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文檔簡介

1、從歐拉示性類到Morse理論賀正需 崔貴珍 沈良 拓?fù)涫乾F(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)很大的分支,近代數(shù)學(xué)可以說基本上是圍繞拓?fù)浒l(fā)展的。有人作過統(tǒng)計(jì),說獲得菲爾茲獎的人中有二分之一是作拓?fù)溲芯康?,?dāng)然這個(gè)統(tǒng)計(jì)有爭議,但即使沒有這么多,至少也有三分之一的人是在拓?fù)漕I(lǐng)域的,剩下的二分之一和三分之一之間,有一部分人可以說是作拓?fù)?,也可以說是分析或者別的領(lǐng)域,所以說,這個(gè)理論對現(xiàn)代數(shù)學(xué)的影響確實(shí)很大。這個(gè)理論的教父就是18世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家歐拉,他所作的貢獻(xiàn)遍布整個(gè)數(shù)學(xué)的領(lǐng)域。 我今天要講的是示性類和Morse理論,因?yàn)槟菚r(shí)拓?fù)溥€處于萌芽階段,所以問題都比較簡單,你們絕對能聽懂歐拉當(dāng)時(shí)的研究是從多面體開始的,我們今天

2、也從多面體開始講。1 歐拉示性類11 多面體12 歐拉示性類 定義 設(shè)多面體的頂點(diǎn)數(shù)為V、邊數(shù)為E、面數(shù)為F。cVE+F為多面體的歐拉示性類。下面我們列一個(gè)圖表:頂點(diǎn)數(shù)V邊數(shù)E面數(shù)FcVE+F正四面體4642正六面體81262正八面體61282正十二面體2030122正二十面體1230202虧格為0的多面體都是單連通的,這個(gè)現(xiàn)象就是歐拉定理: 定理 任何單連通多面體的歐拉示性類等于2:cVE+F2 這個(gè)定理是整個(gè)拓?fù)鋵W(xué)奠基的一個(gè)定理。因?yàn)橥苟嗝骟w都是單連通的,所以我們有推論: 推論 對于任何凸多面體,其歐拉示性類等于2。 對于有虧格的多面體,我們也有結(jié)論: 定理 對于虧格為g的多面體,其歐拉示

3、性類為22g13 對拓?fù)鋵W(xué)的影響拓?fù)涫巧蟼€(gè)世紀(jì)才形成的一個(gè)學(xué)科,簡單地說,拓?fù)溲芯康木褪窍駳W拉示性類這樣的量,它是連續(xù)變化中的不變量,并且我們還可以考慮將這種量推廣到高維的情形,如對n維流形,我們有定義:cA0一Al+A2一A3+(一1)nAn,其中A0頂點(diǎn)數(shù),A1邊數(shù),A2=面數(shù),A3=三維多面體數(shù), 歐拉示性類是拓?fù)鋵W(xué)的一個(gè)基本概念,對現(xiàn)代數(shù)學(xué),理論物理等學(xué)科的發(fā)展起了關(guān)鍵作用。14 應(yīng)用 作為歐拉示性類的一個(gè)有趣的應(yīng)用,我們來證明一個(gè)古典的定理: 定理 除了前面提到的五種正多面體外,不存在第六種單連通的正多面體。 這個(gè)定理的證明可以用幾何的方法,但最好的證明我認(rèn)為是用拓?fù)涞姆椒?,因?yàn)樗?/p>

4、用考慮角度,多面體可以放在任何空間,比如說雙曲空間中也是不存在第六種正多面體的,下面這個(gè)證明對于任何空間的多面體都是成立的。 證明 任給一個(gè)正多面體,設(shè)它有V個(gè)頂點(diǎn),E條邊,F(xiàn)個(gè)面;每個(gè)頂點(diǎn)過k條邊,每個(gè)面是j邊形。 因?yàn)槊織l邊有2個(gè)頂點(diǎn),每條邊是2個(gè)面的交線,所以我們有kV=2E,jF=2E,而歐拉示性類cVE+F2因此我們有 cVE+F2E/kE+2E /j=2,故1/k +1 /j=1/2+1/E。 因?yàn)閗,j,E都是正整數(shù),經(jīng)過初等計(jì)算,所有可能的(k,j,E)為:(3,3,6),(3,4,12),(4,3,12),(3,5,30),(5,3,30) 以上的五個(gè)解正好對應(yīng)于五種正多面體

5、,所以不存在第六種正多面體。15 多面體的對偶性 定義 給一個(gè)平面圖,每個(gè)面用一個(gè)點(diǎn)代替,有公共邊的兩個(gè)面所對應(yīng)的點(diǎn)用線段連接,則得到一個(gè)新的圖,稱之為對偶的圖。 性質(zhì) 每個(gè)多面體都有對偶,對偶的對偶是自己。16 正多面體的對偶 正四面體的對偶是它自己; 正六面體的對偶是正八面體,正八面體的對偶是正六面體; 正十二面體的對偶是正二十面體,正二十面體的對偶是正十二面體。 (V,E,F(xiàn))(F,E,V)2 Morse理論 Morse理論是建立在歐拉示性類基礎(chǔ)上的,在任何維數(shù)都成立其研究流形上光滑函數(shù)的臨界點(diǎn)與流形本身拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)之間的關(guān)系,是拓?fù)鋵W(xué)中重要的理論,在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中有著極為重要的作用。21 一維

6、情形 圓周是一個(gè)一維流形,設(shè)F是圓周上的光滑實(shí)函數(shù),考察使得導(dǎo)數(shù)F'為0的點(diǎn)。設(shè)G(t)F(expit),G(t)的周期為2。 那么Morse理論就是局部最大值的個(gè)數(shù)等于局部最小值的個(gè)數(shù)。22 二維情形 設(shè)想高低起伏的島,F(xiàn)是高度函數(shù)(F(x,y)是坐標(biāo)(x,y)點(diǎn)的高度)??疾焖姆妩c(diǎn),洼點(diǎn),以及如圖所示的馬鞍點(diǎn)(過山點(diǎn))。 設(shè)V是峰點(diǎn)數(shù),P是洼點(diǎn)數(shù),S是馬鞍點(diǎn)數(shù)。 Morse定理 對于任何(隨意構(gòu)造)的島,VS+P1。23 歐拉示性類的另一個(gè)應(yīng)用 圓形水池的水流:Figure 在漩渦中心水速為零 Brouwer不動點(diǎn)定理(二維情形) 不論水池中的水流多么復(fù)雜,總能找到一點(diǎn),它的水速為零。 此定理在高維也成立。 在三維情形下,定理可以敘述為:在一個(gè)完全密封的房間里(空氣可以在房間里任意流動),總能找到一點(diǎn),它的風(fēng)速為零。 證明的基本思想是歐拉示性類。24 后續(xù)發(fā)展 歐拉示性類的后續(xù)發(fā)展:Pontryagin示性類

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