離散型隨機(jī)變量的均值與方差

1、第9節(jié)離散型隨機(jī)變量的均值與方差最新考綱1.理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念；2.能計算簡單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些簡單實際問題知 識 梳 理1.離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值稱E(X)x1p1x2p2xipixnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.(2)方差稱D(X)_(xiE(X)2pi為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.2.均值與方差的性質(zhì)(1)E(aXb)aE(X)b.(2)D(aX

2、b)a2D(X)(a，b為常數(shù)).3.兩點分布與二項分布的均值、方差(1)若X服從兩點分布，則E(X)p，D(X)p(1p).(2)若XB(n，p)，則E(X)np，D(X)np(1p).微點提醒1.若x1，x2相互獨(dú)立，則E(x1·x2)E(x1)·E(x2).2.均值與方差的關(guān)系：D(X)E(X2)E2(X).3.超幾何分布的均值：若X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布，則E(X).基 礎(chǔ) 自 測1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“”或“×”)(1)期望值就是算術(shù)平均數(shù)，與概率無關(guān).()(2)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機(jī)變量.()(3)隨機(jī)變量的方差和

3、標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量平均程度越小.()(4)均值與方差都是從整體上刻畫離散型隨機(jī)變量的情況，因此它們是一回事.()解析均值即期望值刻畫了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，而方差刻畫了離散型隨機(jī)變量的取值偏離期望值的平均程度，因此它們不是一回事，故(1)(4)均不正確.答案(1)×(2)(3)(4)×2.(選修23P68A1改編)已知X的分布列為X101P設(shè)Y2X3，則E(Y)的值為()A. B.4 C.1 D.1解析E(X)1×0×1×，E(Y)E(2X3)2E(X)33.答案A3.(選修23P

4、68練習(xí)2改編)若隨機(jī)變量X滿足P(Xc)1，其中c為常數(shù)，則D(X)的值為_.解析P(Xc)1，E(X)c×1c，D(X)(cc)2×10.答案04.(2018·浙江卷)設(shè)0<p<1，隨機(jī)變量的分布列是012P則當(dāng)p在(0，1)內(nèi)增大時()A.D()減小 B.D()增大C.D()先減小后增大 D.D()先增大后減小解析由題可得E()p，所以D()p2p，所以當(dāng)p在(0，1)內(nèi)增大時，D()先增大后減小.答案D5.(2019·合肥檢測)甲、乙兩工人在一天生產(chǎn)中出現(xiàn)的廢品數(shù)分別是兩個隨機(jī)變量X，Y，其分布列分別為：X0123P0.40.30.2

5、0.1Y012P0.30.50.2若甲、乙兩人的日產(chǎn)量相等，則甲、乙兩人中技術(shù)較好的是_.解析E(X)0×0.41×0.32×0.23×0.11.E(Y)0×0.31×0.52×0.20.9，所以E(Y)<E(X)，故乙技術(shù)好.答案乙6.(2017·全國卷)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則D(X)_.解析有放回地抽取，是一個二項分布模型，其中p0.02，n100，則D(X)np(1p)100×0.02×0.981.9

6、6.答案1.96考點一離散型隨機(jī)變量的均值與方差【例1】 (2019·青島一模)為迎接2022年北京冬奧會，推廣滑雪運(yùn)動，某滑雪場開展滑雪促銷活動.該滑雪場的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時間不超過1小時免費(fèi)，超過1小時的部分每小時收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時的部分按1小時計算).有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來該滑雪場運(yùn)動，設(shè)甲、乙不超過1小時離開的概率分別為，；1小時以上且不超過2小時離開的概率分別為，；兩人滑雪時間都不會超過3小時.(1)求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率；(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量(單位：元)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望E()，方差D().解(1)兩人所付費(fèi)用相同，相

7、同的費(fèi)用可能為0，40，80元，兩人都付0元的概率為p1×，兩人都付40元的概率為p2×，兩人都付80元的概率為p3××，則兩人所付費(fèi)用相同的概率為pp1p2p3.(2)由題設(shè)甲、乙所付費(fèi)用之和為，可能取值為0，40，80，120，160，則：P(0)×；P(40)××；P(80)×××；P(120)××；P(160)×.的分布列為04080120160PE()0×40×80×120×160×80.D()(080)2

8、×(4080)2×(8080)2×(12080)2×(16080)2×.規(guī)律方法(1)求離散型隨機(jī)變量的均值與方差關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的所有可能值，寫出隨機(jī)變量的分布列，正確運(yùn)用均值、方差公式進(jìn)行計算.(2)注意E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X)的應(yīng)用.【訓(xùn)練1】 從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口，設(shè)各路口信號燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，.(1)記X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率.解(1)隨機(jī)變量X的所有可能

9、取值為0，1，2，3，P(X0)××，P(X1)××××××，P(X2)××××××，P(X3)××.所以，隨機(jī)變量X的分布列為X0123P隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)0×1×2×3×.(2)設(shè)Y表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù)，Z表示第二輛車遇到紅燈的個數(shù)，則所求事件的概率為P(YZ1)P(Y0，Z1)P(Y1，Z0)P(Y0)P(Z1)P(Y1)P(Z0)××.所以，這2輛車共遇

10、到1個紅燈的概率為.考點二二項分布的均值與方差【例2】 (2019·順德一模)某市市民用水?dāng)M實行階梯水價，每人月用水量不超過w立方米的部分按4元/立方米收費(fèi)，超出w立方米的部分按10元/立方米收費(fèi)，從該市隨機(jī)調(diào)查了100位市民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖，并且前四組頻數(shù)成等差數(shù)列.(1)求a，b，c的值及居民月用水量在22.5內(nèi)的頻數(shù)；(2)根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民月用水價格為4元/立方米，應(yīng)將w定為多少？(精確到小數(shù)點后2位)(3)若將頻率視為概率，現(xiàn)從該市隨機(jī)調(diào)查3名居民的月用水量，將月用水量不超過2.5立方米的人數(shù)記為X，求其分布列及均值.解

11、(1)前四組頻數(shù)成等差數(shù)列，所對應(yīng)的也成等差數(shù)列，設(shè)a0.2d，b0.22d，c0.23d，0.50.2(0.2d)×20.22d0.23d0.1×31，解得d0.1，a0.3，b0.4，c0.5.居民月用水量在22.5內(nèi)的頻率為0.5×0.50.25.居民月用水量在22.5內(nèi)的頻數(shù)為0.25×10025.(2)由題圖及(1)可知，居民月用水量小于2.5的頻率為0.7<0.8，為使80%以上居民月用水價格為4元/立方米，應(yīng)規(guī)定w2.52.83.(3)將頻率視為概率，設(shè)A(單位：立方米)代表居民月用水量，可知P(A2.5)0.7，由題意，XB(3，0

12、.7)，P(X0)C×0.330.027，P(X1)C×0.32×0.70.189，P(X2)C×0.3×0.720.441，P(X3)C×0.730.343，X的分布列為X0123P0.0270.1890.4410.343XB(3，0.7)，E(X)np2.1.規(guī)律方法二項分布的均值與方差.(1)如果B(n，p)，則用公式E()np；D()np(1p)求解，可大大減少計算量.(2)有些隨機(jī)變量雖不服從二項分布，但與之具有線性關(guān)系的另一隨機(jī)變量服從二項分布，這時，可以綜合應(yīng)用E(ab)aE()b以及E()np求出E(ab)，同樣還可求

13、出D(ab).【訓(xùn)練2】 (2019·湘潭三模)某飯店從某水產(chǎn)養(yǎng)殖廠購進(jìn)一批生蠔，并隨機(jī)抽取了40只統(tǒng)計質(zhì)量，得到結(jié)果如表所示：質(zhì)量(g)5，15)15，25)25，35)35，45)45，55數(shù)量(只)6101284(1)若購進(jìn)這批生蠔500 kg，且同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表，試估計這批生蠔的數(shù)量(所得結(jié)果保留整數(shù))；(2)以頻率視為概率，若在本次購買的生蠔中隨機(jī)挑選4個，記質(zhì)量在5，25)間的生蠔的個數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.解(1)由表中的數(shù)據(jù)可以估算一只生蠔的質(zhì)量為(6×1010×2012×308×404×50)

14、28.5(g)，所以購進(jìn)500 kg生蠔，其數(shù)量為500 000÷28.517 544(只).(2)由表中數(shù)據(jù)知，任意挑選一只生蠔，質(zhì)量在5，25)間的概率為，由題意知X的可能取值為0，1，2，3，4，P(X0)，P(X1)C，P(X2)C，P(X3)C，P(X4)，X的分布列為X01234PE(X)0××3×3×4.考點三均值與方差在決策問題中的應(yīng)用【例3】 某投資公司在2019年年初準(zhǔn)備將1 000萬元投資到“低碳”項目上，現(xiàn)有兩個項目供選擇：項目一：新能源汽車.據(jù)市場調(diào)研，投資到該項目上，到年底可能獲利30%，也可能虧損15%，且這兩種情

15、況發(fā)生的概率分別為和；項目二：通信設(shè)備.據(jù)市場調(diào)研，投資到該項目上，到年底可能獲利50%，可能損失30%，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為，和.針對以上兩個投資項目，請你為投資公司選擇一個合理的項目，并說明理由.解若按“項目一”投資，設(shè)獲利為X1萬元.則X1的分布列為X1300150PE(X1)300×(150)×200(萬元).若按“項目二”投資，設(shè)獲利X2萬元，則X2的分布列為：X25003000PE(X2)500×(300)×0×200(萬元).D(X1)(300200)2×(150200)2×35 000

16、，D(X2)(500200)2×(300200)2×(0200)2×140 000.所以E(X1)E(X2)，D(X1)<D(X2)，這說明雖然項目一、項目二獲利相等，但項目一更穩(wěn)妥.綜上所述，建議該投資公司選擇項目一投資.規(guī)律方法隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要理論依據(jù).一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定.【訓(xùn)練3】 計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機(jī)的水電站.過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量X(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水

17、之和，單位：億立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立.(1)求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率；(2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺數(shù)受年入流量X限制，并有如下關(guān)系：年入流量X40<X<8080X120X>120發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺數(shù)123若某臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺發(fā)電機(jī)年利潤為5 000萬元；若某臺發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺發(fā)電機(jī)年虧損800萬元.欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)

18、多少臺？解(1)依題意，得p1P(40<X<80)0.2，p2P(80x120)0.7，p3P(X>120)0.1.由二項分布，在未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率為pC(1p3)4C(1p3)3p34××0.947 7.(2)記水電站年總利潤為Y(單位：萬元).安裝1臺發(fā)電機(jī)的情形.由于水庫年入流量總大于40，故一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1，對應(yīng)的年利潤Y5 000，E(Y)5 000×15 000.安裝2臺發(fā)電機(jī)的情形.依題意，當(dāng)40<X<80時，一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時Y5 0008004 200，因此P(Y4 200)P

19、(40<X<80)p10.2；當(dāng)X80時，兩臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時Y5 000×210 000，因此P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.由此得Y的分布列如下：Y4 20010 000P0.20.8所以，E(Y)4 200×0.210 000×0.88 840.安裝3臺發(fā)電機(jī)的情形.依題意，當(dāng)40<X<80時，一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時Y5 0001 6003 400，因此P(Y3 400)P(40<X<80)p10.2；當(dāng)80X120時，兩臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時Y5 000×28009 200，因此P(Y9 200)P(

20、80X120)p20.7；當(dāng)X>120時，三臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時Y5 000×315 000，因此P(Y15 000)P(X>120)p30.1.因此得Y的分布列如下：Y3 4009 20015 000P0.20.70.1所以，E(Y)3 400×0.29 200×0.715 000×0.18 620.綜上，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺.思維升華1.掌握下述均值與方差有關(guān)性質(zhì)，會給解題帶來方便：(1)E(aXb)aE(X)b，E(XY)E(X)E(Y)，D(aXb)a2D(X)；(2)若XB(n，p)，則E(X)np，D(

21、X)np(1p).2.基本方法(1)已知隨機(jī)變量的分布列求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接按定義(公式)求解；(2)已知隨機(jī)變量X的均值、方差，求X的線性函數(shù)YaXb的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用均值、方差的性質(zhì)求解；(3)如能分析所給隨機(jī)變量服從常用的分布(如二項分布)，可直接利用它們的均值、方差公式求解.易錯防范1.在沒有準(zhǔn)確判斷分布列模型之前不能亂套公式.2.對于應(yīng)用問題，必須對實際問題進(jìn)行具體分析，一般要將問題中的隨機(jī)變量設(shè)出來，再進(jìn)行分析，求出隨機(jī)變量的分布列，然后按定義計算出隨機(jī)變量的均值、方差.基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X123P

22、則X的數(shù)學(xué)期望E(X)()A. B.2 C. D.3解析由數(shù)學(xué)期望公式可得E(X)1×2×3×.答案A2.已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布列為X135P0.5m0.2則其方差D(X)()A.1 B.0.6 C.2.44 D.2.4解析由0.5m0.21得m0.3，E(X)1×0.53×0.35×0.22.4，D(X)(12.4)2×0.5(32.4)2×0.3(52.4)2×0.22.44.答案C3.(2019·寧波期末)一個箱子中裝有形狀完全相同的5個白球和n(nN*)個黑球.現(xiàn)從中有放回的摸取

23、4次，每次都是隨機(jī)摸取一球，設(shè)摸得白球個數(shù)為X，若D(X)1，則E(X)()A.1 B.2 C.3 D.4解析由題意，XB(4，p)，D(X)4p(1p)1，p，E(X)4p4×2.答案B4.簽盒中有編號為1，2，3，4，5，6的六支簽，從中任意取3支，設(shè)X為這3支簽的號碼之中最大的一個，則X的數(shù)學(xué)期望為()A.5 B.5.25 C.5.8 D.4.6解析由題意可知，X可以為3，4，5，6，P(X3)，P(X4)，P(X5)，P(X6).由數(shù)學(xué)期望的定義可求得E(X)3×4×5×6×5.25.答案B5.甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定每局勝者得1

24、分，負(fù)者得0分，比賽進(jìn)行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止.設(shè)甲在每局中獲勝的概率為，乙在每局中獲勝的概率為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，則比賽停止時已打局?jǐn)?shù)X的期望E(X)為()A. B. C. D.解析依題意，知X的所有可能值為2，4，6，設(shè)每兩局比賽為一輪，則該輪結(jié)束時比賽停止的概率為.若該輪結(jié)束時比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時，該輪比賽結(jié)果對下輪比賽是否停止沒有影響.從而有P(X2)，P(X4)×，P(X6)，故E(X)2×4×6×.答案B二、填空題6.已知隨機(jī)變量的分布列為123P0.5xy若E()，則D()_.解析由分布列性質(zhì)，得

25、xy0.5.又E()，得2x3y，可得D()×××.答案7.在一次隨機(jī)試驗中，事件A發(fā)生的概率為p，事件A發(fā)生的次數(shù)為，則數(shù)學(xué)期望E()_，方差D()的最大值為_.解析記事件A發(fā)生的次數(shù)可能的值為0，1.01P1pp數(shù)學(xué)期望E()0×(1p)1×pp，方差D()(0p)2×(1p)(1p)2×pp(1p).故數(shù)學(xué)期望E()p，方差D()的最大值為.答案p8.一個均勻小正方體的六個面中，三個面上標(biāo)有數(shù)字0、兩個面上標(biāo)有數(shù)字1、一個面上標(biāo)有數(shù)字2.將這個小正方體拋擲2次，則向上的數(shù)之積X的數(shù)學(xué)期望是_.解析隨機(jī)變量X的取值為0，

26、1，2，4，則P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X4)，因此E(X).答案三、解答題9.(2019·淮北模擬)某班共50名同學(xué)，在一次數(shù)學(xué)考試中全班同學(xué)成績?nèi)吭?0分到140分之間.將成績按如下方式分成五組：第一組：90，100)，第二組：100，110)，第五組：130，140.按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示.將成績大于或等于100分且小于120分記為“良好”，120分以上記為“優(yōu)秀”，不超過100分記為“及格”.(1)求該班學(xué)生在這次數(shù)學(xué)考試中成績“良好”的人數(shù)；(2)若從第一、五組中共隨機(jī)取出兩個成績，記X為取得第一組成績的個數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.解(

27、1)由頻率分布直方圖知，成績在100，120)內(nèi)的人數(shù)為50×0.016×1050×0.038×1027，該班學(xué)生在這次數(shù)學(xué)考試中成績“良好”的人數(shù)為27.(2)由頻率分布直方圖可知第一組有0.006×10×503個成績，第五組有0.008×10×504個成績，即第一、五組中共有7個成績.由題意，X的可能取值為0，1，2，P(X0)，P(X1)，P(X2)，則X的分布列為X012PE(X)0×1×2×.10.(2016·全國卷)某公司計劃購買2臺機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘

28、汰.機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元.在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺機(jī)器的同時購買的易損零件數(shù).(1)求X的分布列；(2)若要求P(Xn)0.5，確定n的最小值；(3)以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在n19與n20之中選其一，應(yīng)選用哪個？解(1)由柱狀圖并以頻率代替

29、概率可得，一臺機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8，9，10，11的概率分別為0.2，0.4，0.2，0.2.可知X的所有可能取值為16、17、18、19、20、21、22，P(X16)0.2×0.20.04；P(X17)2×0.2×0.40.16；P(X18)2×0.2×0.20.4×0.40.24；P(X19)2×0.2×0.22×0.4×0.20.24；P(X20)2×0.2×0.40.2×0.20.2；P(X21)2×0.2×0.20.08

30、；P(X22)0.2×0.20.04；所以X的分布列為X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X18)0.44，P(X19)0.68，故n的最小值為19.(3)記Y表示2臺機(jī)器在購買易損零件上所需的費(fèi)用(單位：元).當(dāng)n19時，E(Y)19×200×0.68(19×200500)×0.2(19×2002×500)×0.08(19×2003×500)×0.044 040.當(dāng)n20時，E(Y)20×200×

31、;0.88(20×200500)×0.08(20×2002×500)×0.044 080.可知當(dāng)n19時所需費(fèi)用的期望值小于n20時所需費(fèi)用的期望值，故應(yīng)選n19.能力提升題組(建議用時：20分鐘)11.從裝有除顏色外完全相同的3個白球和m個黑球的布袋中隨機(jī)摸取一球，有放回地摸取5次，設(shè)摸得白球個數(shù)為X，已知E(X)3，則D(X)()A. B. C. D.解析由題意，XB，又E(X)3，m2，則XB，故D(X)5××.答案B12.某籃球隊對隊員進(jìn)行考核，規(guī)則是：每人進(jìn)3個輪次的投籃；每個輪次每人投籃2次，若至少投中1次，則本輪通過，否則不通過.已知隊員甲投籃1次投中的概率為，如果甲各次投籃投中與否互不影響，那么甲3個輪次通過的次數(shù)X的期望是()A.3 B. C.2 D.解析在一輪投籃中，甲通過的概率為p，通不過的概率為.由題意可知，甲3個輪次通過的次數(shù)X的取值分別為0，1，2，3，則P(X0)；P(X1)C××；P(X2)C