用費馬原理導(dǎo)出光的反射定律和折射定律蘭林

1、用費馬原理導(dǎo)出光的反射定律和折射定律(內(nèi)江師范學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院2012級1班 蘭林 20120341045)摘 要以費馬原理為基礎(chǔ),用極值條件和方程有解條件導(dǎo)出光在兩種均勻介質(zhì)分界面處的反射定律,并證明了光在反射和折射過程中,其實際光程取的是極小值.關(guān)鍵詞:費馬原理;反射定律;折射定律;光程;極小值 幾何光學(xué)是以光的直線傳播定律、反射定律和折射定律為基礎(chǔ)建立起來的,引入光程概念后,上述三定律就可用費馬原理來概括,并由它導(dǎo)出.光的直線傳播定律、反射定律和折射定律、獨立傳播原理是幾何光學(xué)的基本原理,能夠很好地解釋光在傳播過程中發(fā)生的物理現(xiàn)象.費馬原理與光的直線傳播定律、反射定律和折射定律具有同等重

2、要的意義,可以說后者是前者的必然結(jié)果,即由費馬原理可推出光的直線傳播定律、反射定律和折射定律.反射定律: (1)反射光線位于入射光線和法線構(gòu)成的平面內(nèi); (2)反射光線和入射光線分居發(fā)現(xiàn)兩側(cè); (3)反射角等于入射角,即折射定律: (1)折射光線、入射光線和法線在同一平面內(nèi)；  (2)折射光線和入射光線分別位于法線的兩側(cè)；  (3)光從光疏介質(zhì)到光密介質(zhì)時折射角小于入射角。費馬原理: 光在指定的兩點間傳播,實際光程是一個極值.光在均勻介質(zhì)中的直線傳播、在兩 種不同介質(zhì)分界面處發(fā)生反射和折射,實際光程取極小值.即 （1） 證明 如圖1所示,設(shè)平面是兩均勻介質(zhì)和的分界面,光線由

3、介質(zhì)1中指定的點經(jīng)界面反射后到達介質(zhì)1中指定的點.為確定實際光線的路徑,過、兩點作平面垂直于界面,軸是所作平面與分界面的交線.則實際光線在界面上的折射點就可用費馬原理來確定.首先證明共面,即折射點在交線上軸.設(shè)、三點的坐標(biāo)分別為(,0),(,0),(,0,).、間光程為 （2） 其中,光程取極值,要求上式對和的一階導(dǎo)數(shù)為零.于是得 (3) (4)只有當(dāng)時,式才成立,所以點應(yīng)位于軸上.即反射光線位于入射光線和法線構(gòu)成的平面內(nèi).于是有其中:其次,證明異側(cè).由式知,方程的解為 : 若,則、兩點連線垂直與界面,入射光線、法線和反射光線三線合一;若則入射光線和折射光線分別位于法線兩側(cè).最后,證明,由圖1

4、易知: (5)代入中,即得，在反射角和入射角的定義范圍內(nèi)可得,即反射角等于入射角. 到此我們證明了反射定律符合費馬原理中的光程取極值,但未證明取極小值.如圖2所示,、為空間中指定的兩點,為入射面與分界面交線.、分別為、在交線上的垂足.為證明反射定律光程取極小值,我們假設(shè)在分界面上存在兩個折射點和,前者遵循反射定律,后者不遵循反射定律;過作入射光線的平行線和反射光線的垂線,同時分別過和分別作平行線的垂線和. (6) (7) (8)設(shè)路徑的光程為,對應(yīng)地光沿此路徑從傳播到所用時間為,與另一路徑對應(yīng)的相應(yīng)物理量分別為和.于是有 (9) (10)將代入上式有 (11)最終的 （12） 即.根據(jù)光程定義

5、,得.至此,我們不但證明了反射定律符合費馬原理取極值的條件,而且證明了光程取的是極小值. 對于折射如圖1所示,設(shè)平面是兩均勻介質(zhì)和的分界面,光線由介質(zhì)1中指定的點經(jīng)界面折射到達介質(zhì)2中指定的點.為確定實際光線的路徑,通過、兩點作平面垂直于界面,軸是所作平面與分界面的交線.則實際光線在界面上的折射點就可用費馬原理來確定. 首先證明共面,即折射點在交線軸上.設(shè)三點的坐標(biāo)分別為(,0),(,0),(,0,). 、間光程為 （13） 其中,光程取極值,要求上式對和的一階導(dǎo)數(shù)為零.于是得 (14) (15)只有當(dāng)時,式才成立,所以點應(yīng)位于軸上.于是點變成點,相應(yīng)的坐標(biāo)為(,0,0),于是圖1簡化為圖2.結(jié)論:折射光線、法線和入射光線位于同一平面內(nèi).其次,證明異側(cè).由式(14)知,方程的解為若,則、兩點連線垂直于界面,入射光線、法線和折射光線三線合一;若,則入射光線和折射光線分別位于法線兩側(cè).結(jié)論:折射光線和入射光線分居法線異側(cè).最后,證明.由圖2易知代入式(1)即得.其中結(jié)論:入射角的正弦與入射光線所在介質(zhì)折射率之積等于折射角的正弦與折射光線所在介質(zhì)折射率之積. 參考文獻:1趙凱華,鐘錫華.光學(xué)M.北京:北京大學(xué)出