極限的計(jì)算無(wú)窮小等價(jià)替換

1、模塊基本信息一級(jí)模塊名稱(chēng)函數(shù)與極限二級(jí)模塊名稱(chēng)計(jì)算模塊三級(jí)模塊名稱(chēng)極限的計(jì)算無(wú)窮小等價(jià)替換模塊編號(hào)1-12先行知識(shí)1、無(wú)窮小量模塊編號(hào)1-102、等價(jià)無(wú)窮小的定義模塊編號(hào)1-11知識(shí)內(nèi)容教學(xué)要求掌握程度1、常用等價(jià)無(wú)窮??；1、熟記幾個(gè)常用的等價(jià)無(wú)窮小；一般掌握2、無(wú)窮小替換求極限的方法；2、理解等價(jià)替換原理；3、熟記等價(jià)替換的條件并能熟練掌握其應(yīng)用；能力目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力時(shí)間分配30分鐘編撰堯克剛校對(duì)熊文婷審核危子青修訂熊文婷二審危子青一、正文編寫(xiě)思路及特點(diǎn)：思路：在熟記常用等價(jià)無(wú)窮小量的基礎(chǔ)，按照由易到難得順序講題例題和習(xí)題使學(xué)生能夠靈活運(yùn)用無(wú)窮小量的的等價(jià)替換掌握-型極限的求解

2、方0法。特點(diǎn)：通過(guò)例題及練習(xí)的變形，使學(xué)生學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用知識(shí)的能力。二、授課部分1、預(yù)備知識(shí)(1)無(wú)窮小的定義：在自變量的某種趨勢(shì)卜，以零為極限的函數(shù)(x)稱(chēng)為無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮小.(2)等價(jià)無(wú)窮小的定義：若,是無(wú)窮小量且lim-=1,則稱(chēng),是等價(jià)無(wú)窮小量，記作:2、常用等價(jià)無(wú)窮?。寒?dāng)0時(shí),(1)(2)arcsinxx;x;(4)arctanxx；ln(1x)x；(3)tanx(6)ex12xcosx2(8)(1x)1(9)ax-1xlna注：在教學(xué)中選擇性地證明幾個(gè)等價(jià)無(wú)窮小ex1引例limx0cosx13、等價(jià)無(wú)窮小的替換定理定理設(shè),且lim存在，則lim證：limlim()limlimli

3、mlim.一lim一.4、等價(jià)無(wú)窮小替換求極限的求解案例（一）直接替換求極限:（一級(jí)）fex1例1.(1)lim；x0cosx1(2)lxmosin2xxx21解：（1）原式=lim一=;x0x2.一一,、2x（2）當(dāng)x0時(shí)，sin2x2x.故原式lim=2.x0x【注意】等價(jià)無(wú)窮小的替換能直接用在乘、除運(yùn)算，一般不能用在加、減法運(yùn)算中.（二）四則運(yùn)算變形后進(jìn)行替換求極限：（二級(jí)）/加。tanxsinx例2.求lim3.x0sin32x解：13當(dāng)x0時(shí)，sin2x2x,tanxsinxtanx（1cosx）x,13二x1所以原式=lim3.x?0（2x）316必c-tan5xcosx1例3.求

4、lim.x0sin3x12解：tan5x5x,sin3x3x,1cosxx2212*百tan5x1-cosx5x2_5原式=lim-=lim-2-=一.x?0sin3xsin3xx?03x3x3（選講）（三）其它情形進(jìn)行替換求極限：（三級(jí)）xx-1例4.求lim.x?1xlnx解：當(dāng)x1時(shí)，t=xlnx?0,xxlnxt則x-1=e-1=e-1:t=xlnx,用等價(jià)無(wú)窮小替換得limX=lim如=1.x?1xlnxx?1xlnx1sin3x例5.求lim(1tan2x)解：因?yàn)楫?dāng)x0時(shí)，tan2x:2x,sin2x:3x,11tan2x所以lim(1tan2x)旃lim(1tan2x)由廝x0x0'1tan2x1sin3x2lim(1tan2x)tan2xe3.x0三、能力反饋部分1、(考查學(xué)生對(duì)等價(jià)無(wú)窮小替換求極限的方法的掌握情況)直接用等價(jià)替換：(1 2 lim -4x 0(excosx) arctan3x1)ln(1 2x)sin 5x/八tanx.ln(1x)(1)一x0sinx四則運(yùn)算變換后進(jìn)行替換xecosx(3)limx0x其它情況等價(jià)替換(選做)213sinxxcos