正交變換和正交矩陣

1、7.3正交變換和正交矩陣授課題目：7.3正交變換和正交矩陣教學(xué)目標(biāo)：理解和掌握正交變換與正交矩陣的概念，性質(zhì)及其關(guān)系 授課時(shí)數(shù)：3學(xué)時(shí)教學(xué)重點(diǎn)：正交變換的性質(zhì)教學(xué)難點(diǎn)：正交變換的判定，正交矩陣特征值的性質(zhì)教學(xué)過(guò)程：一、 標(biāo)準(zhǔn)正交基到標(biāo)準(zhǔn)正交基的過(guò)渡矩陣。設(shè)是n維歐氏空間的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，U （U=（）則定義 設(shè)是實(shí)數(shù)域上的n階矩陣, 如果 ,則稱(chēng)為正交矩陣.定理 設(shè)在n維歐氏空間中由標(biāo)準(zhǔn)正交基對(duì)基的過(guò)渡矩陣是, 那么是標(biāo)準(zhǔn)正交基的充分必要條件是為正交矩陣.證明: 必要性已證. 現(xiàn)證充分性. 設(shè)為正交矩陣, 則成立, 從而是標(biāo)準(zhǔn)正交基.例1：證明每一個(gè)n階可逆矩陣A都可以唯一表成A=UT的形式，

2、這里U是一個(gè)正交矩陣，T是一個(gè)上三角實(shí)矩陣且主對(duì)角線(xiàn)上元素。證明：存在性，由于A(yíng)為n階非奇異實(shí)矩陣，故A=的列向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)，從而為的一個(gè)基，實(shí)行單位化令 從而T也是對(duì)角線(xiàn)上全為實(shí)數(shù)的上三角形矩陣，由于是標(biāo)準(zhǔn)正交基，故有是一個(gè)正交矩陣，于是知A=UT 唯一性：設(shè)另有其中為正交矩陣，為對(duì)角線(xiàn)上全是正實(shí)數(shù)的上三角形矩陣，則 即上式既是上三角形矩陣又為正交矩陣，可證 故 思考題 設(shè)是歐氏空間V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基,試求正交變換,使適合 練習(xí) 設(shè)V是一個(gè)歐氏空間, 是一個(gè)非零向量,對(duì)于 , 規(guī)定V的一個(gè)變換 證明:是V的一個(gè)正交變換,且 是單位變換. 例2：設(shè)和是n維歐氏空間V的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。（1） 證明

3、，存在V的一個(gè)正交變換，使（2） 如果V的一個(gè)正交變換，使那么所生成的子空間與由所生成的子空間重合。證：（1）一定存在一個(gè)變換使及為標(biāo)準(zhǔn)正交基，故為正交變換 ( 2 )證先證設(shè) 另一放面，若則，因?yàn)槭钦蛔儞Q，故是V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，不妨令故因而有是一個(gè)正交矩陣，于是知A=UT 唯一性：設(shè)另有其中為正交矩陣，為對(duì)角線(xiàn)上全是正實(shí)數(shù)的上三角形矩陣，則 即上式既是上三角形矩陣又為正交矩陣，可證 故 例2：設(shè)和是n維歐氏空間V的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。（3） 證明，存在V的一個(gè)正交變換，使（4） 如果V的一個(gè)正交變換，使那么所生成的子空間與由所生成的子空間重合。證：（1）一定存在一個(gè)變換使及為標(biāo)準(zhǔn)正交基，故為

4、正交變換（5） 證先證設(shè) 另一放面，若則，因?yàn)槭钦蛔儞Q，故是V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，不妨令故因而二、正交陣的判斷。定理：U是n階正交矩陣的行（列）向量組成n維歐式空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。證： 必要性 設(shè)U是正交矩陣則有 =I 令U=（，）T=( )=在歐氏空間中有= i,j=1,2,3, n故有=I故 = 因而，是的標(biāo)準(zhǔn)正交基 充分性 設(shè)，是的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，以上過(guò)程可逆有=I，從而是正交矩陣。三、正交矩陣的性質(zhì) 正交矩陣可逆，且逆矩陣仍然為正交矩陣； 故 兩個(gè)正交矩陣的乘積仍然為正交矩陣； 正交矩陣的行列式為； 故 四、正交變換 1 定義：是歐氏空間的一個(gè)線(xiàn)性變換，如果 有 則稱(chēng)是的一個(gè)正交變換

5、。 2 正交變換的判斷 定理 是的一個(gè)線(xiàn)性變換，于是以下四個(gè)命題等價(jià)： 是的正交變換； ，有=； 若是的標(biāo)準(zhǔn)正交基則也是的標(biāo)準(zhǔn)正交基； 是關(guān)于任意一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基的矩陣是正交矩陣。 證明：用的循回證法來(lái)證明， 是正交變換有 = 而 = = +2+ =+2+ = , = 故= = 故 ，是的標(biāo)準(zhǔn)正交基。 設(shè)是的標(biāo)準(zhǔn)正交基，關(guān)于基的矩陣為 （= ,均為標(biāo)準(zhǔn)正交基 故 是正交基。 設(shè)是關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)正交基的矩陣的正交矩陣， 即 = ， ，也是標(biāo)準(zhǔn)正交基。 則有 = = = 即 推論1：正交變換保持向量的夾角不變。 =arccos=arccos=注意：逆命題不一定成立。 當(dāng)取定了標(biāo)準(zhǔn)基之后，正交變換與正交矩陣是一一對(duì)應(yīng)的。并且保持乘法運(yùn)算，研究正交變換可歸結(jié)為研究正交矩陣。 推論2：兩正交變換的積仍是正交變換，正交變換的逆變換也是正交變換。 證：設(shè)，均為正交變換則 3 正交變換的分類(lèi) 若正交變換關(guān)于某一標(biāo)準(zhǔn)正交基的矩陣為 時(shí)稱(chēng)為第一類(lèi)正交變換，并稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)； 時(shí)稱(chēng)為第二類(lèi)正交變換，并