第六章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、第六章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用   教學(xué)目的： 1.掌握微分學(xué)中值定理，領(lǐng)會其實(shí)質(zhì)，為微分學(xué)的應(yīng)用打好堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)；2.熟練掌握洛比塔法則，會正確應(yīng)用它求某些不定式的極限；3.掌握泰勒公式，并能應(yīng)用它解決一些有關(guān)的問題；4.使學(xué)生掌握運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在區(qū)間上整體性態(tài)的理論依據(jù)和方法，能根據(jù)函數(shù)的整體性態(tài)較為準(zhǔn)確地描繪函數(shù)的圖象；5.會求函數(shù)的最大值、最小值，了解牛頓切線法。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：本章的重點(diǎn)是中值定理和泰勒公式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、極值與凸性；難點(diǎn)是用輔助函數(shù)解決問題的方法。教學(xué)時數(shù)：  § 6.1 中值定理，函數(shù)的線性逼近 重點(diǎn)及難點(diǎn)：中值定理；羅比達(dá)法則?；?/p>

2、本內(nèi)容：1、Rolle中值定理；2、Lagrange中值定理；3、Cauchy中值定理；4、應(yīng)用?；疽螅?、深刻理解中值定理，特別是Lagrange中值定理的分析意義及幾何意義；2、掌握Rolle中值定理、Lagrange中值定理的證明；3、了解導(dǎo)函數(shù)特征：連續(xù)性與介值性；4、初步具有應(yīng)用中值定理論證問題的能力。基本方法：1、用Lagrange中值定理證明等式、不等式的方法；2、判定零點(diǎn)的方法。課時分配：一、引入新課： 通過復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)中的“導(dǎo)數(shù)”與物理上的“速度”、幾何上的“切線”之聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生從直覺上感到導(dǎo)數(shù)是一個非常重要而有用的數(shù)學(xué)概念。在學(xué)生掌握了“如何求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)”的前提下，自然提

3、出另外一個基本問題：導(dǎo)數(shù)有什么用？俗話說得好：工欲善其事，必先利其器。因此，我們首先要磨鋒利導(dǎo)數(shù)的刀刃。我們要問：若函數(shù)可導(dǎo)，則它應(yīng)該有什么特性？由此引入新課第六章 微分中值定理及其應(yīng)用 §1 拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性（板書課題）二、講授新課： （一）、羅爾定理定義 設(shè)在區(qū)間有定義。若，且存在的某鄰域，有，則稱為的一個極大值點(diǎn)（極小值點(diǎn)）。稱為的極大值（極小值）。極大點(diǎn)和極小點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。費(fèi)爾馬引理 設(shè)在區(qū)間有定義，若函數(shù)在可導(dǎo)，且為的極值點(diǎn)，則。定理1 （羅爾中值定理） 若函數(shù)滿足下列條件：1） 在閉區(qū)間連續(xù)；2） 在可導(dǎo)；3）。則，有。注意：這三個條件缺一不可，但是又不是充分

4、條件。（二）、拉格朗日中值定理定理2 （拉格朗日中值定理）若函數(shù)滿足下列條件：1） 在閉區(qū)間連續(xù)；2） 在可導(dǎo)。則，有。（三）、柯西中值定理定理3 設(shè)函數(shù) 和 在閉區(qū)間 上連續(xù), 在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo), 和 在內(nèi)不同時為零, 又 則在 內(nèi)至少存在一點(diǎn) 使 .  證 分析引出輔助函數(shù) . 驗(yàn)證 在 上滿足Rolle定理的條件,     必有 , 因?yàn)榉駝t就有 .這與條件“ 和 在 內(nèi)不同時為零”矛盾.   三、中值定理應(yīng)用例題 （一）、中值定理證明例1 若在區(qū)間可導(dǎo)，且，則，有。推論1 若，有，則。例2 證明。例3 證明：當(dāng)時，有。例4 若在連續(xù)，除外可導(dǎo)，且

5、，則在可導(dǎo)，且。例5若在可導(dǎo)，對與之間的任意數(shù)，則，有。 推論2函數(shù)在區(qū)間I上可導(dǎo)且為I上的常值函數(shù). (證)推論3 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某右鄰域上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo). 若存在,則右導(dǎo)數(shù)也存在,且有(證) 但是, 不存在時, 卻未必有 不存在. 例如對函數(shù) 雖然不存在,但卻在點(diǎn)可導(dǎo)(可用定義求得). 推論4 ( 導(dǎo)函數(shù)的介值性 ) 若函數(shù) 在閉區(qū)間 上可導(dǎo), 且 ( 證 )例6 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù), 在 內(nèi)可導(dǎo), 則 , 使得 .  證 在Cauchy中值定理中取 .  例7  設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且有 .試證明: .  （二）.證明恒等式: 原理.&

6、#160; 例8 證明: 對 , 有 .例9  設(shè)對 , 有 , 其中 是正常數(shù). 則函數(shù) 是常值函數(shù). (證明 ).  （三）. 證明不等式: 例10  證明不等式: 時, .例11  證明不等式: 對 ，有 . （四）. 證明方程根的存在性:   證明方程 在 內(nèi)有實(shí)根.  例12 證明方程 在 內(nèi)有實(shí)根.  四、羅比達(dá)法則（一）、型極限常見的待定型極限有，等，其中，是基本的兩種形式，因?yàn)槠渌男问蕉伎梢曰蛇@兩種形式，例如：； ；。定理1（洛畢達(dá)法則1）若，滿足：1）在的某去心鄰域可導(dǎo)，且；2）；3

7、）。則。定理2（洛畢達(dá)法則2）若，滿足：1），在，可導(dǎo)，且；2）；3）。則。例13 求。例14 求。例15 求。例16 求。（二）、型極限定理3（洛畢達(dá)法則3）若，滿足：1）在的某去心鄰域可導(dǎo)，且；2）；3）。則。例17 求。例18 求。例19 求。（三）、其它待定型極限1、型：。例20 求例21 求2、型：。例22求。例23求。3、型：例24 求。4、型：例25  求5、型：例26 求。注意：羅畢達(dá)法則的條件，對于有些極限來說，求導(dǎo)后極限不存在，而原來極限存在，即就是說，羅畢達(dá)法則中條件是充分而非必要的。小結(jié)：略練習(xí)P243 3 4 6 7 10作業(yè)P243 8 10 §

8、6.2 函數(shù)的增減性教學(xué)目的：掌握函數(shù)的單調(diào)性，并能應(yīng)用它解決一些有關(guān)的問題。教學(xué)要求：1. 深刻理解函數(shù)的單調(diào)性，并能加以應(yīng)用。2.會用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式。教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性教學(xué)難點(diǎn)：韓式單調(diào)性的應(yīng)用。教學(xué)方法：系統(tǒng)講授法。一、函數(shù)的單調(diào)性定理1 若在可導(dǎo)，則在單調(diào)增加（單調(diào)減少）。定理2若在可導(dǎo)，有，則在嚴(yán)格單調(diào)增加（嚴(yán)格單調(diào)減少）例1 討論的嚴(yán)格單調(diào)區(qū)間。例2 討論的嚴(yán)格單調(diào)區(qū)間。例3 討論的嚴(yán)格單調(diào)區(qū)間。例4 證明：，有。二、利用單調(diào)性證明不等式:  （一）原理: 若 單調(diào)遞增, 則對 , 有不等式 .  例5 證明: 對任意實(shí)數(shù) 和 , 成立不等式 證 取

9、在 內(nèi) . 于是, 由 , 就有 , 即 .   （二）、不等式原理: 不等式原理: 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù),在區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo),且 ; 又 則 時, (不等式原理的其他形式.) 例6 證明: 時, . 例7 證明: 時, .（三）. 利用單調(diào)性證明不等式: 例8 證明: 時, .練習(xí)P248 1 2 作業(yè)P248 3 4 §6.3 最優(yōu)化方法教學(xué)重點(diǎn)：用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài)的一些方法。教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)圖象的描繪?；緝?nèi)容： 1、函數(shù)的極值與最值；2、函數(shù)的凸凹性；3、曲線的漸進(jìn)線；4、描繪函數(shù)圖象?；疽螅?、掌握用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性與極值的理論、方法和步驟；2、掌握函

10、數(shù)在區(qū)間上凸凹性的一些等價定義，以及應(yīng)用函數(shù)凸凹性論證問題的方法；3、會求函數(shù)的垂直漸進(jìn)線與斜漸進(jìn)線；4、知道描繪函數(shù)圖象的方法和步驟，并會描繪一些簡單函數(shù)圖象。基本方法：1、用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值的方法；2、用導(dǎo)數(shù)證明一些不等式、零點(diǎn)的方法；3、描繪函數(shù)圖象的方法。一、函數(shù)的極值定義 可導(dǎo)函數(shù)的方程的根（）稱為函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)。定理1 若在可導(dǎo)，且，有，則在取極?。ù螅┲?。定理2 (充分條件) 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 連續(xù), 在鄰域 和 內(nèi)可導(dǎo). 則 1. 在 內(nèi) 在 內(nèi) 時, 為 的一個極小值點(diǎn); 2. 在 內(nèi) 在 內(nèi) 時, 為 的一個極大值點(diǎn); 3. 若 在上述兩個區(qū)間內(nèi)同號, 則 不是極值點(diǎn).

11、定理3 (充分條件“雨水法則”)設(shè)點(diǎn) 為函數(shù) 的駐點(diǎn)且 存在.則 1.當(dāng) 時, 為 的一個極大值點(diǎn); 2.當(dāng) 時, 為 的一個極小值點(diǎn). 證法一 當(dāng) 時, 在點(diǎn) 的某空心鄰域內(nèi) 與 異號, 證法二 用Taylor公式展開到二階, 帶Peano型余項(xiàng).   定理4 (充分條件 ) 設(shè) ,而 .則 1. 為奇數(shù)時, 不是極值點(diǎn); 2. 為偶數(shù)時,是極值點(diǎn).且對應(yīng)極小;對應(yīng)極大. 例1 求函數(shù) 的極值. 例2 求函數(shù) 的極值. 例3 討論函數(shù)的極值。例4設(shè)有一長為，寬為的矩形鐵板，在每個角上剪去同樣大小的正方形。問剪去正方形的邊長多大，才能使剩下的鐵板折起來做成開口盒子的容積最大。例5 電

12、燈可在桌面點(diǎn)的垂直線上移動，在桌面上有一點(diǎn)距點(diǎn)距離為。問電燈與點(diǎn)的距離多遠(yuǎn)，可使點(diǎn)處有最大的照度？例6 從半徑為的圓形鐵片中剪去一個扇形，將剩下的部分圍成一個圓錐形漏斗，問剪去的扇形的圓心角多大時，才能使圓錐形漏斗的容積最大？例7 證明：，有不等式，。二、函數(shù)的凸性與拐點(diǎn)定義  設(shè)函數(shù)在開區(qū)間有定義，若，有（）則稱在開區(qū)間的凸函數(shù)（凹函數(shù)），或函數(shù)在開區(qū)間是凸（凹）。若（）則稱在開區(qū)間的嚴(yán)格凸函數(shù)（嚴(yán)格凹函數(shù)），或函數(shù)在開區(qū)間是嚴(yán)格凸（嚴(yán)格凹）。定理5 設(shè)函數(shù)在開區(qū)間可導(dǎo)，函數(shù)在開區(qū)間是凸（凹），且，有（）。推論 若函數(shù)在開區(qū)間二階可導(dǎo)，則1）若，有，則函數(shù)在開區(qū)間是嚴(yán)格凸；2）若，

13、有，則函數(shù)在開區(qū)間是嚴(yán)格凹。定理6  設(shè)函數(shù)在開區(qū)間可導(dǎo)，函數(shù)在開區(qū)間是凸（凹）曲線位于它的任一點(diǎn)切線的上方（下方）。定理7 若函數(shù)在開區(qū)間是凸，則其中，且。例8 證明：若，則。定義 若在點(diǎn)可導(dǎo)，且在的一側(cè)是凸，另一側(cè)是凹，則稱為的拐點(diǎn)，稱為曲線的拐點(diǎn)。例9  討論函數(shù)的凸性及其拐點(diǎn)。例10  討論函數(shù)的凸性及其拐點(diǎn)。例11  討論函數(shù)的凸性及其拐點(diǎn)。三、曲線的漸近線定義 當(dāng)曲線上動點(diǎn)沿曲線無限遠(yuǎn)移時，若動點(diǎn)到某直線的距離無限趨近于0，則稱直線是曲線的漸近線。1、垂直漸近線：2、斜漸近線：例12 求的漸近線。例13 求的漸近線。例14 求的漸近線。四、描繪函數(shù)圖象描述函數(shù)圖象的步驟：1、確定函數(shù)的定義域；2、