浙江大學(xué)20102011秋冬學(xué)期微積分I期末考試

1、微積分習(xí)題一一、填空題（每題3分，總計(jì)15分）。1、，則 .2、設(shè)在處連續(xù)，且，則 .3、已知在處有極值-2，則的極大值為 .4、已知 .5、若向量垂直于向量與向量，且與向量的數(shù)量積等于-6，則向量 . 二、單向選擇填空題（每題3分，總計(jì)15分）1、 1、 設(shè)函數(shù)，下列關(guān)系正確的是（ ）.A. B. C. D. 2、 2、 下列廣義積分收斂的是（ ）.A. B. C. D. 3、 3、 已知= （ ）.A. 1 B. e C. 2 D. 04、曲線 的弧長(zhǎng)為（ ）.A. B. C. D. 5、函數(shù) 處處連續(xù)，則 ( ).A. 2 B.-2 C. 1 D. 1 三、計(jì)算題（每

2、題6分，總計(jì)48分）。1.設(shè)連續(xù)，且 求 2.設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，求 的導(dǎo)數(shù)。3.已知是由方程 所確定的隱函數(shù)，求.4.已知，求 在 處的值.5. 求 6. 求 7.求通過(guò)直線 和點(diǎn)的平面方程. 8.已知 求四、應(yīng)用題（15分）。1、設(shè)直線與拋物線 所圍成的圖形的面積為又設(shè)與直線 所圍成的圖形的面積為（1） （1）   試確定的值及使 達(dá)到最小，并求出最小值.（2） （2）   求由該最小值所對(duì)應(yīng)的平面圖形繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積.2.設(shè)有一半徑為4米的半球形水池，里面充滿(mǎn)了水.問(wèn)將池中的水全部抽出需作多少功？五、證明題（共7分）1. 1. &

3、#160;    證明不等式 在 時(shí)成立.2. 設(shè)在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，且 試證明存在 ，使得 答案：一、填空題（每題3分，總計(jì)15分）。1、 2、 A. 3、極大值為. 4、. 5、. 二、單向選擇填空題（每題3分，總計(jì)15分） 1.B 2.C 3.D 4.A 5. B 三、計(jì)算題（每題6分，總計(jì)48分）。1.設(shè)連續(xù)，且 求 2.設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，求 的導(dǎo)數(shù)。3.已知是由方程 所確定的隱函數(shù)，求.4.已知，求 在 處的值.5. 求 6. 求 7.求通過(guò)直線 和點(diǎn)的平面方程. 8.已知 求四、應(yīng)用題（15分）1.設(shè)有一半徑為4米的半球形水池，里

4、面充滿(mǎn)了水.問(wèn)將池中的水全部抽出需作多少功？2、設(shè)直線與拋物線 所圍成的圖形的面積為又設(shè)與直線 所圍成的圖形的面積為（3） （1）   試確定的值及使 達(dá)到最小，并求出最小值. （4） （2）   求由該最小值所對(duì)應(yīng)的平面圖形繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積. 2.設(shè)有一半徑為4米的半球形水池，里面充滿(mǎn)了水.問(wèn)將池中的水全部抽出需作多少功？五、證明題（共7分）2. 1.      證明不等式 在 時(shí)成立.令 2. 設(shè)在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，且 試證明存在 ，使得 微積分習(xí)題二一、填空題（本大題共5小題

5、，每小題3分，共15分）1. 極限_.2. 曲線的凸(向上凸)區(qū)間是_.3. 3.    設(shè)在內(nèi)處處可導(dǎo)，則極限_.4. 4.    曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面方程是_.5. 5.    微分 _.二、單項(xiàng)選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）1. 設(shè)均為非零向量，則與向量不垂直的向量為（ ）.A. B. C. D.2. 若函數(shù)滿(mǎn)足，則此函數(shù)必( ).A.有極值 B.無(wú)極值 C.不單調(diào) D.不可導(dǎo)3. 下列廣義積分發(fā)散的是( ).A. B. C. D.4. 星形線的全長(zhǎng)是( )A. B. C. D.5

6、. 一物體按規(guī)律作直線運(yùn)動(dòng)，媒質(zhì)的阻力與速度的平方成正比，比例常數(shù)為，則此物體從移至?xí)r克服媒質(zhì)阻力所作的功為( ). A. B. C. D.    三、計(jì)算題（本大題共7小題，每小題7分，共49分）1. 求極限.2. 求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) 3. 設(shè)函數(shù)由方程所確定，求 .4. 計(jì)算積分 5. 計(jì)算積分.6. 計(jì)算定積分 7. 直線過(guò)點(diǎn)且與直線相交，又平行于平面 ，求此直線方程. 四、應(yīng)用題（本大題共2小題，每小題7分，共14分）1. 1.    在一個(gè)半徑為的圓內(nèi)內(nèi)接一個(gè)矩形，當(dāng)矩形的長(zhǎng)和寬為多少時(shí)，

7、 矩形的面積最大？  2. 求由曲線與軸所圍成的平面圖形的面積，及此平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積. 五、證明題（本大題共2小題，第1小題4分，第2小題3分）1. 當(dāng)時(shí)，證明不等式. 2. 設(shè)在上連續(xù)，在上可積，且，則在上至少存在一點(diǎn)，使得. 答案：一 1. 2. 3. 4. 5. 二 1. 2. 3. 4. 5.三 1.解: 原式2.解: 3.解: 方程兩邊同時(shí)微分得: 整理得: 即 4.解: 原式 5.解: 原式 6.解: 原式=7.解: 過(guò)點(diǎn)與平面平行的平面方程為 記為 與的交點(diǎn)為方程組的解 解得交點(diǎn)為 故所求的直線方程為：四 1.解: 設(shè)矩形的長(zhǎng)和寬分別

8、為 則滿(mǎn)足 , 矩形面積 解得(負(fù)值舍去) 當(dāng)時(shí) 時(shí) 故在時(shí),取得極值 考慮實(shí)際意義,在區(qū)間端點(diǎn)處 故在時(shí),取得極值即為最大值2.解: 曲線與軸的交點(diǎn)為:和 五 1.證明: 令 則 故單調(diào)減少,即 所以2.證明: 令 取分別為在上的最大值和最小值則故由連續(xù)函數(shù)介值定理知: 使得即:微積分習(xí)題三浙江大學(xué)2004級(jí)微積分（上）期中測(cè)驗(yàn)試題解答一、 填空（每小題4分，共32分）1 判斷下列函數(shù)的間斷點(diǎn)的類(lèi)型：是的 第一類(lèi)（可去） 間斷點(diǎn)；是 的 第一類(lèi)（跳躍） 間斷點(diǎn)；是的 第二類(lèi) 間斷點(diǎn)。2若，則。3若 ，則。4設(shè)當(dāng)時(shí)，是比高階的無(wú)窮小，則。5設(shè)，則其n階導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)處取到極小值。6設(shè)點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn)，則參數(shù)。7函數(shù)的圖形有鉛垂?jié)u近線 和斜漸近線。8已知，且，則。二、 計(jì)算與證明（共68分）1 （6分）解： 2 （6分）解1： 解2 ：3 設(shè)，試確定a，b，使在處可導(dǎo)，并求。（8分）解： 在處可導(dǎo)因而連續(xù)，且 則 4 求由方程所確定的函數(shù)的微分以及在處的切線方程。（8分）解： 方程兩邊求微分：   或 切線斜率 ， 切線方程為： 即 5 設(shè)，求以及在處的曲率半徑。（8分）解： 曲率 ，則 曲率半徑 6 求的取值范圍，使得方程有實(shí)根。（8分）解：設(shè)故有唯一極小值點(diǎn) ，極小值為 。而當(dāng)時(shí)，方程有唯一實(shí)根，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)根，于是，。7 設(shè)，