傳輸矩陣法-7頁文檔資料

1、傳輸矩陣法一、傳輸矩陣法概述1.傳輸矩陣在介紹傳輸矩陣的模型之前，首先引入一個簡單的電路模型。如圖1(a)所示, 在(a)中若已知A點電壓及電路電流，則我們只需要知道電阻 R,便可求出B點 電壓。傳輸矩陣具有和電阻相同的模型特性。Eo(a)(b)Ei第 3 頁圖1傳輸矩陣模型及電路模擬模型如圖1(b)所示，有這樣的關(guān)系式存在：E)=M(z)Ei0 M(z)即為傳輸矩陣，它將介 質(zhì)前后空間的電磁場聯(lián)系起來，這和電阻將 A、B兩點的電勢聯(lián)系起來的實質(zhì)是 相似的。圖2多層周期性交替排列介質(zhì)二11M jj=i傳輸矩陣法多應(yīng)用于多層周期性交替排列介質(zhì)(如圖 2所示)，M(z)反映 的介質(zhì)前后空間電磁場之

2、間的關(guān)系， 而其實質(zhì)是每層薄膜特征矩陣的乘積， 若用 M j表示第j層的特征矩陣，則有：(DM(z)其中，（2）.、.9ITa為相包厚度，有匹=一 Njdj cos6j（3）九如公式（2）所示，Mj的表示為一個2X2的矩陣形式，其中每個矩陣元都 沒有任何實際物理意義，它只是一個計算結(jié)果，其推導(dǎo)過程將在第二部分給出。 2.傳輸矩陣法在了解了傳輸矩陣的基礎(chǔ)上，下面將介紹傳輸矩陣法的定義：傳輸矩陣法是將磁場在實空間的格點位置展開，將麥克斯韋方程組化成傳輸 矩陣形式，變成本征信求解問題。從其定義可以看出，傳輸矩陣法的實質(zhì)就是將麥克斯韋方程轉(zhuǎn)化為傳輸矩 陣，也就是傳輸矩陣法的建模過程，具體如下：利用麥克

3、斯韋方程組求解兩個緊 鄰層面上的電場和磁場，從而可以得到傳輸矩陣，然后將單層結(jié)論推廣到整個介 質(zhì)空間，由此即可計算出整個多層介質(zhì)的透射系數(shù)和反射系數(shù)。傳輸矩陣法的特點：矩陣元少（4個），運算量小，速度快；關(guān)鍵：求解矩 陣元；適用介質(zhì)：多層周期性交替排列介質(zhì)。二、傳輸矩陣的基礎(chǔ)理論薄膜光學(xué)理論1.麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組由四個場量： D E、B、H,兩個源量：J、P以及反映它們 之間關(guān)系的方程組成。而且由媒質(zhì)方程中的參數(shù) 名、卜、仃反映介質(zhì)對電磁場的 影響。方程組的實質(zhì)是描述電磁場的傳播， 即：一個變化的磁場引起鄰近區(qū)域的 電場變化，而此電場的變化又引起鄰近磁場的變化， 如此進行下去，便可抽

4、象出 電磁場的傳播。如圖3所示。HEHEHEHE圖3電磁場傳播的模擬圖將媒質(zhì)方程帶入麥克斯韋方程組，并對方程組求解可得以下兩個重要結(jié)論:1 ）（4）式（4）中，N即為介質(zhì)的光學(xué)導(dǎo)納，單位為西門子。特別說明：光波段時, 1_N約等于1, N數(shù)值上等于折射率。自由空間導(dǎo)納n°=0.002652)3 7 7(5)(6)式（5）為電場的波動方程，與經(jīng)典波導(dǎo)方程（6）相比可得V常把光速c和電磁波在介質(zhì)中速度之比定義為折射率，即得折射率公式:n =、（7）2 .邊界條件及反射折射電磁波在介質(zhì)交界處滿足切向分量連續(xù)的邊界條件。垂直入射時，電場和磁 場均與入射面垂直，則它們的切向分量既是本身。根據(jù)邊

5、界條件可得：（8）式（8）中，上標為+的代表入射波，-表示反射波。又由導(dǎo)納定義式（4）可將式（9）、（10）H ° = N（k .）H0入一（NB （用國司得反射系數(shù)定義式:)(10)(11)為反射系數(shù)，R為反射率。 透射系數(shù)原理相同，在此不再推導(dǎo)。上面討論的是垂直入射的情況，斜入射時情況類似，只是用修正導(dǎo)納刈°、1 代替（11）中的N0、N1。其實，無論電磁波入射情況如何，電磁波只有兩種情況：一種是電場E平行 入射面即TM波（P分量），此時電場的切向分量 Etg=Ecose （日為入射角）， 而磁場的切向分量是其本身，因此由（4）式可得：一一 . N 一H=Htg=N（k

6、 Etg）=N（k Ecos）=（k E） （12）cos1將（12）式與（4）式對比可得到P分量的修正導(dǎo)納，同理可得 TE波（S 分量）的修正導(dǎo)納：可得一般情況下的反射、透射系數(shù)表達式：(14)介質(zhì)的傳光特性可以由反射、透射系數(shù)所表征，而由以上討論可知，這兩個 參數(shù)與導(dǎo)納緊緊聯(lián)系。因此，求解介質(zhì)的傳光特性就可以轉(zhuǎn)換為求解導(dǎo)納問題， 這也是傳輸矩陣法所解決的核心問題之一。其實，傳輸矩陣法就是通過求得介質(zhì) 的導(dǎo)納，從而得到介質(zhì)的反射透射系數(shù)。3 .傳輸矩陣這一部分將應(yīng)用薄膜光學(xué)理論詳細推導(dǎo)介質(zhì)的傳輸矩陣，以及如何求得介質(zhì) 導(dǎo)納，根據(jù)第一部分傳輸矩陣的介紹可以知道，它其實是每層特征矩陣的乘積， 所

7、以，這一部分的推導(dǎo)就從單層薄膜的特殊矩陣入手， 進而推廣到整個介質(zhì)空間 推導(dǎo)出介質(zhì)的傳輸矩陣。下面就詳細介紹單層薄膜的特殊矩陣。電磁波通過厚度為di的單層薄膜過程如圖4所示。圖4電磁波通過單層薄膜圖5單層薄膜等效為介質(zhì)面的示意圖薄膜是存在一定厚度的，電磁波從 E。透過薄膜變?yōu)镋2的過程，與簡單的穿過介質(zhì)面相比多了個Ei的中間變換，如果可以將 Eo和E2通過導(dǎo)納直接聯(lián)系起來，那么薄膜就可以等效為一個介質(zhì)面(如圖 5所示)，前面所介紹的反射透射 公式便可用。因此，我們第一步完成從薄膜到介質(zhì)面的等效推導(dǎo)。 令薄膜導(dǎo)納(介 質(zhì)面1和介質(zhì)面2的組合導(dǎo)納)為丫，則可得到薄膜的透射反射系數(shù)：(15)由式(1

8、5)可知，求得丫便可求得r、t。由導(dǎo)納定義并對薄膜的第一介質(zhì)面應(yīng)用邊界連續(xù)條件可得：(16)(17)圖4中的E/、E1；表示剛剛穿過介質(zhì)面一的瞬時狀態(tài)。E12、E才表示即將穿過介質(zhì)面二的瞬時狀態(tài)。這兩個瞬時狀態(tài)的唯一不同只是因為薄膜厚度引入的相 位因子，即有：(18)第5頁將式（18）代入式（17）中可得式（19）,并將其轉(zhuǎn)為矩陣形式（20）:（19）（20）同理，薄膜的第二介質(zhì)面有如下關(guān)系式：（21）11（22）k E1222 1 k E2（23）=111（23）式（20）、（23） !k別上嬴質(zhì)面H 二兩側(cè)3間電SH燙之間的聯(lián)系，若將 式（23）代入式（20）中相乘，則所得12勺結(jié)果住1木

9、整個薄膜兩側(cè)空間電磁場 之間的聯(lián)系，即：（24）從式（24）中得到了第一層的特征矩陣：（25）（26）考慮到導(dǎo)納定義有如式（26）的關(guān)系，則可對式（24）進一步化簡：（27）令為為膜系的特征方程，則有關(guān)系式：（28）對比式（24）等號左邊的形式，由導(dǎo)納定義可得整個單層薄膜的組合導(dǎo)納：Y-CY B（29）從而由式（15）可求得單層薄膜的反射、透射系數(shù)。至此完成了第一步，即從薄膜到介質(zhì)面的等效推導(dǎo)。將將單層得到的結(jié)論推 廣到整個介質(zhì)空間可得：(30)(31)(32)(33)(34)式(30)為介質(zhì)第j層的特征矩陣，需要注意的是特征矩陣的行列式值為1。由式(32)即可得到整個介質(zhì)的傳輸矩陣。至此，完

10、成了多層介質(zhì)傳輸矩陣的建模過程。值得一提的是，在討論單層薄膜時，得到單層薄膜的反射率后，若對薄膜的光學(xué)厚度H(H=nd, n為薄膜折射率，d為薄膜實際厚度)求導(dǎo)，可得如圖6的結(jié)果。從結(jié)果中我們可以看出，在厚度為立時，反射率根據(jù)折射率的不同可達到最4大或最小值。圖6反射率與光學(xué)厚度的關(guān)系三、 傳輸矩陣法的應(yīng)用舉例傳輸矩陣法的典型應(yīng)用是對多層周期性交替排列介質(zhì)的分析，具有這樣結(jié)構(gòu)的器件實例有：光子晶體、光柵、量子阱結(jié)構(gòu)、DBR吉構(gòu)器件等。具體應(yīng)用過程請參見文獻傳輸矩陣法分析一維光子晶體的傳光特性。四、小結(jié)(1)傳輸矩陣法概念：將麥克斯韋方程組轉(zhuǎn)換為傳輸矩陣的形式，應(yīng)用傳輸矩 陣分析的計算方法。(2)傳輸矩陣：形式為每層特征矩陣的乘積。(3)典型應(yīng)用：多層周期性交替排列介質(zhì)。(4)解決問題：傳光特性(R T)、場弓S度(E、H)。注意：(3)、(4)共同決定傳輸矩陣法對所研究問題的適用性。(5)重要結(jié)論：導(dǎo)納 N、折射率定義n=M ,光波段下，導(dǎo)納無意義，它就 是折射率。(6)傳輸矩陣的推導(dǎo)(薄膜光學(xué)理論)是繁瑣的，但實際應(yīng)用中可忽略推導(dǎo)，直接應(yīng)用結(jié)論式(30) ( 35)。(7)用傳輸矩陣法求解問題過程：1 )應(yīng)用已有結(jié)論式(30) ( 35)建立介質(zhì)模型并求解：2)建立實際問題的模型。3)模型整合。(8)額外的結(jié)論：薄膜厚度選