第2講解析幾何中的“瓶頸題”

1、第2講 解析幾何中的“瓶頸題”【突破解析幾何】第2講 解析幾何中的 瓶頸題”（本講對應(yīng)學生用書第8188頁）數(shù)學解答題是高考數(shù)學試卷中的一類重要題型，主要分六塊：三角函數(shù) （或與 平面向量交匯）、立體幾何、應(yīng)用問題、解析幾何（或與平面向量交匯）、函數(shù)與導(dǎo) 數(shù)（或與不等式交匯）、數(shù)列（或與不等式交匯）.其中三角函數(shù)和立體幾何屬于基礎(chǔ) 問題，若能夠拿下應(yīng)用問題和解析幾何題，就攻下全部中下檔題目，便鎖定了128分，應(yīng)該認為這已打了一個大勝仗，基本上已經(jīng)進入了 “第一方陣”（本科行列）.解析幾何重點考查的內(nèi)容是：直線與方程，圓方程，圓錐曲線的定義，標準方程及 其應(yīng)用，離心率、焦點、準線和漸近線等簡單的

2、幾何性質(zhì)以及數(shù)學學科內(nèi)在的聯(lián)系 和綜合.解析幾何解答題重點考查的內(nèi)容是：圓錐曲線的標準方程，直線和圓錐曲 線的位置關(guān)系.?？汲Ｐ碌念}型有軌跡、最值、定值、對稱、參數(shù)范圍、幾何證明、 實際應(yīng)用和探究性問題等.圓錐曲線是高考的重點、難點和熱點，其難度往往體現(xiàn) 在運算上，尤其是代數(shù)式的運算，“降低運算量”應(yīng)視為解答解析幾何綜合問題的 首要理念，只有將運算量有效地降下來，才能回避繁重的計算.因而，如何降低其運算量是突破解析幾何問題的關(guān)鍵.【解法概述】舉題說法突破瓶頸面應(yīng)回歸定義,追根溯源定義是事物本質(zhì)屬性的概括與反映.圓錐曲線的定義不僅是推導(dǎo)圓錐曲線方程的依 據(jù)，也是常用的解題方法.事實上，圓錐曲線的

3、許多性質(zhì)都是由定義派生出來的 .對 某些圓錐曲線問題、甚至一些從表面上看并不是圓錐曲線問題的問題，若采取“回 歸定義”的策略，把定量的計算和定性的分析有機地結(jié)合起來，則往往能獲得題目 所固有的本質(zhì)屬性，達到準確判斷、合理運算、靈活解題的目的，這樣可使計算量 大大減少.例1如圖，圓C: (x+2)2+y2=36,明圓C上的任意一動點，點A的坐標為(2 , 0),線段PA勺垂直平分線l與半徑C皎于點Q.求點Q勺軌跡G勺方程.【分析】因為QA=QP所以QC+QA=QC+QP=r=6=再根據(jù)橢圓的定義，點 Q勺軌 跡說中心在原點，以C, A為焦點，長軸長等于6的橢圓.【解答】圓C勺圓心為C(-2, 0

4、),半徑r=6, CA=4連接QA.由已知得QA=QP所以QC+QA=QC+QP=r=6>CA.根據(jù)橢圓的定義，點Q勺軌跡Gg中心在原點，以C, A為焦點，長軸長等于6的橢圓，即 a=3, c=2, b2=a2-c2=9-4=5,22x y所以點Q勺軌跡G勺方程為9 + 5 =i.【點評】應(yīng)用定義求動點軌跡或其方程，其優(yōu)勢在于避免列式、化簡等繁瑣的代數(shù)處理過程，給人以簡捷、明快之感.定義法是解析幾何中最樸素、最基本的 數(shù)學思想方法，可以說它是求動點軌跡或其方程的重要方法之一.2x練習1如圖，F(xiàn)i, F2是橢圓G: 4 +y2=1與雙曲線G的公共焦點，A, B 分別是橢圓G和雙曲線G在第二

5、、四象限的公共點.若四邊形AFBE為矩形，則雙曲 線C2的離心率為.(練習1)【分析】在R4AFF2中運用橢圓的定義、雙曲線的定義及勾股定理求解 .,6【答案】222x y2 22一，【解析】設(shè)雙曲線的萬程為a - b =1(a>0, b>0),貝UAF2+AF=4, AR-AFi=2a,得AF=2+a, AF=2-a, TMc=&-1 =百，_c 、. 6由題意得(2 6)2=(2-a)2+(2+a)2,解得 a=及，所以 e=a= 2 .【點評】也可以通過橢圓G與圓x2+y2=3(以F1F2為直徑的圓)求得交點A后，把點A的坐標代入雙曲線G求其離心率，1運算量較大.練習

6、2如圖，已知拋物線C: y2=8x的焦點為F,準線為l, P是l上一點,叫直線PFf拋物線C的一個交點，若FP=4FQ,則|QF |二(練習2)【分析】過點QQML直線l于點M,設(shè)直線l與x軸交于點N,由PQMb zPF歐 QM再利用拋物線的定義求QF.【答案】3(練習2)【解析】如圖，過點QQML直線l于點M,設(shè)直線l與x軸交于點N,PQ 3QM_ PQ 3因為 FP=4FQ,所以正=4.又FN=4 貝丁 =PF =4 ,所以QM=3由拋物線定義知QF=QM=3.【點評】本題也可設(shè)P(xb yi) , Q(x2, y2),將直線FP: y=k(x-2)與y2=8x聯(lián)立求fq i y2yi,

7、y2(含k),再通過FP=4 = yi求k的值，然后求出點Q勺坐標，最后求QF，但運算 非常大.所以若能靈活地運用圓錐曲線的定義考慮問題，可使解答更為直觀、運算 量更低.聯(lián)電設(shè)而不求,多思少算例1已知圓G: x2+y2=1,圓Q: (x-1) 2+(y-1) 2=1,求兩圓公共弦所在直線 的方程.【分析】容易想到聯(lián)立兩個方程求得兩圓的交點坐標，并利用“兩點式”求 出直線方程.可是明顯計算量較大.事實上，考慮設(shè)兩圓交點為 A(x%/)，B(x2, y， 則點A同時滿足圓G和圓G的方程，即x12 +媼=1且(x1) 2+(y1-1) 2=1,所以x12 +黃- (x1-1) 2+(y1-1) 2=

8、1-1=0 ,即得必+丫1-1=0,所以點A的坐標滿足方程x+y-1=0為一個直線方程，同理，點 的滿足這個直線方程.綜上可知，點A與點由勻在直線x+y-1=0上，故而兩圓公共弦即交點連線所在直線方程就是x+y-1=0.上述分析似乎很煩,但若能明白其中的道理，可以簡化解題過程.【解答】設(shè)C和G的交點為A(xi, yi), B(x2, y9,則A(xi, yi) , B(a, y?)同時 滿足xy練習 已知A, B是雙曲線x2- 2 =1上的兩點，AB勺中點為M(1, 2).求直線AB勺方程；(2)如果線段AB勺垂直平分線與該雙曲線交于C, D兩點，那么A, B, C, D四點 是否共圓？為什么

9、？+y2-( x-1) 2+(y-1) 2=0 ,即x+y-1=0,所以 Iab： x+y-1=0就是所求.【點評】本題解題思路言簡意賅，只是思考的過程多了，利用“設(shè)交點而不 求交點，但利用它解題”便可以使解題過程簡單明了.例2過橢圓16+4 =1內(nèi)一點M(2, 1)引一條弦，使弦被點Mff分，求 這條弦所在直線的方程.【解答】設(shè)直線與橢圓的交點為A(xi, yi), B(x2, y)因為 M(2, 1)為AB勺中點，所以 xi+x2=4, yi+y2=2.又A,彘橢圓上，貝U x12+4y12=16, x2+4y2=16,以上兩式相減得(x12-x2)+4( y2 - y2 )=0 ,所以(

10、x1+x2)( xx2)+4( y+y2)( y1-y2)=0 ,yi -x2411所以 X1-X2=- 4(y1+y2)=-4父2 =2,即6工 2 .1故所求直線的方程為y-1=- 2 (x-2),即x+2y-4=0.2x1y1y2 =1,即 kAB=1.故直線AB勺方程為y=x+1.（2）假設(shè)A, B, C, D四點共圓，且圓心為P.因為A助圓P的弦,所以圓心P在AB勺垂直平分線CDh.又弦CDi圓心P,故圓心P為CD勺中點.卜面只需證CD勺中點剛足PA=PB=PC=P即只需證PA=PC.y =x 1,2 y2x2-匕=1, 彳4A(-1 , 0), B(3, 4),求得直線CD勺方程為

11、y=-x+3. '彳4c（-3+2痣，6-2.），D（-3-2 艮 6+2新），所以CD勺中點P(-3 , 6).-近=1,22 y214二 1【解答】（1）設(shè)A（x1, y", Bg y»,則有12 兩式相減，得（xX2)( xi+X2)= 2 (yyO( yi+y2),由題意得 xwxy-y2,x+x2=2, y+y2=4,所以 x1-x2 =y = -x 32 y2x - - =1由 22(x x2)例1已知A(3, 0)是圓x2+y2=25內(nèi)的一個定點，以A為直角頂點作 R/XABC且點B, Cft圓上，試求Bg點M勺軌跡方程.【分析】B, Cffi為圓x2

12、+y2=25上的動點，可引進角參數(shù)，設(shè)出B, C的坐標，然 而這將導(dǎo)致繁復(fù)的運算.如果注意到由“垂徑定理”知OM_ BC(Ofc原點)，那么再結(jié)1合/CAB=90 , AM=BM=CMBG即可迅速解題.（例1）【解答】設(shè)M僅，y),如圖，連接OC OM MA因為MfeBC勺中點，則由垂徑定理知，OMLBG所以O(shè)M+MC=OC.1因為在 RABW, AM=BM=CM=BG所以 oM+aM=oC,即x2+y2+(x-3) 2+y2=25,所以點M勺軌跡方程為x2+y2-3x-8=0.【點評】“垂徑定理”的使用，讓我們在尋找 M勺坐標中的x與y的關(guān)系時，跳 過了兩個動點B, C,而直達一個非常明確的

13、結(jié)果oM+aM=oC這大大減少了運算量.例2如圖，已知點P是圓O: x2+y2=1上第一象限內(nèi)的任意一點，過點P2x作圓O勺切線交橢圓C: 4 +y2=1于Q(xi, yi) , R(x2, y2)(，)兩點，橢圓C的右焦點 為F心，0).（例2）（1）求證：PQ+FQ=2（2）求QR勺最大值.【分析】（1）由兩點間的距離公式求QF（用xi表示），由勾股定理求PQ州xi表 示）；（2）同理 PR+FR=2 有 QR+QF+FR=4吉合 QRS QF+F求解.2Xi2【解答】（1）由點Q（xi, yi）在橢圓上得4 +y1=1,pq=,oq2-op2= .xi2 y2-1二片+1工1員4= 2

14、x1,即 PQ+FQ=2.(2)由(1)同理得 PR+FR=2 則 QR+QF+FR=某QRC QF+FR 2Q醫(yī)4,即QRC 2,所以當QRi點F時取得最大值2.【點評】運用平面幾何知識，可降低運算量、直觀地解決問題 .如：（1）線段垂直平分線：已知線段AB,動點剛足PA=PB點P在線段AB勺垂直平 分線上.（2）三角形：三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；等腰 三角形的兩底角相等，且兩底角必為銳角；兩個特殊直角三角形（3）四邊形：對角線互相垂直的四邊形的面積等于兩對角線之積的一半； 平行四邊形的對角線互相平分（反之也行）；菱形的對角線互相平分且互相垂直 （反之也行）；矩形的對角

15、線互相平分且相等（反之也行）；正方形的對角線互相 平分、垂直、相等（反之也行），其中含有等腰直角三角形.(4)圓：直徑所對的圓周角為直角(反之也行)；垂徑定理：垂直于弦的直 徑平分這條弦(反之也行).練習1設(shè)拋物線x2=2py( p>0)的焦點為F,其準線與雙曲線x2-y2=3相交 于A, B兩點，若4AB叨等邊三角形，則p=.【分析】由4AB叨等邊三角形，得到點B的坐標，再代入雙曲線方程求p的值.【答案】6【解析】由AB叨等邊三角形，知B43'萬人 代入x2-y2=3解得p=6.練習2 已知點A(1, 1), B(2, 2),點P是x軸上一動點，則PA+P的最 小值為, |PA

16、-PB|的最大值為.【分析】點版于x軸的對稱點為A'(1 , -1),則PA+PB=PA'+PBA'B.【答案】10、,2【解析】點版于x軸的對稱點為A'(1 , -1),則PA+PB=PA'+PBA'B=g)2 十四-*呵 |PA- PB|<ABJ(2-1)2+(2-1)2=V2.例1 (1)如圖，設(shè)拋物線P: y2=x,直線ABf拋物線關(guān)于A, B兩點，且OALOB OA+OB=0c ,求四邊形AOB面積的最小值.（例1）2x(2)已知雙曲線2 -y2=i的左、右頂點分別為Ai, A,點P(xi, yi), Q(xi, -yi)是雙曲線

17、上不同的兩個動點，求直線 AiP與AQC點的軌跡E的方程.【分析】(1)設(shè)直線OA y=kx,與y2=x聯(lián)立可求得點A的坐標(用k表示)，由1OALOB知。的y=- kx,只需將點段標中的k替換為-%即得點B的坐標，再求2上2S=OA OB勺最小值.(2)求得直線AP與4Q勺方程后，將兩方程相乘，結(jié)合 2 -y1=1整體消去xi, yi,即得直線AP與A2QC點的軌跡E的方程.【解答】(1)依題意，知直線OA OB勺斜率存在，設(shè)直線OA勺斜率為k,1由于OALOB設(shè)直線OA勺方程為y=kx,則直線OB勺方程為y=-kx,y=kx，12-n由y x，消去y,得k-xu。，解得x=0或x=k ,.

18、11所以點Ak k人同理得點B(k2, -k),由OA+OB=OC ,知四邊形AOBC平行四邊形.又OAOB,則四邊形AOB段矩形，其面積S=|OA| OB|= 1 2. 1 2 J112 211Kk2 J * J . J(k2)2+(-k)2=d2 k k2 >V 那 k2 =2. 當且僅當k2=k2 ,即k2=1時，等號成立，即四邊形AOBCJ面積的最小值為2.(2)由A, A為雙曲線的左、右頂點知，A(-&，0),陽正，0),%_-y1_直線 APJy=x1 '拒(x+及)，直線 AMy=x1-行(x-石)，2-y1兩式相乘得y2=x12-22 x12Vi(x2-2

19、).又點P(x% y。在雙曲線上，得2 y12=1,2即 x1-2 =故yx1所以切線 PA勺方程為 y-y1= 2 (x-x1)，即 y= 2 x- 2 +y1，即 x1x-2y-2y1=0. 同理可得切線PB勺方程為x2x-2y-2 y2=0. 因為切線 PA PB勻過點 P(xo, yo),則 x1xo-2yo-2 y1=0, x2xo-2yo-2 y2=0, 所以(x1，y1)，(x2, y2)為方程x0x-2y0-2y=0的兩組解，=-2 (x2-2),所以直線A1P與A©點的軌跡E的方程為2 +y2=1(xyw0).【點評】在(1)中，得到點A<k2后，只需用-替換

20、k,即得B(k2, -k).遇到 類似的東西，只需將結(jié)果作“同理推算”(替換)即可，不必重算一遍.在(2)中，也 可聯(lián)立AP與A2Q勺方程，解得交點白坐標后，再消去 M，y1,求軌跡E的方程，但運 算要大很多.“同理推算”與“整體運算”是降低運算量的有效方法，它可以化繁 為簡，直奔結(jié)果.B為切點，求直線AB勺方程.設(shè) A(x1, y。，B(x2, y2)練習1已知拋物線C: x2=4y,設(shè)點P(xo, yo)為直線l: x-y-2=0上一定點，過點P乍拋物線C的兩條切線PA PB,其中A,11由 x2=4y得,y= 所以直線ABW方程為x0x-2 y-2 y0=0. x2,求導(dǎo)得 y'

21、= 2 x,2其中2、 x2 y2 =-4 JX1x12x，t-2 2， t練習2 如圖，已知A,盼別為曲線C: a +y=1(y>0, a>0)與x軸的左、右兩個交點，直線l過點B,且與x軸垂直，助l上異于點B的一點，連接A皎曲 線CT點1點血以S斯直徑的圓與線段TB勺交點.試問：是否存在a,使得O, M, S(練習2)【分析】設(shè)S(a, 2m),求直線AS,求點T的坐標.若O, M 腔點共線，有BT± OS.【解答】由題意得A(-a, 0), B(a, 0),設(shè)S(a, 2m),則直線AS勺方程為y二 m a (x+a).jy=m(x+a), a 22 22由 x a

22、 y -a，得(m2+i)x2+2am2x+a2(m2-1)=0 ,a2 (m2-1)2-設(shè)T(xi, yi),則-a與xi是萬程的兩個實根，有(-a) - xi= m +1 ,2ma(m2 -1)a(m -1) m2+ a 2m2-a m +12 ,所以x1=- m +1 ,而y1二a . (x+a)=-=m +1 ,有Ta(m2-1) 2m _ _ 2 ,A '2 ,A、m +1 m +1J若O, M S三點共線，則BT±OS即BT OS=0,所以 a(m2-1)2m- 2-a, -2< m +1 m +1 人(a, 2m)=0,化簡得(a2-2) m2 +1=0,

23、由 mw0,得a2=2,而a0,則a=0.【點評】由所給的圖形發(fā)現(xiàn)方程已有一個實根-a,結(jié)合韋達定理即可求得另 一個根，比起用公式法求方程的根方便很多【專題突破】分類解密專題突破蹤老點1)求曲線方程中的“瓶頸題”例1已知圓C與兩圓x2+(y+4)2=1, x2+(y-2) 2=1外切，圓C的圓心軌跡方程為L,設(shè)L上的點與點M僅，y)的距離的最小值為m,點F(0, 1)與點M(x, y)的距離為n.(1)求圓C的圓心1跡L的方程；(2)求滿足條件m=n的點M勺軌跡Q勺方程.【分析】(1)(條件)L上的點到兩個已知圓的圓心距相等 =(目標)圓C的圓心 軌跡L的方程=(方法)根據(jù)平面幾何知識作出推斷

24、，L為兩圓圓心的垂直平分線.(2)(條件)點M勺軌跡滿足的幾何條件=(目標)點M勺軌跡Q勺方程二(方法)歸 結(jié)為圓錐曲線定義，確定圓錐曲線方程的系數(shù)寫出軌跡方程【解答】(1)兩圓半徑都為1,兩圓圓心分別為C(0, -4) , G(0, 2),由題意得CC=CC,可知圓心C的軌跡是線段CG的垂直平分線，CG的中點為(0, -1),直線GQ的垂直平分線的斜率等于零，故線段GG的垂直平分線方程為y=-1 ,即圓C的圓心1跡L的方程為y=-1.(2)因為m=n,所以M(x, y)到直線y=-1的距離與到點F(0, 1)的距離相等, 故點M勺軌跡叫以y=-1為準線、點F(0, 1)為焦點，頂點在原點的拋

25、物線， 所以軌跡Q勺方程是x2=4y.【點評】本題命題立意是通過對已知條件的分析、邏輯推理判斷曲線的類型 后求出其軌跡方程，考查邏輯推理能力在求軌跡方程中的運用，具特點是解軌跡方 程不以計算為主，而以推理為主.22x y練習 如圖，動點P(x0, y0)為橢圓C: 9 + 4 =1外一點，且過點P作y-y。= k(x-xo),【解答】設(shè)其中的一條切線方程為y-yo=k(x-xo),聯(lián)立92一,4 消去y,得橢圓C的兩條切線相互垂直，所以(x0 -9) k2-2xoy0k+ y0 -4=0 , 垂直，設(shè)ki, k2為上述方程的兩根，因為兩切線相互所以ki k2=-1 ,當 x；-9w0時,22

26、/y0-42 c22ki k2=x0-9 =-1 ,所以 X。+y0=i3；22當 x0-9=0時，此時 P(±3, ±2)也符合 x0 + y0=13, 綜上，所求點P的軌跡方程為x2 + y02=13.(9 k2+4)x2+18k( yo-kxo)x+9( yo-kxo) 2-36=0,令 A =18 k( yo-kxo) 2-4(9 k2+4)9( yo-kxo) 2- 36=0,即(y0-kx0)2-4-9 k2=0,22正考點D圓錐曲線中的最值與范圍問題中的“瓶頸題”I，例1如圖，在平面直角坐標系xOy中，點Pl 2J到拋物線C: y2=2px（p>0）5的

27、準線的距離為4 .點M（t, 1）是拋物線C上的定點，A, B是拋物線C上的兩動點，且 線段ABt直線OMF分.(例1)（1）求p, t的值；（2）求AABPS積的最大值.【分析】（1）（條件）點M&拋物線上、點P到拋物線準線的距離二（目標）求p, t二（方法）根據(jù)已知列方程組，解方程組即得；（2）（條件）直線OMJ方程、點P坐標、拋物線方程=（目標）AABPS積的最大 值=（方法）利用AB勺中點的坐標為參數(shù)建立 ABPS積的函數(shù)關(guān)系式，通過函數(shù)的 最值求解.2 Pt =11衛(wèi)二5 得 p=2【解答】（1）由題意知L 2 42 f（2）設(shè)A（x1, y。，B（x2, yz）,線段AB勺

28、中點為Q（m, m）,由題意，設(shè)直線AB勺 斜率為k（kw0）.y1 二x1由）2 一x2彳馬（yy2）（，+丫2）二必-左，故k。2m=1,所以直線AB勺方程為y-m=2m (x-m),2 x-2my 2m -m = 0, 2即x-2my+2m2-m=0.由 J =x,消去x,整理得 y2-2my+2m2-m=0,所2 c。2 Mm bI.以 A=4m_4 m >0, yi+y2=2m, yi - y2=2m-m.從而AB=Vk . |，乎|=1 4m2 .4m-4m2.|1-2m 2m2|設(shè)點限口直線AB勺距離為d,則二 1 4m2 .1設(shè)ABP勺面積為 S, WJS=2 AB- d

29、=|1-2( m-m2)| m-m2 . 1由 A=4m_4m2>0,得0<m<1.令u= Jm-m' , 0<u< 2 ,貝U S=u(1-2 u2).1設(shè)S(u)=u(1-2 u2) , 0<u< 2 ,則 S'( u)=1-6 u2.出。一下由 S'(u)=0,得口= 6 6 I 2),所以 S(u)makS16 J= 9 .故ABFW 積的最大至值為9 .【點評】解析幾何中最值問題的基本解題思路是建立求解目標關(guān)于某個變量 的函數(shù)，通過求解函數(shù)最值解決問題.求解參數(shù)范圍的思路與此類似，即建立求解 目標關(guān)于某個變量的函數(shù)，通

30、過函數(shù)值域求解其范圍.練習 已知雙曲線C的兩條漸近線白方程分別為y=± 2 x,且其中一個 焦點為(。，痛).(1)求雙曲線C勺標準方程；(2)若P是雙曲線Ch一點，A, B兩點在雙曲線C的兩條漸近線上，且分別位于一 一 A】第一、二象限，若AP = X PB,入C A i,求4AO加積的取值范圍.二1,其一【解答】（1）由題意設(shè)雙曲線C的方程為4 -x2=入（入0）,即4九-九個焦點為（0 ,卡）,2_y_則（75）2=4入+入，得入=1,所以雙曲線C勺標準方程為4 -x2=1.（2）因為雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±2x,設(shè)A（m, 2m）, B（-n, 2n）,m-

31、 1 n 2（m - n）m0, n0, P（x, y）,由aP二入pB ,得點P的坐標為l1十九 F2】工蟲1記可入尸入十九，入e I3，聯(lián)入）=1-九2二九2 ，由f（入）=0得入=1,當3V入1時，f（入）0, f（入）遞減;當1入2時,f（入）0, f（入）遞增.1”5232y又 f 13 J= 3 , f（1）=2 , f（2）= 2 ,即 f（入）C 3，則 & aobC ' 3 J,十九 人 將點P的土1.12坐標代入4 -x2=1,化簡得mn=4 -1.設(shè)/AOB=2）,因為tan、2 J=2,所以tan 8=2, sin § 二期,sin 2 0=5

32、.1 1 . .1所以 AOB3積的取值范圍是又OA5m, OB*5n,則&aoe= 2 OA- OB- sin 2 9 =2mn=2 ' 九）+1.【點評】考慮點坐標的求解與圖形結(jié)構(gòu)的特征是解決解析幾何綜合問題的兩種有效途徑，在解決問題的過程中，若能將兩種思路滲透到解題當中，靈活結(jié)合, 效果更佳.小考點3）圓錐曲線中定點與定值問題中的“瓶頸題”例1已知中心在原點、焦點在坐標軸上的橢圓 Q,它的離心率為2 ,一 個焦點和拋物線y2=-4x的焦點重合，過直線l: x=4上一點MBI橢圓Q的兩條切線， 切點分別是A, B.(1)求橢圓。的方程； 22x yx°x2 2-2

33、-(2)若在橢圓a +b =1(a>b>0)上的點(x0, y0)處的橢圓的切線萬程是 a +y0y 2b =1,求證：直線ABfe過定點C,并求出定點C的坐標.【分析】通讀題目，可以發(fā)現(xiàn)出題者要我們做的是尋求圓錐曲線中的“動中 之靜”.本題突出了直線與橢圓方程聯(lián)立后消元的方向，使得問題得到簡化.22x y ,.一 、一.2,2 2【解答】(1)設(shè)橢圓萬程為a +b =1(a>b>0).拋物線y=-4x的焦點是(-1 , 0), 故 c=1.c 1又a=2 ,所以a=2,b= Va2-c2 = 73 ,所以所求的橢圓Q方程為4 + 3 =1.(2)設(shè)切點坐標為A(x ,

34、 y。, B(x2, y» ,直線l上一點M勺坐標為(4 , t),xx 型x2x y2y則切線方程分別為4 + 3 =1, 4 + 3 =1.工 工又兩切線均過點M,即x1+3y1=1, x2+3 y2=1,工即點A, B的坐標都適合方程x+3y=1,而兩點之間確定唯一的一條直線，工故直線AB勺方程是x+3y=1,顯然對任意實數(shù)t,點(1 , 0)都適合這個方程，故 直線ABB過定點C(1, 0).【點評】此解法按題目的敘述經(jīng)過逐步解決，將問題敘述翻譯為數(shù)學語言， 翻譯完成，題目也就解決了 .可見，此題涉及的是直線與橢圓相交的位置關(guān)系，且 有一交點已確定，因而點P的坐標容易求得.練

35、習 在平面直角坐標系中，點P(x, y)為動點，已知點A(V2, 0),1B(-應(yīng)，0),且直線PAWPB勺斜率之積為-2 .(1)求動點P的軌跡E的方程；(2)過點F(1, 0)的直線l交曲線E于M N兩點，設(shè)點NK于x軸的對稱點為Q(M 研重合)，求證：直線MQi定點.1【分析】(1)(條件)PA與PB勺斜率之積為-2 =(目標)求點P的軌跡方程二(方 法)直接設(shè)點代入.(2)(條件)橢圓方程、直線系過點(1 , 0)等二(目標)直線MQ1過定點=(方法) 以參數(shù)表達直線系方程、代入橢圓方程，設(shè)出 M NW坐標，得出點 皿標，設(shè)出直 線系MQJ方程，證明直線過定點.2y y 1x2【解答】

36、(1)由題意知X+亞- X-V2=-2 ,化簡得2 +y2=1(yW0),即為軌 跡E的方程.2 X(2)方法一：設(shè) M的,y1)，N(X2,y2),Q(x2,-y?),l: x=my+1,代入 2-2m-122222+y=1(yw0),整理得(m+2)y+2my-1=0 ,所以y+y2=m +2, yy= m +2, MQ5方y(tǒng) y2程為 y-y尸 x1-x2 (x-x1),y1 (x2 -x1)my1(y2-y1) 2myi y2令y=0,得x=x+y1y2=myI+1+y1y2=y1y2+1=2,所以直線 MQi定點 (2 , 0).x方法二：設(shè)M(xi,yi),N(x2,y2),Q(x

37、2,-y2), l: y=k(x-1),代入 22_ 2 _4k2 k -2。c c c c" zt_2" n. 、+y2=1(yw0),整理得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0, xi+x2=1+2k , xix2=1 + 2k , MQj萬yiy2程為 y-y尸 xi-x2 (x-xi),y1 (x2 -x1)k(x1-i)(x2-x1) 2x1x2-(x1 x2)令y=0,得x=xi+ yi y2 =xi+ k(Xi x2-2) = x x2-2 =2.所以直線MQ±定點(2, 0).【點評】解析幾何中證明直線過定點，一般是先選擇一個參數(shù)建立直線系

38、方 程，然后再根據(jù)直線系方程過定點時，方程的成立與參數(shù)沒有關(guān)系，得到一個關(guān)于 x, y的方程組，以這個方程組的解為坐標的點就是直線所過的定點.定值問題與此思路基本相同.M考點4)探究性問題中的“瓶頸題”22x y2.2例i (20i4 布建卷)已知雙曲線E: a -b =i(a>0, b>0)的兩條漸近線分別為 li： y=2x, I2： y=-2x.(例i)求雙曲線E的離心率.(2)如圖，O為坐標原點，動直線l分別交直線li, 12于A, B兩點(A,盼別在第 、四象限)，且OAB勺面積包為8.試探究：是否存在總與直線1有且只有一個公共點的雙曲線E*存在，求出雙曲線E的方程；若不

39、存在，請說明理由.【分析】(1)由漸近線求a的值，根據(jù)c2=a2+b2消去b; (2)由從圖形的結(jié)構(gòu)入 手，當直線1，x軸時，算得直線1: x=2,它與雙曲線4 -16=1相切，當直線1與x軸22x y不垂直時，雙曲線也應(yīng)為 4 -16 =1,再驗證直線1與雙曲線相切.ca = '5【解答】(1)因為雙曲線E的漸近線分別為y=2x, y=-2x,所以a =2,有 a=2,即c=a,于是雙曲線的離心率e=22x y2. 2 萬法一：由(1)知，雙曲線E的萬程為a -4a =1.設(shè)直線1與x軸相父于點C, 當1，x軸時，若直線1與雙曲線Et且只有一個公共點，則OCa, AB=4a,又因為

40、OAB勺面積為8,所以2 OC- AB=8即2 a . 4a=8,解得a=2,此時雙曲線E的方程為4-16=1.22x y若存在滿足條件的雙曲線E,則E的方程只能為4 -16=1.22x y以下證明：當直線1不與x軸垂直時，雙曲線E: 4 - 16 =1也滿足條件.m八I - 0設(shè)直線1的方程y=kx+m,依題意，得k>Mk<-2,則C【k 二記A(xi , y。，B(x2, y2),由y = kx m，2my = 2x，2m得y1=2-k,同理y2=2 + k.由 SzoaB= 2 OC。| yi-y2| ,得2m 2m2-k 2*k =8,即m2=4|4- k2|=4( k2-

41、4).y 二 kx m22L-匕=1得(4- k2) x2-2 kmx-m2-16=0,而4- k2<0,4 16所以 A =4k2m2+4(4- k2)( m2+16)=-16(4 k2-m2-16).又m2=4(k2-4),所以A =0,即直線l與雙曲線E有且只有一個公共點2x因此，存在總與直線l有且只有一個公共點的雙曲線E,且E的方程只能為4 -2y16=122x y2. 2萬法二：由（1）知，雙曲線E的萬程為a -4a =1.設(shè)直線l的萬程為x=my+t,A(x1,，)，B(x2, y2),11戶my + 3且-2t依題意得-2<m<2,由 1y=2x，得y1=1-2

42、m,同理y2=1 + 2m,設(shè)直線l與x軸相交于點C,則C(t, 0),11 2t 2t由$4oab=2 QC- I y1-y2|=8 ,得 2|t| 1-2m 1+2m =8,x = my +1, 22A-j, 22222222A =64m2t2-即t =4(1-4 m),由、a 4a得(4m-1) y +8mty+4(t-a )=0.又4m2-1<0 ,所以直線l與雙曲線Et且只有一個公共點當且僅當 16(4m2-1)( t2-a2)=0,即4m2a2+t2-a2=0,所以 4m2a2+4(1-4 m2)- a2=0,即(1-4 m2)( a2-4)=0 ,有 a2=4,2x因此，存

43、在總與直線l有且只有一個公共點的雙曲線E,且E的方程只能為4 -16=1.方法三：當直線l不與x軸垂直時，設(shè)直線l: y=kx+m, A(x1，yi), B(m, y2),y = kx m, ,22依題意得 k>2或k<-2,由 l4x-y =0，得(4-k2)x2-2kmx-m2=0,由 4-k2<0, A>0,2 -m, I 2得 xix2= 4-k .又因為AOAB勺面積為8,所以2 0A.。囹n/AOB=8而sin/AOB=5 ,O e22 k 22 _m所以 5" +y1 Jx2+y2=8,化簡得 xix2=4,所以 4-k2 =4,即m2=4(k2

44、-4),y = kx m,2222x yx _ y2222 ，由(1)得雙曲線E的方程為a -4a =1,由、a 4a得(4-k2)x2-2 kmx-m2-4a2=0,因為4-k2<0,直線l與雙曲線Et且只有一個公共點當且僅當 A =4k2m2+4(4- k2)( m2+4a2)=0,即(k2-4)( a2-4)=0 ,則a2=4,所以雙曲線E的方程為4 -16 =1當l，x軸時，由AOAB勺面積為8,得直線l: x=2,22x y 又知l: x=2與雙曲線E: 4 -化=1有且只有一個公共點.綜上，存在總與直線l有且只有一個公共點的雙曲線E,且E的方程只能為4 -2y16 =1.【點

45、評】方法一是抓住圖形的特殊到一般展開探究的，方法二、三是抓住直線l與雙曲線相切的圖形結(jié)構(gòu)，從 A =0切入展開探究的.他們具有的共同特點就是從 挖掘圖形的結(jié)構(gòu)中尋找解決問題的突破口，不斷地將圖形結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為方程、函數(shù)或 不等式等代數(shù)形式，實施數(shù)形結(jié)合，在“數(shù)”與“形”的互相轉(zhuǎn)化中尋求解決問題 的良方.、52. 2練習 已知橢圓C: a +b =1(a>b>0)的離心率為 3 ,定點M(2, 0),橢圓短軸的端點是B, B2,且MB,MB.(1)求橢圓C勺方程.(2)設(shè)過點Ml斜率不為0的直線交橢圓C于A, B兩點，i3c問：x軸上是否存在定 點P,使得PMF分/APB若存在，求出點P

46、的坐標；若不存在，請說明理由.【分析】(1)(條件)橢圓離心率、MB±MB=U目標)得出橢圓方程二(方法)列 方程求解橢圓方程需要求出a, b的值.(2)(條件)橢圓方程二(目標)直線與橢圓交于兩點A, B,判斷x軸上是否存在 定點P,使PMF分/ APF (方法)判斷點P是否存在，先假設(shè)其存在，把幾何條件轉(zhuǎn) 化為代數(shù)條件后得關(guān)于點P坐標的方程，這個方程對任意變動的直線包成立時，若 點P的坐標有解則存在，否則不存在.a2-b2b22 b 2【解答】(1)由題意得a2 =1-a2 =1 3 J ,即a = 3.依題意，得 MBB2是等腰直角三角形，從而b=2,故a=3,所以橢圓C的方程

47、為22x y9 + 4 =1.(2)設(shè)A(x1, y。，B(x2, y2),直線AB勺方程為x=my+2.將直線AB勺方程與橢圓C 的方程聯(lián)立，-16m-20消去x,得(4m2+9)y2+16my-20=0,所以y1+y2= 4m2+9 , y1y2= 4m2 +9 .若PMF分/APB則直線PA PB勺傾斜角互補，所以kPA+kPE=0.yy2設(shè)P(n, 0),則有 x1-n + x2-n =0,將x1=my1+2, x2=my2+2代入上式,2my1y2 (2-n)(y1 y)整理得(my1 2-n)(my2 2-n)=0,所以 2my1y2+(2- n)( y1+y2)=0.-20-16

48、m，22將yi+y2=4m +9 , yiy2= 4m +9 代入上式，整理得(-2 n+9) m=0.9由于上式對任意實數(shù)m都成立，所以n=2 .的).-0綜上，存在定點Pl2人使得PMP分/APB.【點評】本題立意是通過圓錐曲線問題考查對數(shù)學問題的抽象概括能力、化 歸轉(zhuǎn)化的思想意識.題目按照解析幾何解答題的基本模式進行命制，解題中需要把 已知的幾何條件逐步轉(zhuǎn)化為代數(shù)條件，充分體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用 .:®才域)解析幾何中的證明問題例1如圖，已知中心在原點O,焦點在x軸上的橢圓C'過點M(2, 1),離心 3率為2 .拋物線C的頂點在原點且過點M.%(例1)(1)當直線1

49、0經(jīng)過橢圓C'的左焦點且平行于OMf,求直線10的方程；1(2)斜率為-4的直線1不過點M,與拋物線喙于A, B兩個不同的點，求證：直 線MA MBfx軸總圍成等腰三角形.【分析】本題主要考查直線的方程及橢圓和拋物線的標準方程，考查數(shù)學運算求解的能力、綜合分析問題的能力2. 2一、【解答】(1)根據(jù)e=a= 2 ,可設(shè)橢圓萬程為4b +b =1,將M(2, 1)代入可得 b2=2,所以橢圓C的方程為8 + 2 =1,因此左焦點為(-娓，0),斜率klo =ko=2 ,1_1 田所以直線lo的方程為y=5(x+>/6), gPy=2x+T.1(2)拋物線C勺方程為y2=2x.設(shè)點A(x1, y。，B(k, y2),直線MA MB勺斜率分 別為k1, k2,y1-1y2-1y2-y111則 k1=2 y2、 2一，一 ，一22一、 、 八練習 如圖，已知橢圓C: a +b =1(a>b>0)的離心率為2 , F1, F2分別為橢圓C的左、右焦點，