應用彈性力學教程第四章

1、第四章 結構的振動41 振動的一些基本概念實際振動系統(tǒng)一般很復雜，我們從動力學角度出發(fā)，分析系統(tǒng)產生振動的內因和外因。在研究中要對系統(tǒng)進行理想化，忽略一些次要因素，將它簡化為一抽象化的力學模型，稱作力學系統(tǒng)。然后可運用力學原理建立描述系統(tǒng)動力特性的數學方程（如數學微分方程），這一過程稱為建模。例如一個最簡單的單自由度系統(tǒng)系統(tǒng)質量塊m，彈簧剛度系數，粘性阻尼系數，在重力作用下的靜伸長為，所以取靜平衡位置為坐標起點0，則在作用下，質量塊的受力如下圖所示。由牛頓第二定律由于，因此 （1）此為單自由度系統(tǒng)在外激勵作用下振動微分方程。（一）無阻尼系統(tǒng)的自由振動此時，無阻尼，由式（1）得 （2）其解為代入

2、微分方程(2)，得即特征方程其根為式中，由初始條件確定?？梢姡瑹o阻尼系統(tǒng)的自由振動是簡諧振動 固有頻率 固有周期其中，振幅；初相位。（二）阻尼系統(tǒng)的自由振動其解為其特征方程：其特征根引入一無量綱參數： 阻尼比 對于不同阻尼比，上式將給出實根或復根（1）過阻尼情況 （）這時是一對互異實根，那么其中，由初始條件決定。因此，過阻尼系統(tǒng)的自由振動是衰減運動，無振蕩。（2）臨界阻尼情況（）這時，是一對相等的實根，于是（3）欠阻尼情況 （）這時是一對共軛復根，所以其中阻尼固有頻率，小于固有頻率。4. 彈性體的振動飛機操縱桿、直升機傳動系統(tǒng)的軸、飛機機翼、直升機旋翼、發(fā)動機葉片等的振動都是彈性體的振動，如桿

3、的縱向振動、圓軸的扭轉振動、梁的彎曲振動等。對其特性與振動方程進行研究具有重要的工程意義。飛機機翼顫振、直升機旋翼顫振、直升機“地面”和“空中”共振、噪聲振動控制等是飛機結構動力學研究的重要內容，作為介紹，我們考察彈性梁的振動問題。如果梁各截面的中心主軸在同一平面內，外載荷也作用于該平面內，則梁的主要變形振動為彎曲振動。對于細長梁的低頻振動，可忽略梁剪切變形，以及截面繞中性軸轉量慣量的影響，此為伯努力梁模型。分析步驟：建立運動偏微分方程通過分離變量將偏微分方程轉化為常微分方程組由邊界條件求出固有振動特性利用固有振型的正交性將系統(tǒng)解耦用振型疊加法得系統(tǒng)的自由振動或受迫振動梁：梁長度，橫截面積A(

4、x)，彈性模E，質量密度，中性軸慣矩I(x)，:單位長度橫向外力和外力矩，:時刻的橫向位移由牛頓第二定律：梁微段的橫向運動滿足：即有由材料力學可知：則對于均勻等截面直梁：和為常數： 梁的運動偏微分方程（一）自由振動的形式令，則自由振動方程：采用分離變量法求解：設，其中W(x)梁截面中性軸處的橫向振幅，q(t)描述運動規(guī)律的時間函數，代入運動方程，可得即方程左端為的函數，右端為的函數，與彼此獨立有其中。解上述方程，得式中，可由梁兩端的邊界條件確定；,則由梁的運動初始條件確定。（二）固有振動的確定最常見的邊界條件有三種：（1）固定邊界條件在固定端處橈度和轉角為零，即(2）鉸支邊界條件在鉸支端處橈度

5、和彎矩為零，即（3）自由邊界條件在自由端上彎矩和剪力為零，即例題 確定兩端鉸支均勻材料等截面直梁的固有頻率和固有振型。解 鉸支梁兩端的邊界條件分別為將它們代入，及的表達式，可得 由于鉸支梁不會產生剛體運動，即, 此為固有頻率。對應的固有振型函數為例題 確定均勻材料等截面懸臂梁的固有頻率和固有振型。解 對于端固支，端自由的懸臂梁，其邊界條件為我們可以將前面的改寫成：其中：將邊界條件（）處代入上式，可得將邊界條件（）處代入上式，可得梁的運動要求常數和不能同時為零，故有：固有頻率方程為：該方程的根可由圖解法大致確定后，再用精確化，可得相應的固有頻率為固有振型函數為其中。因此，可取為（三）固有振型的正

6、交性考察具有簡單邊界條件的均勻材料等截面直梁，其固有頻率和固有振型滿足方程：，其中：我們將上式兩端同乘以，并沿梁長作關于的積分，利用分部積分，可得根據邊界（固支，簡支，自由端）的邊界條件，上式等式右邊第1，2項總為零，故由于和是任取的，交換順序有將兩式相減，可得除了兩端自由梁的兩個零固有頻率，時總有，因此，（四）自由振動梁的自由振動是各階固有振動的線性組合其中常數和由初始條件確定，即由時刻的，來決定。例題 求兩端鉸支的均勻材料等截面直梁在以下兩種擾動下的自由振動：1）2）梁在初始瞬時是出于平衡狀態(tài)，在處的微段內受脈沖力作用，引起在處的初速度為解 由鉸支梁的固有頻率及固有振型函數公式：對于初始條件（1）的情況：比較上式兩端同次諧波，得 梁彎曲的自由振動為對于初始條件（2）的情