高中數(shù)學導數(shù)練習題答案

1、專題8：導數(shù)(文)經典例題剖析考點一：求導公式。例l.f (x)是f(x) 13x 2x 1的導函數(shù)，則f ( 1)的值是。3解析：r x x2 2,所以F 11 2 3答案：3考點二：導數(shù)的幾何意義。,f(l)處的切線方程是y例2.己知函數(shù)y f(x)的圖象在點M(1f(l) f (1)。解析：因為k lx 2,則211, f(l),可得點M的縱坐標為，所以f 1,由切線過點M(12255,所以 f 1,所以 f 1 f 13 22答案：3,3)處的切線方程是。例3.曲線y x3 2x2 4x 2在點(1,3)處切線的斜率為k 3 4 45,所以設切解析：y，3x2 4x 4,點(1,3)帶

2、入切線方程可得b 2,3)線方程為y 5x b,將點(1所以，過曲線上點Q處的切線方程為：5x y 2 0答案：5x y 2 0點評：以上兩小題均是對導數(shù)的幾何意義的考查?？键c三：導數(shù)的幾何意義的應用。32例4.已知曲線C： y x 3x 2x,直線l:y kx,且直線1與曲線C相切于 點 、xO,yO xO 0求直線1的方程及切點坐標。解析：直線過原點，則k yO xO 0 o由點xO,yO在曲線C上，則xOy232yO xO 3x0 2x0,0 xO 3x0 2。又 y 3x2 6x 2 在 xOxO,yO處曲線C的切線斜率為k f xO 3x0 6x0 2,222 整理得：解得：x0 2

3、x0 3x0 0, xO 3x0 2 3x0 6x0 2, 3 或 xO 02 (舍)，此時，yO 311, k o所以，直線1的方程為yx,切點坐標是84433, o 28答案：直線1的方程為y1 33 x,切點坐標是，4 28點評：本小題考查導數(shù)幾何意義的應用。解決此類問題時應注意“切點既在曲 線上乂在切線上”這個條件的應用。函數(shù)在某點可導是相應曲線上過該點存在切 線的充分條件，而不是必要條件?？键c四：函數(shù)的單調性。例5.已知f x ax3 3x2 x 1在R上是減函數(shù)，求a的取值范圍。解析：函數(shù)f x的導數(shù)為r x 3ax2 6x 1。對于x R都有x 0 時，f xa 0為減函數(shù)。由3

4、ax 6x 1 0 x R可得，解得a 3。所以， 36 12a 0 2當a 3時，函數(shù)f x對x R為減函數(shù)。1 8 (1)當 a 3 時，f x 3x3 3x2 x 13 x 。3 93由函數(shù)y x在R上的單調性，可知當a 3是，函數(shù)f x對x R為減 函數(shù)。3(2)當a 3時，函數(shù)f x在R上存在增區(qū)間。所以，當a 3時、函 數(shù)f x在R上不是單調遞減函數(shù)。綜合(1) (2) (3)可知a 3o答案：a 3點評：本題考查導數(shù)在函數(shù)單調性中的應用。對于高次函數(shù)單調性問題，要有 求導意識?？键c五：函數(shù)的極值。例6.設函數(shù)Rx) 2x 3ax 3bx 8c在x 1及x 2時取得極值。(1)求a

5、、b的值；323,都有f(x) c成立，求c的取值范圍。2)若對于任意的x 0,2解析：(l)f (x) 6x 6ax 3b，因為函數(shù)f(x)在x 1及x 2取得極值， 則有26 6a 3b 0，,解得 a 3, b 4o f (1) 0, f (2) 0. B|J24 12a 3b 0.(2 )由(I )可知， f(x) 2x3 9x2 12x 8c , f (x) 6x2 18x 12 6(x 1 )(x 2)。1)時，f (x) 0：當 x (12),時，f (x) 0：當 x (2, 3)時，f (x) 0o 所 以，當x (0,當 x 1 時,f(x)取得極大值 f(l) 5 8c,

6、 乂 f(0) 8c,f(3) 9 8c。則當 x 0, 3時，f(x)的最大值.為出3) 9 8co因為對于任意的x 0, 3 ,有f(x) c2 恒成立，2所以9 8c c,解得c 1或c 9,因此c的取值范圍為(，1) (9, ),1) (9, )o 答案：(1) a 3, b 4： (2)(,點評：本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的極值。求可導函數(shù)f x的極值步驟：求 導數(shù)X ；求x o的根；將r x o的根在數(shù)軸上標出，得 出單調區(qū)間，由F X在各區(qū)間上取值的正負可確定并求出函數(shù)f X的極值。 考點六：函數(shù)的最值。例7.已知a為實數(shù)，f x x2 4 x a o求導數(shù)P x ;(2)若 V 1

7、0,求f x在區(qū)間 2,2上的最大值和最小值。解析：(1) f x x ax 4x 4a, f x 3x 2ax 4。32212。r x 3x x 4 3x 4 x 1 24令r x 0,即3x 4 X 10,解得X 1或x ,則f x和r x在區(qū)間2,23（2） r 13 2a 4 0, af 19, 250 427 3 50 4o所以，f x在區(qū)間 2,2上的最大值為f，最r 27 3小值為f 19o 2答案：(1) F x 3x2 2ax 4； (2)最大值為f43950,最小值為f 1。227點評：本題考查可導函數(shù)最值的求法。求可導函數(shù)f x在區(qū)間a.b上的最 值，要先求出函數(shù)f x在

8、區(qū)間a.b上的極值，然后與f a和f b進行 比較，從而得出函數(shù)的最大最小值?？键c七：導數(shù)的綜合性問題。例8.設函數(shù)Rx) ax3 bx c(a 0)為奇函數(shù)，其圖象在點(l,f(l)處的切線與 直線x 6y 7 0垂直，導函數(shù)T(x)的最小值為12。(1)求a, b, c的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間，并求函數(shù)人乂)在1,3上的最大值和最小值。 解析：(1) 為奇函數(shù)，4 x) Rx),即 ax bx c ax bx cAc 0, VP(x) 3ax2 b 的最小值為 12, Ab 12, 乂直線 x 6y 7 0 的斜率為330. 61,因此，f(l) 3a b 6, A a 2

9、, b 12, c(2) f(x) 2x3 12xoP(x) 6x212 6(xx,列表如下:所以函數(shù)f(x)的單調增區(qū)間是(,和 ),：( 1) 10,f , f(3) 18,嶺)在1,3上的最大值是出3) 18,最小值是f答案：(l)a 2, b 12, c 0:(2)最大值是f(3) 18,最小值是f點評：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調性、二次函數(shù)的最值、導數(shù)的應用等基礎知識, 以及推理能力和運算能力。導數(shù)強化訓練(一)選擇題x21 .己知曲線yl4的一條切線的斜率為2,則切點的橫坐標為(A )A. 1 B. 2 C. 3 D. 42 .曲線y x3 3x2 1在點(1, -1)處的切線方程

10、為(B )A. y 3x 4B. y3x 2C. y 4x 3 D. y 4x 53 .函數(shù)y (x l)2(x 1)在x 1處的導數(shù)等于 (D )A. 1 B. 2 C. 3D. 44 .已知函數(shù)f(x)在x 1處的導數(shù)為3,則f(x)的解析式可能為(A )A. f(x) (x 1)2 3(x 1) B. Rx) 2(x 1)C. fix) 2(x 1)2 D. Rx) x 15.函數(shù)x) x3 ax2 3x 9,已知f(x)在x3時取得極值，則a= ( D )(A) 2(B) 3(C) 4(D) 56 .函數(shù)f|x)(A ) (2,7 .若函數(shù)fx3 3x2 )(B )( x x21是減函

11、數(shù)的區(qū)間為(D ),2) (0(.0) ( D ) (02)bx c的圖象的頂點在第四象限，則函數(shù)x的圖象是（A ）x AB CD8.函數(shù) Rx) 2x2 13x3在區(qū)間0,6上的最大值是（A ）A. 32B. 16C. 12D. 99.函數(shù)y x3B.3x的極大值為m,極小值為n,則m n為C. 2A ) A. 0D.10.A.4三次函數(shù)fa 0ax3 x 在 xB.C. a 1D. 111.在函數(shù)y x3 8x的圖象上，其切線的傾斜角小于是A.B. 2的點中，坐標為整數(shù)的點的個數(shù)4D. 0(D ) C. 112.函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a,b),導函數(shù)f (x)在(a,b)A. 1個

12、C,3個(二)填空題B. 2個 D. 4個313.曲線y x在點1,1處的切線與x軸、直線x 2所圍成的三角形的面積 為o 14.已知曲線y 15.己知f都有f(n)(n)134x ，則過點P(2,4)“改為在點P(2,4)”的切線方程是33(x)是對函數(shù)f(x)連續(xù)進行n次求導，若f(x) x6 x5,對于任意x R,(x)=0,則n的最少值為。16 .某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運費為4萬元/次， 一年的總存儲費用為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x 噸.(三)解答題3217 .己知函數(shù)f x x ax bx c,當x 1時，取得極大值7；當x 3 時

13、，取得極小值.求這個極小值及a,b,c的值.18 .已知函數(shù) &x) x3 3x2 9x a.(1)求f(x)的單調減區(qū)間：(2)若f(x)在區(qū)間-2, 2.上的最大值為20,求它在該區(qū)間上的最小值.19 .設I 0,點P (t, 0)是函數(shù)Rx) x3 ax與g(x) bx2 c的圖象的一個公共點，兩函數(shù)的圖象在點P處有相同的切線。(1)用 t 表示 a,b,c；(2)若函數(shù)y f(x) g(x)在(一1，3)上單調遞減，求t的取值范圍。20 .設函數(shù) f x x3 bx2 cx(x R),已知 g(x) f(x) f (x)是奇函數(shù)。(1)求b、c的值。(2)求g(x)的單調區(qū)間與極值。2

14、1 .用長為18 cm的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之 比為2： 1,問該長方體的長、寬、高各為多少時。，其體積最大？最大體積是多 少？22 .已知函數(shù)Rx)21312x ax bx在區(qū)間11)3內各有一個極值點.，(1, 32 (1)求a 4b 的最大值；,f(l)處的切線為1，若1在點A處穿(1)當a 4b 8時，設函數(shù)y f(x) 在點A(1過函數(shù)y f(x)的圖象(即動點在點A附近沿曲線y f(x)運動，經過點A時， 從1的一側進入另一側)，求函數(shù)f(x)的表達式.2強化訓練答案:12.Al.A 2.B 3.D 4.A 5.D 6.D 7.A 8.A 9.A 1O.

15、A 11.D(四)填空題 (五)解答題17.解：r x2據(jù)題意，一1,2a 1 313.814. y 4x3x2 2ax bo3是方程3x 2ax31 34 015. 716. 20 3b 0的兩個根，由韋達定理得b- -a3,b9.*f x x3 3x2 9x c f 17, .c 2極小值 f 333 3 32 9 3 2253,b9, c 2o ，極小值為-25, a18.解：(1)所以函數(shù)(2)因為所以f (x)3x2 6x 9.令f (x) 0,解得x 1或x 3, f(x)的單調遞減 區(qū) 間 為 (，1),(3,). fi( 2) 8 12 18 a 2 a,f(2)8 12 18

16、 a 22 a, fi(2) f( 2).因為在(一1, 3)上 f (x) 0,所以f(x)在一1,2上單調遞增，乂由于f(x)在一2, 1上單調遞減，因此f(2)和f( 1) 分別是f(x)在區(qū)間2,2上的最大值和最小20,解得a2.值.于是有22 a故即函數(shù)f(x) x3 3x2 9x 2. 因此出 1) 12.2上的最小值為-7.19.解：(1)區(qū)I為函數(shù)即t3f(x), g(x)的圖象都過點(t, 0),所以f(I) 0, g(t) 0,即 bl2 c 0,所以 c ab.3 9 27, Rx)在at 0.因為l 0,所以at2.又因為f(x), g(x)在點(t, 0)處有相同的切

17、線，所以f (t) g (t).而 f (x) 3x2 a.g (x) 2bx,所以 3t2 a 2bt.t2代入上式得b t.因此c abl3.故a12, b t, c t3.揩a(2) yRx)g(x)x3 t2x tx2l3,y3x22tx t2(3x t)(x t).當y (3x t)(x t) 0時，函數(shù)y f(x) g(x)單調遞減.y 0,若t0,則tt x t：若t0.則tx.33由由題意，函數(shù)y f(x) g(x)在(-1, 3)上單調遞減，則ttt( 1,3)(，?；?1.3) (t,).所以 t 3 或 3.BP t 9 或 t 3.333 又當9 t 3時，函數(shù)y f(

18、x) g(x)在(一 1，3)上單調遞減.所以t的取值范圍為(,9 3,).20 .解：(1) x x3 bx2 ex, f x 3x2 2bx c。從而g(x) Rx) f (x) x3 bx2 ex (3x2 2bx c)=x3 (b 3)x2 (c 2b)x c是一個奇函數(shù)，所以g(0) 0得c 0,由奇函數(shù)定義 得b 3；32 (2)由(I )知 g(x) x 6x,從而 g (x) 3x 6,由此可知，和)是函數(shù)g(x)是單調遞增區(qū)間;(是函數(shù)g(x)是單調遞減區(qū)間; g(X)在 X g(x)在、取得極大值,極大值為取得極小值,極小值為。21 .解：設長方體的寬為x (m),則長為2

19、x(m),高為h 18 12x 4.5 3x(m)430x .2故長方體的體積為V x 2x2 4.5 3x 9x2 6x3m3從而 V (x) 18x 18x令V，當 02 Ox32 (4.53x)18x(1 x). x 0,解得 x0(舍去)或 x 1,因此x1. 3 時，V，x0, 2 x1 時，V，x 0；當1 x故在x 1處V X取得極大值，并且這個極大值就是V X的最大值。從而最大體積V V x 9 12 6 13m3 ，此時長方體的長為2 m, 高為1.5 m.3答：當長方體的長為2 m時，寬為1 in,高為1.5 m時，體積最大，最大體 積為3m。22.解：(1)因為函數(shù)f(x) 1312x ax bx在區(qū)間11)3內分別有一個極值 點，所以，(1, 323內分別有一個實根，(1, f (x) x2 ax b 0在11)設兩實根為xl, x2 (xlx2),則 x2 xl 0 x2 xl4.于是b3時等號成立.且當xl1 即 a2,故，x2 3, 0 4, 0 a2 4b16,a2 4b的最大值是16.(2)解法一：由f1 a b知f(x)在點Q, f