正態(tài)分布和線性回歸講義

1、一、【檢查作業(yè)并講評】二、【課前熱身】了解學(xué)生對本次內(nèi)容的掌握情況，便于查漏補(bǔ)缺。三、【內(nèi)容講解】1正態(tài)分布密度函數(shù)：，（0，-x）其中是圓周率；e是自然對數(shù)的底；x是隨機(jī)變量的取值；為正態(tài)分布的均值；是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差.正態(tài)分布一般記為 2正態(tài)分布）是由均值和標(biāo)準(zhǔn)差唯一決定的分布3正態(tài)曲線的性質(zhì)：正態(tài)分布由參數(shù)、唯一確定，如果隨機(jī)變量N(，2)，根據(jù)定義有：=E，=D。正態(tài)曲線具有以下性質(zhì)：（1）曲線在x軸的上方，與x軸不相交。（2）曲線關(guān)于直線x =對稱。（3）曲線在x =時位于最高點。（4）當(dāng)x <時，曲線上升；當(dāng)x >時，曲線下降。并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無限延伸時，以x軸為

2、漸近線，向它無限靠近。（5）當(dāng)一定時，曲線的形狀由確定。越大，曲線越“矮胖”，表示總體越分散；越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中。五條性質(zhì)中前三條較易掌握，后兩條較難理解，因此應(yīng)運用數(shù)形結(jié)合的原則，采用對比教學(xué) 4標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線:當(dāng)=0、=l時，正態(tài)總體稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體，其相應(yīng)的函數(shù)表示式是，（-x+）其相應(yīng)的曲線稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N（0，1）在正態(tài)總體的研究中占有重要的地位 任何正態(tài)分布的概率問題均可轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率問題 5.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體的概率問題: 對于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N（0，1），是總體取值小于的概率，即 ，其中，圖中陰影部分的面積表示為概率 只要有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表即

3、可查表解決.從圖中不難發(fā)現(xiàn):當(dāng)時，；而當(dāng)時，（0）=0.5 6.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在正態(tài)總體的研究中有非常重要的地位，為此專門制作了“標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表”在這個表中，對應(yīng)于的值是指總體取值小于的概率，即 ，若，則利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，可以求出標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在任意區(qū)間內(nèi)取值的概率，即直線，與正態(tài)曲線、x軸所圍成的曲邊梯形的面積 7非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在某區(qū)間內(nèi)取值的概率:可以通過轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體，然后查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表即可 在這里重點掌握如何轉(zhuǎn)化 首先要掌握正態(tài)總體的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，然后進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化 8.小概率事件的含義：發(fā)生概率一般不超過5的事件，即事件在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生 假設(shè)檢驗方法的基本

4、思想:首先，假設(shè)總體應(yīng)是或近似為正態(tài)總體，然后，依照小概率事件幾乎不可能在一次試驗中發(fā)生的原理對試驗結(jié)果進(jìn)行分析 假設(shè)檢驗方法的操作程序，即“三步曲” 一是提出統(tǒng)計假設(shè)，教科書中的統(tǒng)計假設(shè)總體是正態(tài)總體；二是確定一次試驗中的a值是否落入(-3，+3)；三是作出判斷 9相關(guān)關(guān)系:當(dāng)自變量一定時，因變量的取值帶有一定的隨機(jī)性的兩個變量之間的關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系 相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點如下：相同點：均是指兩個變量的關(guān)系 不同點：函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是一種非確定關(guān)系；函數(shù)關(guān)系是自變量與因變量之間的關(guān)系，這種關(guān)系是兩個非隨機(jī)變量的關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的關(guān)系10回歸分析一

5、元線性回歸分析： 對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的方法叫做回歸分析 通俗地講，回歸分析是尋找相關(guān)關(guān)系中非確定性關(guān)系的某種確定性 對于線性回歸分析，我們要注意以下幾個方面：（1）回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的方法。兩個變量具有相關(guān)關(guān)系是回歸分析的前提。（2）散點圖是定義在具有相關(guān)系的兩個變量基礎(chǔ)上的，對于性質(zhì)不明確的兩組數(shù)據(jù)，可先作散點圖，在圖上看它們有無關(guān)系，關(guān)系的密切程度，然后再進(jìn)行相關(guān)回歸分析。（3）求回歸直線方程，首先應(yīng)注意到，只有在散點圖大至呈線性時，求出的回歸直線方程才有實際意義，否則，求出的回歸直線方程毫無意義。11散點圖：表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的一組數(shù)

6、據(jù)的圖形叫做散點圖.散點圖形象地反映了各對數(shù)據(jù)的密切程度 粗略地看，散點分布具有一定的規(guī)律 12. 回歸直線設(shè)所求的直線方程為，其中a、b是待定系數(shù)，,相應(yīng)的直線叫做回歸直線，對兩個變量所進(jìn)行的上述統(tǒng)計分析叫做回歸分析 13.相關(guān)系數(shù)：相關(guān)系數(shù)是因果統(tǒng)計學(xué)家皮爾遜提出的，對于變量y與x的一組觀測值，把= 叫做變量y與x之間的樣本相關(guān)系數(shù)，簡稱相關(guān)系數(shù)，用它來衡量兩個變量之間的線性相關(guān)程度. 14.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)： 1，且越接近1，相關(guān)程度越大；且越接近0，相關(guān)程度越小.15.顯著性水平:顯著性水平是統(tǒng)計假設(shè)檢驗中的一個概念，它是公認(rèn)的小概率事件的概率值 它必須在每一次統(tǒng)計檢驗之前確定 16.

7、顯著性檢驗：(相關(guān)系數(shù)檢驗的步驟)由顯著性水平和自由度查表得出臨界值，顯著性水平一般取0.01和0.05，自由度為，其中是數(shù)據(jù)的個數(shù) 在“相關(guān)系數(shù)檢驗的臨界值表”查出與顯著性水平0.05或0.01及自由度n-2（n為觀測值組數(shù)）相應(yīng)的相關(guān)數(shù)臨界值r0 05或r0 01；例如時，0.050.754，0.010.874 求得的相關(guān)系數(shù)和臨界值0.05比較，若0.05，上面與是線性相關(guān)的,當(dāng)r0 05或r0 01，認(rèn)為線性關(guān)系不顯著討論若干變量是否線性相關(guān)，必須先進(jìn)行相關(guān)性檢驗，在確認(rèn)線性相關(guān)后，再求回歸直線；通過兩個變量是否線性相關(guān)的估計，實際上就是把非確定性問題轉(zhuǎn)化成確定性問題來研究；我們研究的

8、對象是兩個變量的線性相關(guān)關(guān)系，還可以研究多個變量的相關(guān)問題，這在今后的學(xué)習(xí)中會進(jìn)一步學(xué)到 題型講解 例1 已知連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，且f(x) 0，求常數(shù)k的值，并計算概率P(1.5<2.5)。 分析:凡是計算連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)f(x)中的參數(shù)、概率P(ab)都需要通過求面積來轉(zhuǎn)化而求得。若f(x) 0且在a，b上為線性，那么P(ab)的值等于以b-a為高，f(a)與f(b)為上、下底的直角梯形的面積，即。解: ；。例2 設(shè)，且總體密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為：，xR。（1）求，；（2）求及的值。分析：根據(jù)表示正態(tài)曲線函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，對照已知函數(shù)求出和。利用一般正態(tài)總體與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)

9、總體N（0，1）概率間的關(guān)系，將一般正態(tài)總體劃歸為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體來解決。解：（1）由于，根據(jù)一般正態(tài)分布的函數(shù)表達(dá)形式，可知=1，故XN（1，2）。（2） 。又 。點評：在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，將未知的，不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為已知的、熟悉的、已解決了的問題，是我們常用的手段與思考問題的出發(fā)點。通過本例我們還可以看出一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。例3 某中學(xué)有1000人參加并且高考數(shù)學(xué)成績近似地服從正態(tài)分布，求此校數(shù)學(xué)成績在120分以上的考生人數(shù)。（2）0.977）解：用表示此中學(xué)數(shù)學(xué)高考成績，則120分以上的考生人數(shù)為1000×0.02323 點評：通過公式轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體，然

10、后查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表即可 例4 將溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器設(shè)定在d ，液體的溫度（單位：）是一個隨機(jī)變量，且N（d，0.52）.（1）若d=90°，求<89的概率；（2）若要保持液體的溫度至少為80 的概率不低于0.99，問d至少是多少?（其中若N（0，1），則（2）=P（<2）=0.9772，（2.327）=P（<2.327）=0.01）.分析：（1）要求P（<89）=F（89），N（d，0.5）不是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，而給出的是（2），（2.327），故需轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的數(shù)值.（2）轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下的數(shù)值求概率p，再利用p0.99，解

11、d.解：（1）P（<89）=F（89）=（）=（2）=1（2）=10.9772=0.0228.（2）由已知d滿足0.99P（80），即1P（<80）10.01，P（<80）0.01.（）0.01=（2.327）.2.327.d81.1635.故d至少為81.1635.點評：（1）若N（0，1），則=N（0，1）.（2）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，x<0時，f（x）為增函數(shù)，x>0時，f（x）為減函數(shù).例5 在實際生活中，常用統(tǒng)計中假設(shè)檢驗的思想檢驗產(chǎn)品是否合格，方法是：（1）提出統(tǒng)計假設(shè)：某種指標(biāo)服從正態(tài)分布N（，2）；（2）確定一次試驗中的取值a；（

12、3）作出統(tǒng)計推斷：若a（3，+3），則接受假設(shè)，若a（3，+3），則拒絕假設(shè).某磚瓦廠生產(chǎn)的磚的“抗斷強(qiáng)度”服從正態(tài)分布N（30，0.8），質(zhì)檢人員從該廠某一天生產(chǎn)的1000塊磚中隨機(jī)抽查一塊，測得它的抗斷強(qiáng)度為27.5 kg/cm2，你認(rèn)為該廠這天生產(chǎn)的這批磚是否合格?為什么?解：由于在一次試驗中落在區(qū)間（3，+3）內(nèi)的概率為0.997，故幾乎必然落在上述區(qū)間內(nèi).于是把=30，=0.8代入，算出區(qū)間（3，+3）=（27.6，32.4），而27.5（27.6，32.4）.據(jù)此認(rèn)為這批磚不合格.例6 已知測量誤差N（2，100）（cm），必須進(jìn)行多少次測量，才能使至少有一次測量誤差的絕對值不超過

13、8 cm的頻率大于0.9?解：設(shè)表示n次測量中絕對誤差不超過8 cm的次數(shù)，則B（n，p）.其中P=P（|<8）=（）（）=（0.6）1+（1）=0.72581+0.8413=0.5671.由題意，P（1）>0.9，n應(yīng)滿足P（1）=1P（=0）=1（1p）n>0.9，n>=2.75.因此，至少要進(jìn)行3次測量，才能使至少有一次誤差的絕對值不超過8 cm的概率大于0.9.例7 已知某地每單位面積菜地年平均使用氮肥量xkg與每單位面積蔬菜年平均產(chǎn)量yt之間的關(guān)系有如下數(shù)據(jù)：年份19851986198719881989199019911992x(kg)707480788592

14、9095y(t)5.16.06.87.89.010.210.012.0年份1993199419951996199719981999x(kg)92108115123130138145y(t)11.511.011.812.212.512.813.0（1）求x與y之間的相關(guān)系數(shù)，并檢驗是否線性相關(guān)；（2）若線性相關(guān)，求蔬菜產(chǎn)量y與使用氮肥量之間的回歸直線方程，并估計每單位面積施肥150kg時，每單位面積蔬菜的年平均產(chǎn)量。分析：（1）使用樣本相關(guān)系數(shù)計算公式來完成；（2）查表得出顯著性水平0.05與自由度15-2相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)臨界比較，若則線性相關(guān)，否則不線性相關(guān)。解：（1）列出下表，并用科學(xué)計算器進(jìn)

15、行有關(guān)計算：i1234567891011121314157074807885929095921081151231301381455.16.06.87.89.010.210.012.011.511.011.812.212.512.813.0357444544608.4765938.490011401058118813571500.616251766.41885，。故蔬菜產(chǎn)量與放用氮肥量的相關(guān)系數(shù)。由于n=15，故自由度15-2=13。由相關(guān)系數(shù)檢驗的臨界值表查出與顯著水平0.05及自由度13相關(guān)系數(shù)臨界值，則，從而說明蔬菜產(chǎn)量與氮肥量之間存在著線性相關(guān)關(guān)系。（2）設(shè)所求的回歸直線方程為，則，回歸

16、直線方程為。點評：求解兩個變量的相關(guān)系數(shù)及它們的回歸直線方程的計算量較大，需要細(xì)心、謹(jǐn)慎地計算。如果會使用含統(tǒng)計的科學(xué)計算器，能簡單得到，這些量，也就無需有制表這一步，直接算出結(jié)果就行了。另外，利用計算機(jī)中有關(guān)應(yīng)用程序也可以對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。例8 假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費用y（萬元），有如下的統(tǒng)計資料：x23456y2.23.85.56.57.0若由資料可知y對x呈線性相關(guān)關(guān)系。試求：（1）線性回歸方程；（2）估計使用年限為10年時，維修費用是多少？分析：本題為了降低難度，告訴了y與x間呈線性相關(guān)關(guān)系，目的是訓(xùn)練公式的使用。解：（1）列表如下：i12345234562.23

17、.85.56.57.04.411.422.032.542.049162536， ， ， 于是，。線性回歸方程為：。（2）當(dāng)x=10時，（萬元）即估計使用10年時維修費用是12.38萬元。點評：本題若沒有告訴我們y與x間是呈線性相關(guān)的，應(yīng)首先進(jìn)行相關(guān)性檢驗。如果本身兩個變量不具備線性相關(guān)關(guān)系，或者說它們之間相關(guān)關(guān)系不顯著時，即使求出回歸方程也是沒有意義的，而且其估計與預(yù)測也是不可信的。四、【鞏固練習(xí)】1.下面哪有個數(shù)不為總體特征數(shù)的是（D）A.總體平均數(shù)B.總體方差C.總體標(biāo)準(zhǔn)差D.總體樣本答案：D2.設(shè)隨機(jī)變量服從二項分布B（6，），則P（=3）=（A）A. B. C. D.答案：A3.設(shè)隨機(jī)

18、變量N（，），且P（C）=P（>C），則C等于A.0 B. C. D.解析：由正態(tài)曲線的圖象關(guān)于直線x=對稱可得答案為D.答案：D4.如果隨機(jī)變量N（，2），且E=3，D=1，則P（11）等于A.2（1）1 B.（4）（2）C.（2）（4） D.（4）（2）解析：對正態(tài)分布，=E=3，2=D=1，故P（11）=（13）（13）=（2）（4）=（4）（2）.答案：B5.某廠生產(chǎn)的零件外直徑N（8.0，1.52）（mm），今從該廠上、下午生產(chǎn)的零件中各隨機(jī)取出一個，測得其外直徑分別為7.9 mm和7.5 mm，則可認(rèn)為A.上、下午生產(chǎn)情況均為正常B.上、下午生產(chǎn)情況均為異常C.上午生產(chǎn)情況正

19、常，下午生產(chǎn)情況異常D.上午生產(chǎn)情況異常，下午生產(chǎn)情況正常解析：根據(jù)3原則，在8+3×1.5=8.45（mm）與83×1.5=7.55（mm）之外時為異常.答案：C6.隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N（0，1），如果P（<1）=0.8413，求P（1<<0）.解：N（0，1），P（1<<0）=P（0<<1）=（1）（0）=0.84130.5=0.3413.7.公共汽車門的高度是按照確保99%以上的成年男子頭部不跟車門頂部碰撞設(shè)計的，如果某地成年男子的身高N（173，72）（cm），問車門應(yīng)設(shè)計多高？解：設(shè)公共汽車門的設(shè)計高度為x cm，由題意

20、，需使P（x）1%.N（173，72），P（x）=（）0.99.查表得2.33，x189.31，即公共汽車門的高度應(yīng)設(shè)計為190 cm，可確保99%以上的成年男子頭部不跟車門頂部碰撞.8.一投資者在兩個投資方案中選擇一個，這兩個投資方案的利潤x（萬元）分別服從正態(tài)分布N（8，32）和N（6，22），投資者要求利潤超過5萬元的概率盡量地大，那么他應(yīng)選擇哪一個方案?解：對第一個方案，有xN（8，32），于是P（x>5）=1P（x5）=1F（5）=1（）=1（1）=11（1）=（1）=0.8413.對第二個方案，有xN（6，22），于是P（x>5）=1P（x5）=1F（5）=1（）=1（0.5）=（0.5）=0.6915.相比之下，“利潤超過5萬元”的概率以第一個方案為好，可選第一個方案.9.為考慮廣告費用x與銷售額y之間的關(guān)系，抽取了5家餐廳，得到如下數(shù)據(jù)：廣告費用（千元）1.04.06.010.014.0銷售額（千元）19.044.040.052.053.0現(xiàn)要使銷售額達(dá)到6萬元，則需廣告費用為_（保留兩位有效數(shù)字）解析：先求出回歸方程=bx+a，令=6，得x=1.5萬元.答案：1.5萬元10.設(shè)隨機(jī)變量服從N（0，1），求下列各式的值：（1）P(2.55)； （2）P(<-1.44)； （3）P(|<1.52)。分析:一個隨機(jī)變量若服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，