積分運算運用

1、目錄 摘要1Abstract11 定積分的一般求法21.1第一換元積分法（也叫湊微分法）21.1.1 簡單的積分分式的湊微分法21.1.2 復雜積分式的湊微分法31.2 第二換元積分法41.2.1 利用三角函數(shù)代換，變根式積分為有理式積分41.2.3 指數(shù)代換51.3分部積分法61.4 有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分71.4.1有理函數(shù)的不定積分71.4.2 三角函數(shù)有理式的不定積分101.4.3 某些無理根式的不定積分112.1 牛頓萊布尼茨公式142.2 特殊形式的定積分的計算142.2.1 分段函數(shù)的積分142.2.2 被積函數(shù)帶有絕對值符號的積分153反常積分的求法163.1 無窮

2、限反常積分163.2 瑕積分16參考文獻17致 謝19求積分方法的總結(jié)摘要：不同問題不同方法，在這篇論文中主要針對一元積分問題。本篇論文主要總結(jié)定積分的求法、不定積分的求法和反常積分的求法，在總結(jié)這些不同類型的積分求法過程中我主要是先講基本方法再具體舉例說明。有時同一問題有多種解法的我也列舉出來了。通過這次總結(jié)我們以后都能很好的解決一般的積分問題。關鍵詞：積分；積分方法；不同類型The Summary of the Method of IntegrationAbstract: Different problems , different methods .In thesis main poin

3、ts to the integral of one unknown problem . This article mainly summary the method of how to solve definite integral、indefinite integral and improper integral, during the review process, the main I write is basic approach and then take some examples. Sometimes one problem may have more than one solu

4、tion. Toward this process we can solve integral problem easily. Keywords: integral；method of integral；different kinds1 不定積分的一般求法1.1第一換元積分法（湊微分法）設，則 （令） （） .用湊微分法求解不定積分時，首先要認真觀察被積函數(shù)，尋找導數(shù)項內(nèi)容，同時為下一步積分做準備。當實在看不清楚被積函數(shù)特點時，不妨從被積函數(shù)中拿出部分算式求導、嘗試，或許從中可以得到某種啟迪。 簡單的積分分式的湊微分法例1 求下列不定積分： （1） （2） （3） （4） （5） （6）解 （

5、1）. （2）. （3）. （4）. （5）. （6）. 復雜積分式的湊微分法將被積分式寫成，或，其中較復雜.對或構成的主要部分求導，若其導數(shù)為的常數(shù)倍，則或.其中為常數(shù)，為的主要部分.例2 計算下列積分： （1） （2） （3） （4）解 （1），原式 .（2）原被積式的分子分母同除以，得.（3）， 只要分子分母同乘以，便有 原式 .（4）原被積分式的分子分母同除以，則 原式 .1.2 第二換元積分法 利用三角函數(shù)代換，變根式積分為有理式積分例1 求下列不定積分： （1） （2）解 （1） 被積函數(shù)中含有， 應作變換，于是 原式 .（2）令 原式 . 倒代換（即令） 設，分別為被積函數(shù)分子、

6、分母關于的最高次數(shù)，當時，用倒代換可望成功.例 求.解 令，則.于是 原式 . 指數(shù)代換適用于元被積函數(shù)由所構成的代數(shù)式.令，.例 求.解 令， 原式 .1.3分部積分法由乘積求導法，可以導出分部積分法.定理 （分部積分法）若與可導，不定積分存在，則也存在，并且有. （3） 證 由或，對上式兩邊求不定積分，就得到（3）式.公式（3）稱為分部積公式，常簡寫作.例1 求.解 令，則有，.由公式（3）求得.例2 求.解 .例3 求和.解 ，.由此得到.解此方程組，求得，.例4 求.解 做變量替換，則有.故有.例 求.解 .1.4 有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分有理函數(shù)的不定積分定義.1 有理函數(shù)

7、是指有兩個多項式函數(shù)的商所表示的函數(shù),期一般形式為,其中為非負整數(shù),與都是常數(shù),且，.若，則稱它為真分式;若,則稱它為假分式. 根據(jù)代數(shù)知識,有理真分式必定可以表示成若干個部分分式之和（稱為部分分式分解）.因而問題歸結(jié)為求那些部分分式的不定積分.為此,先把怎樣分解部分分式的步驟簡述如下：第一步 對分母在實系數(shù)內(nèi)作標準分解：,其中，（1,2，；=1,2,，）均為自然數(shù),而且;, .第二步 根據(jù)分母的各個因式分別寫出與之相應的部分分式：對于每個形如的因式,它所對應的部分分式是；對每一個形如的因式,它所對應的部分分式是 .把所有的部分分式加起來,使之等于.（至此，部分分式中的常系數(shù)，尚未待定的。）第

8、三步 確定待定系數(shù)：一般方法是將所有部分分式通分相加，所得分式的分母即為原分母，而其分子亦應與原分子恒等.于是,按同冪項系數(shù)必定相等,得到一組關于待定系數(shù)的線性方程,這組方程的解就是需要確定的系數(shù).例1 對作部分分式分解.解 令,其中,.部分分式分解的待定形式為 （）用乘上式兩邊,得一恒等式然后使等式兩邊同冪項系數(shù)相等，得到線性方程組：的系數(shù)的系數(shù)的系數(shù)的系數(shù)常數(shù)項求出它的解：,并代入（）式，這便完成了對的部分分式分解： .例2 求.解 在本題中由于被積函數(shù)的分母只有單一因式,因此,部分分式分解能被化簡為.現(xiàn)分別計算部分分式的不定積分如下：. （其中）.于是得到. 三角函數(shù)有理式的不定積分是三角函數(shù)有理式的不定積分.一般通過變換,可把它化為