理， 即壓縮映射原理，壓縮映射 原理就是某一類映射不動(dòng)點(diǎn)存在性和惟一性問題，不動(dòng)點(diǎn)可以通 過迭代序列求出。注：(1)從定理的證明過程中發(fā)現(xiàn)，迭代序列的初始值可任 意選取，最終都能收斂到惟一不動(dòng)點(diǎn)。(2)該定理提供了近似計(jì)算不動(dòng)點(diǎn)的誤差估計(jì)公式，即n_a .:(x., Xn) 一 -：(TXo,Xo)1 - a因?yàn)橥陚涠攘靠臻g的任何子集在原有度量下仍然是完備的， 所以定理中的壓縮映射不需要在整個(gè)空間X上有定義，只要在某個(gè)閉集上有定義，且像也在

17、該閉集內(nèi)，定理的結(jié)論依然成立。在實(shí)際應(yīng)用過程中，有時(shí)T本身未必是壓縮映射，但T的若 干次復(fù)合Tn是壓縮映射，這時(shí)T仍然有惟一不動(dòng)點(diǎn)，下面是壓縮 映射原理的應(yīng)用及相關(guān)證明。例1線性代數(shù)方程Ax = b均可寫成如下形式x = Cx + D 其中C=(Cj)n3D=(di,d2,，dn)T。如果矩陣C滿足條件 nZ Cj <1(i =1,2,，n) j 1則式(3)存在惟一解，且此解可由迭代求得。證明：取X =Rn ,定義度量為p(-,n)= maxai -bi1<<i1二(a1, a2 , ,an ) , (b1,b2 , , bn )構(gòu)造映射T :X t X為Tx=Cx + D

18、 ,那么方程(3)的解等價(jià)于映射T 的不動(dòng)點(diǎn)。又寸于 x = ( x1, x2；"L , xn ) , y = ( y1 , y2 ,，yn ),由于P(Tx，Ty) = max£ (CijXj+dj'-ZGyj+dj)1小二n=1max£ cj(xj -yj) < max! cj P(x,y)n記 a = max £ c 1封j4ija由條件a<1,因此T是壓縮映像，于是T有惟24 / 22不動(dòng)點(diǎn)，所以方程（3）有惟一解，且此解可由如下迭代序列x(k) =Cx(" - D近似計(jì)算求得。例2考察如下常微分方程的初值問題y(x

19、0)= y(0(4)如果f（x,y）在R2上連續(xù)，且關(guān)于第二元y滿足Lipschitz條件,f (x, yi)-f (x, y2)| <K "治這里K>0是常數(shù)，則方程（4）在鳳-6，x。+5上有惟一解（5<）oK證明：方程（4）的解等價(jià)于如下方程xy(x) = y。f(t,y(t)dtx0(5)的解。取連續(xù)函數(shù)空間Cx0-a,?+6,定義其上的映射T :Cx0 -、,x0 、 > Cx0 - ,x0 、x(Ty)(x) = y。f(t,y(t)dtx0則積分方程(5)的解等價(jià)于T的不動(dòng)點(diǎn)。對(duì)任意兩個(gè)連續(xù)函數(shù)V(x), y2(x)£Cx。-5,x。+

20、8,由于：(Tyi,Ty2)=xyx。母 Uf(t，yi一 f(t，y2dtmaxxw max J | f (t, yi (t) - f (t, y2 (t) dt x耳 x。_§,x0 母 lx0Kf |yi(t)-y2(t) dtE6Kp(y,y2)_ maxX x0,x0 至x令a = K6,則a<1,故T是壓縮映射，從而T有惟一不動(dòng)點(diǎn),即積分方程(5)有唯一解，從而微分方程(4)在x0 5,x0+8上 有惟一解。例3 設(shè)K(s,t)是定義在a,bxa,b上的二元連續(xù)函數(shù)，則對(duì) 于任何常數(shù)九及任何給定的連續(xù)函數(shù)f(t)Ca,b,如下Volterra型積分方程tx(t) =

21、 - K(s,t)x(s)ds f (t)a(6)存在唯一解。證明：取連續(xù)函數(shù)空間Ca,b,其上定義映射T ： Ca, bT Ca,b為t(Tx)(t) K(s,t)x(s)ds f(t)a則方程(6)的解等價(jià)于T的不動(dòng)點(diǎn)。由于K(s,.t)在a,b乂a,b上連續(xù)，于是K(s,t)在a,bMa,b有最大值，記為M ,即M = max a(s,t) :(s,t)乏a, b黑a, b對(duì)任何兩個(gè)連續(xù)函數(shù)xi(t),x2(t),由于< M M (t - a) max a <sXi(s) - X2(s)=九 M (t - a) P(x1, x2)(T2Xi)(t)-(T2X2)(t)=人K(

22、s,t)(TXi)(s) (Tx2)(s)ds2 M 2 7(x1,x2) (s - a)dsa般地,因此,22九 M2(t -a)2-: (Xi，X2)對(duì)自然數(shù)n,歸納可得(TnXi)(t)-(TnX2)(t) <n nM M n(t -a)n!n-:?(Xi,X2)(s,t)Xi (s) - X2 (s)ds(Txi)(t) _(Tx2)(t)|=|K|(K注意到limnj 二二_ n nM M n(b-a)n!_ n nM M n(b-a)n!n-: (Xi，X2)n-=0,因此存在自然數(shù)n0,滿足九 n°Mn0(b-a)%二a < 1n0!a<tibP(Tn

23、Xi,TnX2) =max(TnXi)(t)-(TnX2)(t)這說明Tn0是壓縮映射，由壓縮映射原理可知，有惟一不動(dòng)點(diǎn),亦即Volterra型積分方程(6)有惟一解。例4 (隱函數(shù)存在定理) 設(shè)函數(shù)f(x,y)在帶狀域a < x M b,< y中處處連續(xù)，且處處有關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)fy(x,y)。如果存在常數(shù)m和M ,滿足0 :二 m ± fy(x,y)三 M , m : M則方程f(x,y)=0在區(qū)間a,b上必有惟一的連續(xù)函數(shù)y=5(x)作 為解，即f (x, ：(x) =0,x a,b證明：在完備空間Ca,b中作映射T,使對(duì)于任意的函數(shù)”Ca,b,有1(T )(x) =

24、 (x)- f(x, (x)M按定理?xiàng)l件，f(x,y)是連續(xù)的，所以(TP)(x)也是連續(xù)的，即TqwCa,b,故T是Ca,b到Ca,b的映射?，F(xiàn)證T是壓縮映射，wCa,b由微分中值定理存在0父日<1使(T 中 2)(x) (T%)(x)| =" 2(x)1.1.Mf(x，2(x)- .(x) Mf(x，.(x)小11 小小= %(x) -%(x)-M fyx, %(x) +e(%(x) -%(x) (中2(x) -%(x)I 2(x) - 1 (x) (1 - £)M又0<m<M所以0<m<1令口=1/，貝U0<a<1且 MM(T

25、中2)(x)(T%)(x) Mu%(x)Q(x)按Ca,b中距離的定義，有P(T9TQ)叫中2(x)T(x),所以T是壓縮映像，存在 中wCa,b使T =中，即中(x)三K)-2f (x3(x),即 M/f(x,Rx)m0,所以 Mf (x, (x) = 0(a < x < b)可見，壓縮映射原理在處理迭代數(shù)列的收斂、微分方程定解等問題上有著重要的應(yīng)用，其觀點(diǎn)與方法已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)分支如常微分方程、數(shù)值計(jì)算，加深了各分支間的相互聯(lián)系, 應(yīng)用壓縮映射原理解決問題也十分簡潔、靈活和方便。(二)賦范線性空間1.線性空間設(shè)X是非空集合，F(xiàn)是實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域，稱X為F上的線性 空間，如果滿

26、足以下條件：對(duì)卡兩個(gè)元素x, ywX , mX中惟一個(gè)元素u與之對(duì)應(yīng)，u稱為x 與y的和，記為u = x + y,且滿足：(1)交換律 x+y = y+x(x,y w X)；(2)結(jié)合律 x+(y+z) =(x + y)+z(x, y,zw X)；(3)在X中存在一個(gè)元素e,稱為零元，使x+e=x(xwX)；(4)對(duì)每個(gè)xw X ,存在-xw X ,使x +(x), -x稱為x的負(fù)元。對(duì)任意數(shù)a w F及xw X ,存在X中惟一元素v與之對(duì)應(yīng)，記為 v=ax,稱為a與x的數(shù)乘，且滿足：(1 )結(jié)合律 a(Px) =(aP )x (豆,P)W F, x w X :(2) 1x = x;(3)數(shù)乘

27、對(duì)加法分配律(a + B )x =c(x + Px ；(4)加法對(duì)數(shù)乘分配律a(x + y) =ax十By。如果F=R,稱X為實(shí)線性空間；如果F=C (復(fù)數(shù)域)，稱X 為復(fù)線性空間 對(duì)于線性空間：X是線性空間（滿足加法和數(shù)乘運(yùn)算），Y是X的非空子集， 任意x,ywY及任意a ?R ,都有x+yw Y及axw Y,那么Y按X中加法 和數(shù)乘運(yùn)算也成為線性空間，稱為X的子空間，X和0是平凡子空間。若X#Y,則稱Y是X的真子空間。2.賦范線性空間和巴拿赫（）空間（重點(diǎn)內(nèi)容）2.1 定義：設(shè)X為實(shí)（或復(fù)）的線性空間，如果對(duì)每一個(gè)向量XWX, 有一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，記為I X I與之對(duì)應(yīng)，弁且滿 足：（1）

28、I X I >0 且 |x|=0 U0（2） |ax|二a|x其中a為任意實(shí)（復(fù)）數(shù) I I < I X I + I y I x,y w X則稱| X |為向量X的范數(shù)，稱X按范數(shù)| X |成為 賦范線性空間擴(kuò)展：| X |是X的連續(xù)函數(shù)。（要會(huì)證明）設(shè) Xn是X中的點(diǎn)列，如果：3xWX ,使I Xn-X | t0（R7 OO）則稱 Xn依范數(shù)收斂于x,記為xnT x （n7°°）或limxn = x如果令d（X, y） = | |（x,yWX）, xn依范數(shù)收斂于X= 4按距離d （x, y）收斂于X,稱d （x, y）為是由范數(shù)I x |導(dǎo)出的距離。注意：線

29、性賤范空間一定是度量空間，反過來不一定成立。2.2完備的線性賦范空間稱為巴拿赫()空間2.2.1 巴拿赫空間的舉例n維歐式空間R昔誤！Ca , b 嚴(yán)L錯(cuò)誤！ a, b (p2)ip 2.2.2 其他：霍爾德(不等式)：bIIW-g £ f p gp ； p閔可夫斯基不等式：f+g - f gj。(記住結(jié)論弁會(huì)應(yīng)用)二、有界線性算子和連續(xù)線性泛函1 .算子定義：賦范線性空間 X到另一個(gè)賦范線性空間 Y的映射， 被稱為算子，如果Y是數(shù)域，則被稱為泛函。2 .線性算子和線性泛函2.1 定義：設(shè)X和Y是兩個(gè)同為實(shí)(或復(fù))的線性空間， D(?) 是X的線性子空間，T為D到Y(jié)中的映射，如果對(duì)任

30、何 x, y G d及數(shù)%都有T()(1)T ( a x) =a則稱T為D到Y(jié)中的線性算子，其中D稱為T的定義 域，記為D (T), TD稱為T的值域記為R(T),當(dāng)T 取值于實(shí)(或復(fù))數(shù)域時(shí)，稱 T為實(shí)(或復(fù))線性泛函。2.2 幾種常見的線性算子和線性泛函的例子：相似算子ax 當(dāng)a =1時(shí)為恒等算子；當(dāng)a =0時(shí)為零 算子；P0 , 1是0, 1上的多項(xiàng)式全體，定義微分算子： (Tx) (t尸 dx(t),dt若 10G 0 , 1,對(duì) vx?P0, 1,定義 f (x) ' 3 則 f 是P0, 1上的線性泛函。積分算子：xGCa, b (t) =/錯(cuò)誤！x&)dT由積分 線性性質(zhì)知T為線性算子，若令f(x)= /錯(cuò)誤！ xa) di則f是Ca , b中的線性泛函乘法算子：xGCa, b (t) (t)R昔誤！中的線性變換是線性算子3 .有界線性算子3.1 定義：設(shè)X和Y是兩個(gè)線性賦范空間，T是X的線性子空間 D (T)到Y(jié)中線性