第一章：勾股定理復(fù)習(xí)

1、在本章中，我們探索了直角三角形的三邊關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上得到了勾股定理，并學(xué)習(xí)了如何利用拼圖驗(yàn)證勾股定理，介紹了勾股定理的用途；本章后半部分學(xué)習(xí)了勾股定理的逆定是以及它的應(yīng)用其知識(shí)結(jié)構(gòu)如下：在學(xué)習(xí)勾股定理時(shí)應(yīng)注重知識(shí)的形成過程，即勾股定理的探索過程，有意識(shí)地培養(yǎng)自己探索新知識(shí)的能力在運(yùn)用勾股定理時(shí)一定要有直角三角形這個(gè)前提條件，因此，通過有關(guān)具體問題時(shí)，有時(shí)需添加適當(dāng)?shù)妮o助線以構(gòu)造直角三角形來(lái)幫助解題勾股定理的逆定理是用來(lái)判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的，但在判定一個(gè)三角形是否是直角三角形時(shí)應(yīng)首先確定該三角形的最大邊，當(dāng)其余兩邊的平方和等于最大邊的平方時(shí)，該三角形才是直角三角形勾股定理的逆定理也

2、可用來(lái)證明兩直線是否垂直，這一點(diǎn)同學(xué)們也應(yīng)牢牢掌握典例精講例1 如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，求CD長(zhǎng)方法指導(dǎo)：可設(shè)CD長(zhǎng)為xcm，再尋找等量關(guān)系利用方程思想來(lái)解，而在直角三角形中，等量關(guān)系往往是勾股定理表達(dá)式解：設(shè)CD=xcm，則BD=BCCD=（8x）cm由題知ACD與AED關(guān)于AD對(duì)稱，AE=AC=6cm，DE=CD=xcm，AED=C=90°在RrACB中，由勾股定理得：，BE=ABAE=106=4cm在RtBED中，由勾股定理得：，解得x=3cm方法總結(jié)：折疊問題應(yīng)把握折疊前后

3、兩部分圖形關(guān)于折痕對(duì)稱，從而可以利用對(duì)稱的有關(guān)性質(zhì)來(lái)幫助解題目例2 已知：如圖ABC中，AB=AC=10，BC=16，點(diǎn)D在BC上，DACA于A求：BD的長(zhǎng)方法指導(dǎo)：可設(shè)BD長(zhǎng)為xcm，然后尋找含x的等式即可，由AB=AC=10知ABC為等腰三角形，可作高利用其“三線合一”的性質(zhì)來(lái)幫助建立方程解：設(shè)BD長(zhǎng)為xcm過點(diǎn)A作AEBC于E，AB=AC=10，ABC為等腰三角形，在AEC中，由勾股定理得：在RtAED中，在RtDAC中，解得方法總結(jié)：勾股定理通常與等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合起來(lái)使用舉一反三 如圖：A、B兩點(diǎn)與建筑物底部D在一直線上，從建筑物頂部C點(diǎn)測(cè)得A、B兩點(diǎn)的俯角分別是30°、

4、60°，且AB=20cm，求建筑物CD的高解：例3 甲、乙兩船同時(shí)從港口A出發(fā)，甲船以12海里/時(shí)的速度向北偏東35°航行，乙船向南偏東55°航行2小時(shí)后，甲船到達(dá)C島，乙船到達(dá)B島，若C、B兩船相距40海里，問乙船的速度是每小進(jìn)多少海里？方法指導(dǎo)：可根據(jù)題意畫出圖形，易知ABC是直角三角形，利用勾股定理求出AB距離，從而求出乙船速度解：由題知ABC是直角三角形且BAC為直角，BC=40由勾股定理得（海里）乙船速度為：（海里/時(shí)）方法總結(jié)：凡是實(shí)際問題，應(yīng)根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形來(lái)求解舉一反三 “中華人民共和國(guó)道路交通管理?xiàng)l例”規(guī)定，小汽車在城街路上行駛速度不得超過

5、70km/h，如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路面對(duì)車速檢測(cè)儀正前方30m處，過了2s后，測(cè)得小汽車與速速檢測(cè)儀間距離為50m，這輛小汽車超速了嗎？解：因?yàn)樾∑嚨乃俣葹椋?，因此小汽車超速了? 如圖，海中有一小島A，在該島周圍10海里內(nèi)有暗礁，今有貨船由西向東航行，開始在A島南偏西45°的B處往東航行20海里后達(dá)到該島南偏西30°的C處，之后繼續(xù)向東航行，你認(rèn)為貨船繼續(xù)向東航行會(huì)有觸礁的危險(xiǎn)嗎？計(jì)算后說明理由方法指導(dǎo)：要想知道有無(wú)觸礁危險(xiǎn)只需算出點(diǎn)A到BC的距離，再比較即知解：過點(diǎn)A作ADBC，垂足為D由題知：BAD=45°，CAD=

6、30°設(shè)AD=x（海里），則BD=x（海里），CD=（x20）（海里），我們知道有一內(nèi)角為30°的直角三角形三邊比值為，即解得故無(wú)觸礁危險(xiǎn)方法總結(jié)：此題若直接用勾股定理也可得關(guān)于x的方程，但是是一元二次的，目前無(wú)法解出來(lái)，故應(yīng)熟記特殊直角三角形的三邊比值，如等腰直角三角形三邊比值為舉一反三 如圖，點(diǎn)A是一個(gè)半徑為300m的圓形森林公園的中心，在森林公園附近有B、C兩個(gè)村莊，現(xiàn)要在B、C兩村莊之間修一條長(zhǎng)為1000m的筆直公路將兩村連通經(jīng)測(cè)得ABC=45°，ACB=30°，問此公路是否會(huì)穿過該森林公園？請(qǐng)通過計(jì)算進(jìn)行說明解：不會(huì)穿過公園例5 一架方梯長(zhǎng)25

7、m，如圖，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7m，求：（1）這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的頂端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了幾米？方法指導(dǎo)：梯子靠在墻上即構(gòu)成直角三角形，可利用勾股定理來(lái)求解解：（1）如圖，在RtPOQ中，由勾股定理得：即梯子的頂端距離地面24m；（2）由題知梯子底端移動(dòng)的距離為OB，設(shè)QB=x，則OA=OPAP=244=20m，梯子下滑過程中長(zhǎng)度不變即AB=QP=25m，在RrAOB中，由勾股定理得：QB=OBOQ=157=8m即梯子底端移動(dòng)了8m方法總結(jié)：這是一類“梯子下滑問題”，解此類題應(yīng)把握兩點(diǎn)：梯子靠在墻上即構(gòu)成直角三角形；梯子滑動(dòng)過程中長(zhǎng)度不變舉

8、一反三 如圖，一個(gè)梯子AB長(zhǎng)25m，頂端A靠在墻AC上，這時(shí)梯子下端B與墻角C距離為15m，梯子滑動(dòng)后停在DE的位置上，測(cè)得BD長(zhǎng)為05m，求梯子頂端A下落了多少m？解：梯子頂端A下落了05m例6 若ABC的三邊分別為a、b、c，且滿足，那么ABC是何種形狀？解：由得，即，a=3，b=4，c=5，由勾股定理逆定理知ABC是直角三角形方法總結(jié)：要判斷三角形形狀，應(yīng)尋找三邊關(guān)系或三角之間的關(guān)系再作出判斷舉一反三 若a、b、c為ABC的三邊，且滿足探索ABC的形狀，并說明理由解：等邊三角形例7 如圖，CD是ABC的AB邊上的高，且有求證：ABC是直角三角形方法指導(dǎo)：先依題意畫圖，再利用勾股定理的逆定

9、理來(lái)證解：在RtACD中，由勾股定理得：，同理，由勾股定理逆定理知：ABC是直角三角形方法總結(jié)：證明直角三角形或兩直線的垂直關(guān)系通常用勾股定理逆定理來(lái)解決舉一反三 如圖，已知在ABC中，C=90°，D為AC上一點(diǎn)，與 有怎樣的關(guān)系？試證明你的結(jié)論解：相等（提示：可證明，再作移項(xiàng)變形）綜合練習(xí)（時(shí)間90分鐘，滿分120分）一、填空題（3分×10=30分）1在ABC中，C=90°，a，b，c為A，B，C的對(duì)邊（1）c=25，b=24，那么a=_（2）a=30，b=16，那么c=_2在ABC中，a，b，c為A，B，C的對(duì)邊（1），那么當(dāng)c=_時(shí)，B=90°（2

10、），那么當(dāng)b=_時(shí)，C=90°3在ABC中，C=90°，AB=40，AC=24則斜邊AB上的高是_4在ABC中，a，b，c為A，B，C的對(duì)邊，如果a，b，c滿足，那么ABC是以_為斜邊的直角三角形5如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是1，在圖中畫出：（1）一個(gè)面積為2的直角三角形（2）一個(gè)面積為2的正方形6如圖，ABC中，BC=12，AB=10，ABC的面積是48那么BD=_7一個(gè)三角形的一個(gè)外角等于和它相鄰的內(nèi)角，如果此三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是5，2，那么以第三條邊為半徑的圓的面積是_（保留）8邊長(zhǎng)為2的正三角形的面積為_，邊長(zhǎng)為a的正三角形面積為_9如果梯子的底端離建筑物9m，那么

11、15m長(zhǎng)的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是_10為得到湖兩岸A點(diǎn)和B點(diǎn)間的距離，一個(gè)觀測(cè)者在C點(diǎn)設(shè)樁，使ABC為直角（如圖），并測(cè)得AC長(zhǎng)20m、BC長(zhǎng)16m，A，B兩點(diǎn)間的距離是_二、選擇題（7分×3=21分）11有下列命題：（1）如果a，b，c為一組勾股數(shù)，那么4a，4b，4c仍是勾股數(shù)；（2）如果直角三角形的兩邊長(zhǎng)是3，4，那么斜邊必是5；（3）如果一個(gè)三角形的三邊是12，25，21，那么此三角形必是直角三角形；（4）一個(gè)等腰直角三角形的三邊長(zhǎng)為a，b，c（a>b>c），那么其中正確的是（ ）A（1）（2） B（1）（3） C（1）（4） D（2）（4）12如圖，ABC中

12、，AB=AC，ADBC，垂足是D，AB=13，BD=5，則ABC的面積是（ ）A65 B120 C60 D3613如圖，ABC中，ACB=90°，AC=BC，如果ABC的面積是8，那么腰長(zhǎng)是（ ）A4 B2 C8 D1614如圖，B在A的北偏西方向的6m處，C在A的北偏東方向的8m處，并且，那么B、C兩點(diǎn)相距（ ）A6m B8m C10m D12m15如圖，在RtABC中，C=90°，D為AC上的一點(diǎn)，且有DA=DB=5，又DAB的面積是10，那么DC的長(zhǎng)是（ ）A4 B3 C5 D4516在ABC中，AB=AC，如果AB=17，BC=16，則BC邊上的中線長(zhǎng)是（ ）A8

13、B15 C10 D617如圖，在RtABC中，B=90°以AC為直徑的圓恰好過點(diǎn)BAB=8，BC=6，則陰影部分的面積是（ ）A BC D三、閱讀理解題（5分）18閱讀下列解題過程，并回答問題已知a，b，c為ABC的三邊，且滿足，試判定ABC的形狀解：， ， ABC是直角三角形（1）上述解題過程，從哪一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤？請(qǐng)寫出代號(hào)_（2）錯(cuò)誤的原因?yàn)開（3）本題正確結(jié)論為_四、解答題（64分）19（8分）下面同學(xué)對(duì)各題的解答是否正確？為什么？（1）在RtABC中，B=90°，a=3，b=4，求c；（2）已知直角三角形兩條直角邊為40和9，求第三邊的長(zhǎng)；（3）已知ABC中，AB

14、=10，AC=17，BC邊上的高AD=8，求BC的長(zhǎng)解：（1）由勾股定理得：，（2）由勾股定理得：，c=41，答：第三邊的長(zhǎng)為41（3）根據(jù)勾股定理：，DB=8；，DC=15故BC=15+8=2420（8分）有一個(gè)三角形兩邊長(zhǎng)分別為4和5，要使三角形為直角三角形，則第三邊為多少？21（8分）給出一組式子：（1）你能發(fā)現(xiàn)關(guān)于上式中的一些規(guī)律嗎？（2）請(qǐng)你運(yùn)用所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，給出第5個(gè)式子（3）請(qǐng)你證明你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律22（8分）在ABC中，已知a=15，b=17，c=8，求ABC的面積23（8分）如圖，在ABC中，ACB=90°，CDAB，D為垂足，DEBC，E為垂足，已知AC=6，AB=

15、10求（1）CD的長(zhǎng)；（2）DE的長(zhǎng)24（8分）如圖，ABC中，ADBC，D為垂足，AE為BC邊上的中線，已知AB=5，BC=12，ABC的面積是24求（1）AD的長(zhǎng)；（2）判斷ABE的形狀，并說明理由25（8分）如圖，在ABC中，ACB=90°，CD為AB邊上的高試說明26（8分）如圖，在ABC中，AM是BC邊的中線，AE為BC邊上的高試判斷與的關(guān)系，并說明理由參考答案1（1）7 （2）34 2（1）1 （2）3 3192 4a 5略 66 先由面積公式，求出AD=8 7或 先說明此三角形為直角三角形，但因?yàn)檎l(shuí)是斜邊沒有確定，故有兩種情況8 912cm 1012cm 11C 12C

16、 13A ，則 14C ，得BAC=90°，由勾股定理可求得BC=10 15B ADB的AD邊上的高為BC，即，BC=4在RtBCD中求得CD=3 16B 17C 18（1） （2）可能為0 （3）ABC為直角三角形或等腰三角形 19幾個(gè)題的解法均有問題（1）錯(cuò)誤的原因是沒有弄清哪個(gè)角是直角，盲目地運(yùn)用勾股定理，當(dāng)B=90°，應(yīng)該有 （2）沒有確定所求得的邊是直角邊，還是斜邊（3）考慮不完整，忽視了高AD在ABC外部的情況 203或 21（1） （2） （3）按完全平方公式展形，進(jìn)行證明即可 22，ABC為直角三角形， 23（1）48先求出BC=8則由面積公式可求出CD （

17、2）384 在ACD中求得AD=36，所以BD=64，在BCD中運(yùn)用面積公式求DE，即則 24（1）4 由面積公式，得 （2）等腰三角形在RtABD中，AB=5，AD=4，則BD=3，因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，BE=6，DE=3，AE=5=ABABE為等腰三角形25左邊右邊26 ， 期中測(cè)試題（時(shí)間90分鐘，滿分120分）一、選擇題（3分×10=30分）1已知xy=1，則的值為（ ）A B C D2有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，則代數(shù)式的值為（ ）A正數(shù) B負(fù)數(shù) C零 D不能確定3若分式的值為零，則x的值為（ ）A3 B3或3 C3 D04化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ）A B C D5若x&l

18、t;2，則的值為（ ）A1 B0 C1 D26中，x，y都擴(kuò)大10倍，則分式的值（ ）A擴(kuò)大10倍 B縮小10倍 C保持不變 D縮小5倍7如果反比例函數(shù)的的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，2），那么下列各點(diǎn)中在此函數(shù)圖象上的點(diǎn)是（ ）A BC D8一個(gè)矩形的面積是6，則這個(gè)矩形的一組鄰邊長(zhǎng)x與y的函數(shù)關(guān)系圖象大致是（ ）9若直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為2，4，x，則x可能的值有（ ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)10一等腰直角三角形的周長(zhǎng)為2P，其面積為（ ）A BC D二、填空題（3分×10=30分）11在分式中，x=_時(shí)，分式無(wú)意義，當(dāng)x=_時(shí)，分式的值為零12當(dāng)時(shí)，13若去分母解方程，出現(xiàn)增根，則

19、增根為_14在分式中，當(dāng)x=_時(shí)，分式的值為1；當(dāng)x的值_時(shí)，分式值為正數(shù)15已知，且，則16反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P，如圖所示根據(jù)圖象可知，反比例函數(shù)的解析式為_17某蓄電池的電壓為定值，如圖所示的是該蓄電池電流I（A）與電阻R（）之間的函數(shù)關(guān)系圖象，則其函數(shù)解析式是_18近視眼鏡的度數(shù)y（度）與鏡片焦距x（m）成反比例關(guān)系，已知400度近視眼鏡片的焦距為025m，則眼鏡度數(shù)y與鏡片焦距x之間的函數(shù)關(guān)系式為_19如圖，已知ABC中，ACB=90°，以ABC的各邊為邊在ABC外作三個(gè)正方形，分別表示這三個(gè)正方形的面積，則20如圖，為了求出湖兩岸A，B兩點(diǎn)之間的距離，觀測(cè)者從觀測(cè)點(diǎn)A，

20、B分別測(cè)得BAC=90°，ABC=30°，又測(cè)得BC=160m，則A，B兩點(diǎn)之間的距離為_m（結(jié)果保留根號(hào)）三、解答題（60分）21先化簡(jiǎn)，再求值（5分×2=10分）（1），其中（2），其中22解分式方程（5分×2=10分）（1） （2）23（8分）在RtABC中，C=90°，AB=2，求這個(gè)三角形的面積24（8分）如圖，鐵路上A，B兩點(diǎn)相距25km，C，D為兩村莊，DAAB于A，CBAB于B，已知DA=15km，CB=10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在距A站多少千米處？25（8分）如圖，已知RtABC的頂點(diǎn)A是一次函數(shù)y=x+m與反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，且該一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式是否能完全確定？如