第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

1、第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第一節(jié) 微分中值定理教學(xué)目的：理解并會(huì)用羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。教學(xué)重點(diǎn)：羅爾定理、拉格朗日中值定理。 教學(xué)難點(diǎn)：羅爾定理、拉格朗日中值定理的應(yīng)用。教學(xué)內(nèi)容：一、羅爾定理1.羅爾定理幾何意義：對(duì)于在上每一點(diǎn)都有不垂直于軸的切線，且兩端點(diǎn)的連線與軸平行的不間斷的曲線來(lái)說(shuō)，至少存在一點(diǎn)C，使得其切線平行于軸。 C A B從圖中可以看出：符合條件的點(diǎn)出現(xiàn)在最大值和最小值點(diǎn)，由此得到啟發(fā)證明羅爾定理。為應(yīng)用方便，先介紹費(fèi)馬（Fermat）引理費(fèi)馬引理 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義, 并且在處可導(dǎo), 如果對(duì)任意, 有 (或), 那么.證明：

2、不妨設(shè)時(shí)，（若，可以類(lèi)似地證明）.于是對(duì)于,有, 從而當(dāng)時(shí),; 而當(dāng)時(shí),;根據(jù)函數(shù)在處可導(dǎo)及極限的保號(hào)性的得 所以, 證畢.定義 導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)(或穩(wěn)定點(diǎn)，臨界點(diǎn)).羅爾定理如果函數(shù)滿足：（1）在閉區(qū)間上連續(xù),（2）在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),（3）在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即, 那么在內(nèi)至少在一點(diǎn), 使得函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零，即.證明：由于在上連續(xù)，因此必有最大值M和最小值，于是有兩種可能的情形：（1），此時(shí)在上必然取相同的數(shù)值M，即由此得因此，任取，有（2），由于，所以M和至少與一個(gè)不等于在區(qū)間 端點(diǎn)處的函數(shù)值.不妨設(shè)(若,可類(lèi)似證明),則必定在有一點(diǎn)使. 因此任取有, 從而由費(fèi)馬引理

3、有. 證畢例1 驗(yàn)證羅爾定理對(duì)在區(qū)間上的正確性解 顯然 在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且, 又, 取,有.說(shuō)明：1 若羅爾定理的三個(gè)條件中有一個(gè)不滿足, 其結(jié)論可能不成立; 2 使得定理成立的可能多于一個(gè)，也可能只有一個(gè).例如 在上除不存在外，滿足羅爾定理的一切條件， 但在區(qū)間內(nèi)找不到一點(diǎn)能使.例如 除了點(diǎn)不連續(xù)外，在上滿足羅爾定理的一切條件，但在區(qū)間上不存在使得的點(diǎn) 例如除了外，在上滿足羅爾定理的一切條件，但在區(qū)間上不存在使得的點(diǎn) 又例如滿足定理的一切條件，而2羅爾定理的應(yīng)用羅爾定理1）可用于討論方程只有一個(gè)根；2）可用于證明等式.例2 證明方程有且僅有一個(gè)小于1的正實(shí)根.證明：設(shè), 則在上連續(xù)，且由

4、介值定理存在使, 即為方程的小于1的正實(shí)根.設(shè)另有使因?yàn)樵谥g滿足羅爾定理的條件, 所以至少存在一個(gè)（在之間）使得.但, 矛盾, 所以為方程的唯一實(shí)根.拉格朗日中值定理的證明就是羅爾定理證明等式的一個(gè)例子（見(jiàn)后面）.二、拉格朗日（Lagrange）中值定理1.拉格朗日中值定理在實(shí)際應(yīng)用中，由于羅爾定理的條件（3）有時(shí)不能滿足，使得其應(yīng)用受到一定限制。如果將條件（3）去掉，就是下面要介紹的拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函數(shù)滿足（1）在閉區(qū)間上連續(xù),（2）在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo), 那么在內(nèi)至少有一點(diǎn), 使得等式成立.幾何意義:上述等式可變形為，等式右端為弦AB的斜率, 于是在區(qū)間上不間斷且其上每一點(diǎn)

5、都有不垂直于軸切線的曲線上，至少存在一點(diǎn)C，使得過(guò)C點(diǎn)的切線平行于弦AB. 當(dāng)時(shí)，羅爾定理變?yōu)槔窭嗜罩兄刀ɡ恚戳_爾定理是拉格朗日中值定理的特例，而拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣，下面用羅爾定理證明拉格朗日中值定理.分析與證明：弦AB的方程為 曲線減去弦AB，所得曲線AB兩端點(diǎn)的函數(shù)值相等. 作輔助函數(shù)于是滿足羅爾定理的條件，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得.又, 所以即在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得.證畢說(shuō)明: 1.又稱為拉格朗日中值公式（簡(jiǎn)稱拉氏公式）, 此公式對(duì)于也成立;2拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系；當(dāng)設(shè)在上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo)時(shí), 若 , 則有當(dāng)時(shí),

6、 也可寫(xiě)成試與微分比較:是函數(shù)增量的近似表達(dá)式, 而是函數(shù)增量的精確表達(dá)式.所以拉格朗日中值公式又稱為有限增量公式, 拉格朗日中值定理又稱有限增量定理.推論 若函數(shù)在區(qū)間I上導(dǎo)數(shù)恒為零，則在區(qū)間I上是一個(gè)常數(shù).2. 拉格朗日中值定理的應(yīng)用拉格朗日中值定理1）可用于證明等式；2）可用于證明不等式.例3 證明證明：設(shè)由于, 所以又, 即.故.例4 證明當(dāng)時(shí), 證明: 設(shè), 則在上滿足拉氏定理的條件于是又, 于是 而, 所以, 故從而 , 即三、柯西中值定理柯西中值定理 如果函數(shù)及在閉區(qū)間上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且在內(nèi)每一點(diǎn)處均不為零，那末在內(nèi)至少有一點(diǎn),使等式成立幾何解釋:設(shè)曲線弧C由參數(shù)方程()

7、表示, 其中為參數(shù). 如果曲線C上除端點(diǎn)外處處具有不垂直于橫軸的切線, 那么在曲線C上必有一點(diǎn) , 使曲線上該點(diǎn)的切線平行于連結(jié)曲線端點(diǎn)的弦AB, 曲線C上點(diǎn) 處的切線的斜率為, 弦AB的斜率為. 于是, 即在曲線弧AB上至少有一點(diǎn),在該點(diǎn)處的切線平行于弦AB.證明: 作輔助函數(shù)則滿足羅爾定理的條件，于是在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得, 即, 所以.證畢特別地 當(dāng)時(shí), 由 有 即, 故拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣.例5 設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),證明:至少存在一點(diǎn)，使證明與分析: 結(jié)論可變形為設(shè)，則在上滿足柯西中值定理的條件于是至少存在一點(diǎn)，使所以至少存

8、在一點(diǎn)，使即四、 小結(jié)羅爾定理是拉格朗日中值定理的特例，而拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣; 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣.注意中值定理成立的條件.五、作業(yè) 作業(yè)卡: P24P27第二節(jié) 洛必達(dá)法則教學(xué)目的：理解洛必達(dá)法則，掌握用洛必達(dá)法則求型和型以及型未定式的極限的方法; 了解型極限的求法.教學(xué)重點(diǎn)：洛必達(dá)法則.教學(xué)難點(diǎn)：理解洛必達(dá)法則失效的情況,型的極限的求法.教學(xué)內(nèi)容： 一型和型未定式的解：法洛必達(dá)法則定義：若當(dāng)（或）時(shí)，函數(shù)和都趨于零(或無(wú)窮大)，則極限可能存在、也可能不存在，通常稱為型和型未定式. 例如 , (型); , (型).定理：

9、設(shè)(1)當(dāng)時(shí), 函數(shù)和都趨于零;(2)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi),和都存在且;(3)存在(或無(wú)窮大),則定義：這種在一定條件下通過(guò)分子分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則證明:定義輔助函數(shù), 在內(nèi)任取一點(diǎn), 在以和為端點(diǎn)的區(qū)間上函數(shù)和滿足柯西中值定理的條件, 則有, (在與之間)當(dāng)時(shí),有, 所以當(dāng), 有 故. 證畢說(shuō)明: 1.如果仍屬于型, 且和滿足洛必達(dá)法則的條件,可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則, 即; 2.當(dāng)時(shí), 該法則仍然成立, 有; 3.對(duì)（或）時(shí)的未定式，也有相應(yīng)的洛必達(dá)法則; 4. 洛必達(dá)法則是充分條件; 5. 如果數(shù)列極限也屬于未定式的極限問(wèn)題，需先將其轉(zhuǎn)換為函數(shù)極限，然后使用

10、洛必達(dá)法則，從而求出數(shù)列極限.例1 求, (型)解 原式=例2 求, (型)解 原式=例3 求 , (型)解 原式=1例4 求 , (型).解 原式=1例5 求 , (型)解 原式= =注意：洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好.例6 求解 原式=二型未定式的求法關(guān)鍵: 將其它類(lèi)型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的類(lèi)型型和型.1型未定式的求法步驟：或例7 求型解 原式=步驟：例8 求 型解 原式=步驟： 例9 求型解 原式=例10 求型解 原式=例11 求型解 由于而所以 原式=注意：洛必達(dá)法則的使用條件例12 求解 原式=極限不存在 （洛必達(dá)法條件不滿足的情況）

11、正確解法為 原式=例13 求解 設(shè)，則 因?yàn)?從而 原式=三小結(jié)1 洛必達(dá)法則是求型和型未定式極限的有效方法，但是非未定式極限卻不能使用。因此在實(shí)際運(yùn)算時(shí)，每使用一次洛必達(dá)法，必須判斷一次條件。2 將等價(jià)無(wú)窮小代換等求極限的方法與洛必達(dá)法則結(jié)合起來(lái)使用，可簡(jiǎn)化計(jì)算。3 洛必達(dá)法則是充分條件，當(dāng)條件不滿足時(shí)，未定式的極限需要用其他方法求，但不能說(shuō)此未定式的極限不存在。4 如果數(shù)列極限也屬于未定式的極限問(wèn)題，需先將其轉(zhuǎn)換為函數(shù)極限，然后使用洛必達(dá)法則，從而求出數(shù)列極限.四作業(yè)作業(yè)卡: P28P30第三節(jié) 泰勒公式教學(xué)目的：理解泰勒中值定理，掌握常見(jiàn)泰勒公式。教學(xué)重點(diǎn)：泰勒中值定理。教學(xué)難點(diǎn)：泰勒中

12、值定理和泰勒中值定理的應(yīng)用。教學(xué)內(nèi)容：一、泰勒(Taylor)中值定理的引入對(duì)于一些較復(fù)雜的函數(shù), 為了便于研究, 往往希望用一些簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)近似表達(dá). 由于用多項(xiàng)式表示的函數(shù), 只要對(duì)自變量進(jìn)行有限次加、減、乘三種運(yùn)算, 便能求出它的函數(shù)值, 因此我們經(jīng)常用多項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá)函數(shù).在微分的應(yīng)用中已經(jīng)知道, 當(dāng)很小時(shí), 有如下的近似等式:,這些都是用一次多項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá)函數(shù)的例子. 但是這種近似表達(dá)式還存在著不足之處: 首先是精確度不高, 這所產(chǎn)生的誤差僅是關(guān)于的高階無(wú)窮小; 其次是用它來(lái)作近似計(jì)算時(shí), 不能具體估算出誤差大小. 因此, 對(duì)于精確度要求較高且需要估計(jì)誤差時(shí)候, 就必須用高次多項(xiàng)式

13、來(lái)近似表達(dá)函數(shù), 同時(shí)給出誤差公式.設(shè)函數(shù)在含有的開(kāi)區(qū)間內(nèi)具有直到階導(dǎo)數(shù), 現(xiàn)在我們希望做的是: 找出一個(gè)關(guān)于的次多項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá), 要求與f(x)之差是比高階的無(wú)窮小, 并給出誤差的具體表達(dá)式.我們自然希望與在的各階導(dǎo)數(shù)(直到階導(dǎo)數(shù))相等, 這樣就有, 于是, , , , .按要求有,×××××,從而有, ,，即().于是就有.二、泰勒中值定理泰勒中值定理如果函數(shù)在含有的某個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)具有直到階導(dǎo)數(shù), 則當(dāng)在內(nèi)時(shí),可以表示為的一個(gè)次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)之和，即其中(介于與之間).證明：由假設(shè),在內(nèi)具有直到階導(dǎo)數(shù),且兩函數(shù)及在以及為端點(diǎn)的區(qū)間上滿足柯

14、西中值定理的條件,得(介于與之間)兩函數(shù)及在以及為端點(diǎn)的區(qū)間上滿足柯西中值定理的條件,得(介于與之間), 此下去,經(jīng)過(guò)次后,得所以則由上式得(介于與之間). 證畢說(shuō)明：1這里多項(xiàng)式.稱為函數(shù)按的冪展開(kāi)的次近似多項(xiàng)式, 公式2稱為按的冪展開(kāi)的階泰勒公式, 而Rn(x)的表達(dá)式3(介于與之間)稱為拉格朗日型余項(xiàng).4當(dāng)時(shí), 泰勒公式變成(介于與之間)拉格朗日中值公式, 因此泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣.5如果對(duì)于某個(gè)固定的, 當(dāng)在區(qū)間內(nèi)變動(dòng)時(shí),總不超過(guò)一個(gè)常數(shù)M, 則有估計(jì)式及.可見(jiàn), 當(dāng)時(shí), 誤差是比高階的無(wú)窮小, 即,該余項(xiàng)稱為皮亞諾形式的余項(xiàng).6在不需要余項(xiàng)的精確表達(dá)式時(shí),階泰勒公式也

15、可寫(xiě)成7當(dāng)時(shí)的泰勒公式稱為麥克勞林(Maclaurin)公式, 就是或其中.8由此得近似計(jì)算公式.誤差估計(jì)式變?yōu)?三、簡(jiǎn)單的應(yīng)用例1 求的階麥克勞林公式解 由于所以而代入公式,得由公式可知估計(jì)誤差: 設(shè)取, 其誤差 例2求的階麥克勞林公式. 解: 因?yàn)?所以于是. 當(dāng)時(shí), 有近似公式, ,.例3 計(jì)算 .解 由于所以故 原式=四、常用函數(shù)的麥克勞林公式五、小結(jié)Taylor公式在近似計(jì)算中具有非常重要的應(yīng)用六、作業(yè)第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性教學(xué)目的：理解函數(shù)的單調(diào)性和曲線的凹凸性的判定定理，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和曲線的凹凸區(qū)間。教學(xué)重點(diǎn)：掌握用一階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和利用二階導(dǎo)數(shù)判斷曲線

16、的凹凸性的方法。教學(xué)難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)不存在的連續(xù)點(diǎn)、也可能是單調(diào)區(qū)間和曲線的凹凸區(qū)間的分界點(diǎn)。教學(xué)內(nèi)容： 一、函數(shù)單調(diào)性的判定法 如果函數(shù)在上單調(diào)增加（單調(diào)減少）, 那么它的圖形是一條沿軸正向上升（下降）的曲線. 這時(shí)曲線的各點(diǎn)處的切線斜率是非負(fù)的（是非正的）, 即 (或) 由此可見(jiàn), 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有著密切的關(guān)系. 反過(guò)來(lái), 能否用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判定函數(shù)的單調(diào)性呢？定理1 (函數(shù)單調(diào)性的判定法) 設(shè)函數(shù)在上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo). (1)如果在內(nèi), 那么函數(shù)在上單調(diào)增加; (2)如果在內(nèi), 那么函數(shù)在上單調(diào)減少.證明 只證(1)（2）可類(lèi)似證得）在上任取兩點(diǎn), 應(yīng)用拉格朗日中值定理, 得到. 由

17、于在上式中, 因此, 如果在內(nèi)導(dǎo)數(shù)保持正號(hào), 即, 那么也有, 于是從而，因此函數(shù)在上單調(diào)增加. 證畢注: 判定法中的閉區(qū)間可換成其他各種區(qū)間.例1 判定函數(shù)在上的單調(diào)性.解 因?yàn)樵趦?nèi),所以由判定法可知函數(shù)在上單調(diào)增加.例2 討論函數(shù)的單調(diào)性.解 由于 且函數(shù)的定義域?yàn)?令, 得, 因?yàn)樵趦?nèi), 所以函數(shù)在上單調(diào)減少;又在內(nèi), 所以函數(shù)在上單調(diào)增加.例3.討論函數(shù)的單調(diào)性.解: 顯然函數(shù)的定義域?yàn)? 而函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 所以函數(shù)在處不可導(dǎo). 又因?yàn)闀r(shí), 所以函數(shù)在上單調(diào)減少; 因?yàn)闀r(shí), 所以函數(shù)在上單調(diào)增加.說(shuō)明: 如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù), 除去有限個(gè)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)外導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù), 那么只要用方

18、程的根及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)來(lái)劃分函數(shù)的定義區(qū)間, 就能保證在各個(gè)部分區(qū)間內(nèi)保持固定的符號(hào), 因而函數(shù)在每個(gè)部分區(qū)間上單調(diào).例4. 確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解 該函數(shù)的定義域?yàn)?而,令, 得.列表 +-+函數(shù)f(x)在區(qū)間和內(nèi)單調(diào)增加, 在區(qū)間上單調(diào)減少.例5. 討論函數(shù)的單調(diào)性.解 函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)為:, 除時(shí),外, 在其余各點(diǎn)處均有 因此函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)減少; 因?yàn)楫?dāng)時(shí), 所以函數(shù)在及上都是單調(diào)增加的. 從而在整個(gè)定義域內(nèi)是單調(diào)增加的. 其在處曲線有一水平切線.說(shuō)明:一般地, 如果在某區(qū)間內(nèi)的有限個(gè)點(diǎn)處為零, 在其余各點(diǎn)處均為正（或負(fù)）時(shí), 那么在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的.例6

19、.證明: 當(dāng)時(shí),.證明:令, 則 因?yàn)楫?dāng)時(shí), 因此在上單調(diào)增加, 從而當(dāng)時(shí), ,又由于, 故,即, 也就是,().二、曲線的凹凸與拐點(diǎn)1. 凹凸性的概念:x1 x 2 yx O f(x2) f(x1) x1 x 2 yx O f(x2) f(x1) 定義 設(shè)在區(qū)間I上連續(xù), 如果對(duì)I上任意兩點(diǎn) , 恒有, 那么稱在I上的圖形是(向上)凹的(或凹弧); 如果恒有,那么稱在I上的圖形是(向上)凸的(或凸弧).定義¢設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù), 如果函數(shù)的曲線位于其上任意一點(diǎn)的切線的上方，則稱該曲線在區(qū)間I上是凹的；如果函數(shù)的曲線位于其上任意一點(diǎn)的切線的下方，則稱該曲線在區(qū)間I上是凸的.2.曲線

20、凹凸性的判定定理 設(shè)在上連續(xù), 在(a,b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù), 那么(1)若在內(nèi), 則在上的圖形是凹的;(2)若在內(nèi) , 則在上的圖形是凸的.證明 只證(1)(2)的證明類(lèi)似). 設(shè), 記.由拉格朗日中值公式, 得,兩式相加并應(yīng)用拉格朗日中值公式得,即, 所以在上的圖形是凹的. 拐點(diǎn): 連續(xù)曲線上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為這曲線的拐點(diǎn).確定曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)的步驟:(1)確定函數(shù)的定義域;(2)求出在二階導(dǎo)數(shù) ; (3)求使二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和使二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn);(4)判斷或列表判斷, 確定出曲線凹凸區(qū)間和拐點(diǎn);注: 根據(jù)具體情況（1）、（3）步有時(shí)省略.例1. 判斷曲線的凹凸性.解:,.因

21、為在函數(shù)的定義域內(nèi), 所以曲線是凸的.例2. 判斷曲線的凹凸性.解: 因?yàn)?,. 令 得. 當(dāng)時(shí), 所以曲線在內(nèi)為凸的; 當(dāng)時(shí), 所以曲線在內(nèi)為凹的.例3. 求曲線的拐點(diǎn).解:, ，令, 得.因?yàn)楫?dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí), 所以點(diǎn)(,)是曲線的拐點(diǎn).例4. 求曲線的拐點(diǎn)及凹、凸的區(qū)間.解:(1)函數(shù)的定義域?yàn)?(2),;(3)解方程, 得,;(4)列表判斷: (-¥, 0) 0 (0, 2/3) 2/3 (2/3, +¥) f ¢¢(x) + 0 - 0 + È 1 Ç 11/27 È 在區(qū)間和上曲線是凹的, 在區(qū)間上曲線是凸的. 點(diǎn)

22、和是曲線的拐點(diǎn).例5 問(wèn)曲線是否有拐點(diǎn)？ 解 , .當(dāng)時(shí), 在區(qū)間內(nèi)曲線是凹的, 因此曲線無(wú)拐點(diǎn).例6.求曲線的拐點(diǎn). 解 (1)函數(shù)的定義域?yàn)? (2) ,; (3)函數(shù)無(wú)二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)為 ; (4)判斷: 當(dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí),. 因此, 點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn).三、小結(jié)曲線的彎曲方向曲線的凹凸性;凹凸性的判定.改變彎曲方向的點(diǎn)拐點(diǎn);拐點(diǎn)的求法1, 2.四、作業(yè) 作業(yè)卡：P31P33第五節(jié) 函數(shù)極值與最大值最小值教學(xué)目的：理解函數(shù)極值的概念，掌握函數(shù)極值和最大值、最小值的求法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)的極值概念、函數(shù)極值的判斷方法和求法教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)極值的概念教學(xué)內(nèi)容：一、二、三、

23、四、五、六、七、八、九、十、十一、十二、十三、十四、一、函數(shù)的極值及其求法定義設(shè)函數(shù)在的某一鄰域內(nèi)有定義, 如果對(duì)于去心鄰域內(nèi)的任一，有（或）,則稱是函數(shù)的一個(gè)極大值（或極小值）. 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).說(shuō)明：函數(shù)的極大值和極小值概念是局部性的.如果是函數(shù)的一個(gè)極大值,那只是就附近的一個(gè)局部范圍來(lái)說(shuō),是的一個(gè)最大值;如果就的整個(gè)定義域來(lái)說(shuō),不一定是最大值.對(duì)于極小值情況類(lèi)似.極值與水平切線的關(guān)系:在函數(shù)取得極值處,曲線上的切線是水平的.但曲線上有水平切線的地方,函數(shù)不一定取得極值.由費(fèi)馬引理可得定理1 (必要條件)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),且在處取得極值,

24、那么函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為零,即.定理1可敘述為：可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是函數(shù)的駐點(diǎn).但是反過(guò)來(lái),函數(shù)的駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn). 考察函數(shù)在處的情況.顯然是函數(shù)的駐點(diǎn)，但卻不是函數(shù)的極值點(diǎn).定理2 (第一種充分條件)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù),在的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo). (1) 若時(shí)，,而時(shí)，,則函數(shù)在處取得極大值; (2) 若時(shí)，,而時(shí)，, 則函數(shù)在處取得極小值;(3)如果時(shí)，不改變符號(hào),則函數(shù)在處沒(méi)有極值.定理¢ (第一種充分條件)設(shè)函數(shù)在含的區(qū)間內(nèi)連續(xù),在及內(nèi)可導(dǎo). (1)如果在內(nèi),在內(nèi),那么函數(shù)在處取得極大值; (2)如果在內(nèi),在內(nèi),那么函數(shù)在處取得極小值; (3)如果在及內(nèi)的符號(hào)相同,那么函數(shù)在處

25、沒(méi)有極值. 定理2也可簡(jiǎn)單地?cái)⑹鰹?當(dāng)在的鄰近漸增地經(jīng)過(guò)時(shí),如果的符號(hào)由負(fù)變正,那么在處取得極大值;如果的符號(hào)由正變負(fù),那么在處取得極小值;如果的符號(hào)并不改變,那么在處沒(méi)有極值.確定極值點(diǎn)和極值的步驟: (1)求出導(dǎo)數(shù); (2)求出的全部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn); (3)列表判斷(考察的符號(hào)在每個(gè)駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的左右鄰近的情況,以便確定該點(diǎn)是否是極值點(diǎn),如果是極值點(diǎn),還要按定理2確定對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是極大值還是極小值); (4)確定出函數(shù)的所有極值點(diǎn)和極值.例1求出函數(shù)的極值解令得駐點(diǎn)列表討論極大值極小值所以極大值極小值函數(shù)的圖形如下例2 求函數(shù)的極值.解 顯然函數(shù)在內(nèi)連續(xù), 除外處處可導(dǎo), 且令, 得駐點(diǎn)

26、，為的不可導(dǎo)點(diǎn);(3)列表判斷 -11+不可導(dǎo)-0+0所以極大值為, 極小值為.如果存在二階導(dǎo)數(shù)且在駐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)不為零則有定理3 (第二種充分條件)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處具有二階導(dǎo)數(shù)且,那么 (1)當(dāng)時(shí),函數(shù)在處取得極大值; (1)當(dāng)時(shí),函數(shù)在處取得極小值;證明對(duì)情形(1),由于, 由二階導(dǎo)數(shù)的定義有.根據(jù)函數(shù)極限的局部保號(hào)性,當(dāng)在的足夠小的去心鄰域內(nèi)時(shí),.但,所以上式即為.于是對(duì)于去心鄰域內(nèi)的來(lái)說(shuō),與符號(hào)相反.因此,當(dāng)即時(shí),;當(dāng)即時(shí),.根據(jù)定理2, 在處取得極大值. 類(lèi)似地可以證明情形(2).說(shuō)明：如果函數(shù)在駐點(diǎn)處的二導(dǎo)數(shù),那么該點(diǎn)一定是極值點(diǎn),并可以按的符來(lái)判定是極大值還是極小值.但如果,定理3

27、就不能應(yīng)用.例如討論函數(shù),在點(diǎn)是否有極值？因?yàn)?，所以，但當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí), 所以為極小值.而,，所以，但不是極值例3求出函數(shù)的極值解令得駐點(diǎn)，由于由于所以極大值而所以極小值函數(shù)的圖形如下注意當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)處不一定取得極值，此時(shí)仍用定理2判斷。函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).例4求出函數(shù)的極值解 由于 ，所以時(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在但當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以為的極大值函數(shù)的圖形如下例5求函數(shù)的極值.解,令f¢(x)=0,求得駐點(diǎn) 又,所以因此在處取得極小值,極小值為.因?yàn)?所以用定理3無(wú)法判別.而在處的左右鄰域內(nèi),所以在處沒(méi)有極值;同理,在處也沒(méi)有極值.二、最大值最小值問(wèn)題1極值與最值的關(guān)系:設(shè)函數(shù)在

28、閉區(qū)間上連續(xù),則函數(shù)的最大值和最小值一定存在.函數(shù)的最大值和最小值有可能在區(qū)間的端點(diǎn)取得,如果最大值不在區(qū)間的端點(diǎn)取得,則必在開(kāi)區(qū)間內(nèi)取得,在這種情況下,最大值一定是函數(shù)的極大值.因此,函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值一定是函數(shù)的所有極大值和函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值中最大者.同理,函數(shù)在閉區(qū)間a,b上的最小值一定是函數(shù)的所有極小值和函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值中最小者.2最大值和最小值的求法:設(shè)在內(nèi)的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)(它們是可能的極值點(diǎn))為,則比較的大小,其中最大的便是函數(shù)在上的最大值,最小的便是函數(shù)在上的最小值.求最大值和最小值的步驟(1).求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);(2).求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比較大小

29、,那個(gè)大那個(gè)就是最大值,那個(gè)小那個(gè)就是最小值;注意:如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值,則這個(gè)極值就是最值.(最大值或最小值)例6求函數(shù)在上的最大值和最小值解 由于因此函數(shù)在上的最大值為最小值為例7 求函數(shù)在上的最大值與最小值.解 由于, 所以求得在(-3,4)內(nèi)的駐點(diǎn)為，不可導(dǎo)點(diǎn)為而，,經(jīng)比較在處取得最大值20, 在處取得最小值0.3. 最大值、最小值的應(yīng)用實(shí)際問(wèn)題求最值步驟:(1)建立目標(biāo)函數(shù);(2)求最值.例8工廠鐵路線上AB段的距離為100km.工廠C距A處為20km, AC垂直于AB.為了運(yùn)輸需要,要在AB線上選定一點(diǎn)D向工廠修筑一條公路.已知鐵路每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)與公路上每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)之比3:

30、5.為了使貨物從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省,問(wèn)D點(diǎn)應(yīng)選在何處？解設(shè),則,.再設(shè)從B點(diǎn)到C點(diǎn)需要的總運(yùn)費(fèi)為y,那么(是某個(gè)正數(shù))即.于是問(wèn)題歸結(jié)為:在內(nèi)取何值時(shí)目標(biāo)函數(shù)的值最小.先求對(duì)的導(dǎo)數(shù):.解方程得.由于,其中以為最小,因此當(dāng)時(shí)總運(yùn)費(fèi)最省.注意:在一個(gè)區(qū)間(有限或無(wú)限,開(kāi)或閉)內(nèi)可導(dǎo)且只有一個(gè)駐點(diǎn),且該駐點(diǎn)是函數(shù)的極值點(diǎn),那么當(dāng)是極大值時(shí),就是該區(qū)間上的最大值;當(dāng)是極小值時(shí),就是在該區(qū)間上的最小值. f(x 0) Oa x 0 b x y=f(x ) y f(x 0) Oa x 0 b x y=f(x ) y說(shuō)明：實(shí)際問(wèn)題中往往根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)可以斷定函數(shù)確有最大值或最小值,和一定在定義區(qū)間

31、內(nèi)部取得.這時(shí)如果在定義區(qū)間內(nèi)部只有一個(gè)駐點(diǎn),那么不必討論是否是極值就可斷定是最大值或最小值.d hb例9把一根直徑為d的圓木鋸成截面為矩形的梁.問(wèn)矩形截面的高和寬應(yīng)如何選擇才能使梁的抗彎截面模量W ()最大?解與有下面的關(guān)系:因而于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:當(dāng)?shù)扔诙嗌贂r(shí)目標(biāo)函數(shù)W取最大值？為此,求W對(duì)b的導(dǎo)數(shù) .解方程得駐點(diǎn). 由于梁的最大抗彎截面模量一定存在,且在內(nèi)部取得;又函數(shù)在內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),所以當(dāng)時(shí),W的值最大.此時(shí),即.例10某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)租金定為每月180元時(shí)，公寓會(huì)全部租出去當(dāng)租金每月增加10元時(shí)，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費(fèi)20元的整修維護(hù)費(fèi)試問(wèn)房租

32、定為多少可獲得最大收入？解 設(shè)房租為每月元，租出去的房子有套 每月總收入為，（唯一駐點(diǎn)）故每月每套租金為350元時(shí)收入最高.最大收入為例11 由直線及拋物線圍成一個(gè)曲邊三角形,在曲邊上求一點(diǎn),使曲線在該點(diǎn)處的切線與直線所圍成的三角形面積最大解 設(shè)所求切點(diǎn)為切線為PT由于 所以令 解得 (舍去)又因?yàn)?所以為極大值故為所有三角形中面積的最大者三、小結(jié)極值是函數(shù)的局部性概念，因此函數(shù)的極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為臨界點(diǎn). 函數(shù)的極值必在臨界點(diǎn)處取得.極值的判別法 要注意使用條件注意最值與極值的區(qū)別.四、作業(yè) 作業(yè)卡：P31P38第六節(jié) 函數(shù)圖形的描繪教學(xué)目的：培

33、養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用微分學(xué)綜合知識(shí)的能力，描繪函數(shù)的圖形。教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)習(xí)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、極值的求法、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性、函數(shù)圖形拐點(diǎn)的求法及水平、鉛直漸近線和斜漸近線的求法。會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線，會(huì)描繪函數(shù)的圖形。教學(xué)內(nèi)容：一、漸近線當(dāng)曲線上的一動(dòng)點(diǎn)P沿曲線移向無(wú)窮點(diǎn)時(shí)，如果點(diǎn)P到某定直線L的距離趨向于零，那么直線L就稱為曲線的一條漸近線。1 鉛直漸近線（垂直于軸的漸近線）如果或，那么就是曲線的一條鉛直漸近線。例如曲線有兩條鉛直漸近線2 水平漸近線（平行于軸的漸近線）如果或（為常數(shù)），那么就是曲線的一條水平漸近線。例如曲線有兩條水平漸近線 3 斜漸近線如果或（為常

34、數(shù)）那么就是曲線的一條斜漸近線。注意：如果(1)不存在；(2)存在，而不存在, 那么曲線無(wú)斜漸近線.斜漸近線的求法：求出，則就是曲線的斜漸近線例1 求曲線的漸近線解 , 因?yàn)? 所以是鉛直漸近線又因?yàn)? 所以為斜漸近線二、描繪函數(shù)圖形的一般步驟:(1)確定函數(shù)的定義域, 并求函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù);(2)求出一階、二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn), 求出一階、二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn);(3)列表分析, 確定曲線的單調(diào)性和凹凸性;(4)確定曲線的漸近性;(5)確定并描出曲線上極值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)、拐點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、其它特殊點(diǎn);(6)聯(lián)結(jié)這些點(diǎn)畫(huà)出函數(shù)的圖形.例2. 做出函數(shù)的圖形.解: 函數(shù)的定義域?yàn)榉瞧娣桥己瘮?shù),且無(wú)對(duì)稱

35、性., , 令, 得駐點(diǎn) 再令得特殊點(diǎn), 又得水平漸近線,而,鉛直漸近線列表0+不存在-0+Ç拐點(diǎn)È極值點(diǎn)È間斷點(diǎn)È 補(bǔ)充點(diǎn)：，例3. 畫(huà)出函數(shù)的圖形. 解:(1)函數(shù)的定義域?yàn)?-¥,+¥), (2) (3x+1)(x-1). 令得，再令得. (3)列表分析:(-¥,-1/3)-1/3(-1/3,1/3)1/3(1/3,1)1(1,+¥)+0-0+-0+Ç極大Ç拐點(diǎn)È極小È因?yàn)楫?dāng)x®+¥時(shí),y®+¥當(dāng)x®-¥時(shí),y

36、®-¥. 故無(wú)水平漸近線 計(jì)算特殊點(diǎn):, , , ; ,. 描點(diǎn)聯(lián)線畫(huà)出圖形:例4.作函數(shù)的圖形.解: 函數(shù)為偶函數(shù), 定義域?yàn)?-¥, +¥), 圖形關(guān)于y軸對(duì)稱.(2),. 令, 得駐點(diǎn); 再令, 得和. 列表:-101000È拐點(diǎn)Ç極大值Ç拐點(diǎn)È 曲線有水平漸近線y=0.先作出區(qū)間內(nèi)的圖形, 然后利用對(duì)稱性作出區(qū)間內(nèi)的圖形.例5. 作函數(shù)的圖形.解: 函數(shù)的定義域?yàn)?,. 令, 得駐點(diǎn); 再令, 得 列表:36-+0-0+ÇÇ極大4Ç拐點(diǎn)È是曲線的鉛直漸近線,是曲線的水平漸近線.補(bǔ)充點(diǎn):,，. 圖四、作業(yè) 作業(yè)卡：P39P43第七節(jié) 曲率教學(xué)目的：了解曲率和曲率半徑的概念，會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑。教學(xué)重點(diǎn)：曲率和曲率半徑的概念。教