南昌大學(xué)第七屆高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽(理工類)試題及答案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 南昌大學(xué)第七屆高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽(理工類)試題 序號(hào)： 姓名： 學(xué)院: 第 考場(chǎng)專業(yè)： 學(xué)號(hào)： 考試日期： 2010年10月10日 題號(hào)一二三四五六七八九十十一十二總分累分人 簽名題分15156676877878 100得分注: 本卷共七頁(yè), 十二道大題, 考試時(shí)間為8:3011:30.得分評(píng)閱人 一、填空題(每題3分，共15分) 1、 . 2、= . 3、設(shè)，且，則= . 4、微分方程滿足的特解是 .5、已知曲面上點(diǎn)處的切平面平行于平面，則點(diǎn) 的坐標(biāo)為 . 專心-專注-專業(yè)二、單項(xiàng)選擇題(每題3分，共15分) 得分評(píng)閱人 1、設(shè)在的某鄰域內(nèi)有定義，則在處可導(dǎo)的一個(gè)充分條

2、件是（ ） (A)存在. (B)存在. (C) 存在. (D) 存在.2、設(shè)在內(nèi)，則函數(shù)（ ） (A)在內(nèi)單調(diào)減少，在內(nèi)單調(diào)增加. (B) 在內(nèi)單調(diào)減少，在內(nèi)也單調(diào)減少. (C) 在內(nèi)單調(diào)增加，在內(nèi)單調(diào)減少. (D) 在內(nèi)單調(diào)增加，在內(nèi)也單調(diào)增加.3、 設(shè)，則當(dāng)時(shí)，（ ） (A)與是等價(jià)無(wú)窮小. (B) 是比低階的無(wú)窮小. (C) 與是同階但非等價(jià)的無(wú)窮小. (D) 是比高階的無(wú)窮小.4、 已知，則（ ） (A) 不存在，存在. (B) 都存在.(C) 存在，不存在. (D) 都不存在5、 設(shè)級(jí)數(shù)在處收斂，則此級(jí)數(shù)在處 ( ) (A) 條件收斂. (B) 絕對(duì)收斂. (C) 發(fā)散. (D) 收

3、斂性不確定. 得分評(píng)閱人 三、（本題滿分6分） 計(jì)算. 得分評(píng)閱人 四、（本題滿分6分） 計(jì)算. 得分評(píng)閱人 五、（本題滿分7分） 設(shè)二元函數(shù)是由方程所確定，求. 得分評(píng)閱人 六、（本題滿分6分） 求滿足方程的可微函數(shù). 得分評(píng)閱人 七、（本題滿分8分） 設(shè)在空氣中自由落下的冰雹均勻地融化，每秒融化千克，空氣阻力和冰雹速度成正比。若冰雹的初始質(zhì)量為千克，初速度為零，試求冰雹運(yùn)動(dòng)的速度和時(shí)間的關(guān)系. 得分評(píng)閱人 八、（本題滿分7分） 設(shè)函數(shù)，判別級(jí)數(shù)的斂散性. 得分評(píng)閱人 九、（本題滿分7分） 設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求證至少存在一點(diǎn)使得. 得分評(píng)閱人 十、（本題滿分8分） 求球面被平面

4、與所夾部分的面積. 得分評(píng)閱人 十一、（本題滿分7分）求，其中為常數(shù)，為從點(diǎn)沿曲線到點(diǎn)的一段弧. 得分評(píng)閱人十二、（本題滿分8分） 注：科技學(xué)院考生只作第1題, 其他考生只作第2題。 1.計(jì)算，其中區(qū)域. 2.計(jì)算曲面積分，其中為上半球面的上側(cè)，. 南昌大學(xué)第七屆高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽(理工類)試題答案 一、1、3. 2、. 3、24 . 4、. 5、. 二、1、D. 2、D. 3、C. 4、A. 5、B.三、 解 令，則 =2原式=四、 解 當(dāng)時(shí)，存在正整數(shù)使，因此，=五、解 由得.方程兩邊對(duì)求偏導(dǎo)得 上述方程兩邊再對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)得將，代入得=0六、 解 令，則=原方程可化為兩邊對(duì)求導(dǎo)得 （）再對(duì)求導(dǎo)得求解此微分方程得由（）得，代入上式得因此七、解 在秒時(shí)刻，冰雹的質(zhì)量為，速度為，受阻力為，為比例系數(shù)，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律得化簡(jiǎn)得解得，由得，于是八、解 ，令，則=，. 由于，因此，由收斂得收斂九、證 ，介于與之間 相加得，（1）不妨設(shè)，由在內(nèi)連續(xù)得在上連續(xù)，設(shè)在上的最大值和最小值分別為和，則,由介值定理得至少