直線與圓錐曲線的幾種題型

1、本節(jié)知識：1、直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題：>0相交=0相切 （需要注意二次項系數(shù)為0的情況）<0相離2、涉及直線與圓錐曲線相交弦的問題：（1）弦長公式： （2）中點弦問題：利用“設點代點、設而不求”或點差法（3）相交弦問題：利用“設點代點、設而不求”的方法3、違達定理的應用：方法：將條件化成兩根之和或之積的形式 方法盡量簡單 計算整理的能力4、恒成立（過定點定直線）問題方法：參量的聯(lián)系和轉化如何消參量（解方程的思想）計算整理的能力典型例題：例1、已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為，最小值為（）求橢圓的標準方程；（）若直線與橢圓相交

2、于，兩點（不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標變式：直線與雙曲線相交于點，問是否存在這樣的實數(shù)，使得關于直線對稱？如果存在，求出實數(shù)，如果不存在，請說明理由。變式2、設橢圓中心在坐標原點，是它的兩個頂點，直線與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點 （1）若，求的值； （2）求四邊形面積的最大值DFByxAOE例2、已知A、B、C是橢圓上的三點，其中點A的坐標為，BC過橢圓m的中心，且（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線l（斜率存在時）與橢圓m交于兩點P，Q，設D為橢圓m與y軸負半軸的交點，且.求實數(shù)t的取值范圍 變式：已知橢圓兩焦點、在軸上，短軸

3、長為，離心率為，是橢圓在第一象限弧上一點，且，過P作關于直線F1P對稱的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點。（1）求P點坐標；（2）求證直線AB的斜率為定值；（3）求PAB面積的最大值。 例3、如圖，雙曲線M是以B、C為焦點且過A點.()建立適當?shù)淖鴺讼?，求雙曲線M的方程；()設過點E(1,0)的直線l分別與雙曲線M的左、右支交于F、G兩點，直線l的斜率為k，求k的取值范圍.；（）對于（II）中的直線l，是否存在k使|OF|=|OG|若有求出k的值，若沒有說明理由（O為原點）ABC變式1：已知雙曲線的離心率為，左、右焦點分別為、，在雙曲線上有一點，使，且的面積為。（1）求雙曲線的方程；（

4、2）過點的動直線 與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點、，在線段 上取異于、的點，滿足，證明：點總在某定直線上。變式2如圖，已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點M（2，1），平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m0），l交橢圓于A、B兩個不同點。 （1）求橢圓的方程； （2）求m的取值范圍； （3）求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.作業(yè)：已知圓：及定點，點是圓上的動點，點在上，點在上，且滿足2，·（1）若，求點的軌跡的方程；（2）若動圓和（1）中所求軌跡相交于不同兩點，是否存在一組正實數(shù)，使得直線垂直平分線段，若存在，求出這組正實數(shù)；若不存在，

5、說明理由答案解析：例1、解：（）橢圓的標準方程為 （5分）（）設，聯(lián)立得，又，因為以為直徑的圓過橢圓的右焦點，即，解得：，且均滿足，當時，的方程為，直線過定點，與已知矛盾；當時，的方程為，直線過定點所以，直線過定點，定點坐標為 （14分）變式1：略變式2：例2、解：依題設得橢圓的方程為， 直線的方程分別為， 2分DFByxAOE 如圖，設，其中， 且滿足方程， 故 由知，得； 由在上知，得 所以，化簡得，解得或。6分 （）解法一：根據(jù)點到直線的距離公式和式知，點到的距離分別為 ， 9分 又，所以四邊形的面積為 ， 當，即當時，上式取等號所以的最大值為12分 解法二：由題設， 設，由得， 故四邊

6、形的面積為 9分 ， 當時，上式取等號所以的最大值為12分例2、解（1）橢圓m： 5分（2）由條件D（0，2） M（0，t）1°當k=0時，顯然2<t<2 6分2°當k0時，設 消y得 8分由>0 可得 9分設則 11分由 t>1 將代入得 1<t<4t的范圍是（1，4）13分綜上t（2，4） 14分變式：（1）設橢圓方程為，由題意可得，方程為，設則點在曲線上，則 從而，得，則點的坐標為（2）由（1）知軸，直線PA、PB斜率互為相反數(shù)，設PB斜率為，則PB的直線方程為： 由得設則 同理可得，則 所以：AB的斜率為定值（3）設AB的直線方程

7、：.由，得，由，得P到AB的距離為，12分則 。當且僅當取等號三角形PAB面積的最大值為。14分例3、解：（I）以BC邊的中點為原點，BC邊所在直線為x軸，建立直角坐標系，1分則，得3分設雙曲線方程為 5分 （II）當軸時，l與雙曲線無交點.當l不垂直x軸時，可設l的方程：由，消去y，得7分與雙曲線的左、右兩支分別交于則10分（）若|OF|=|OG|，三角形OFG中，設M是FG的中點，則有：OM12分由（II）易得，中點M（則應有：，使|OF|=|OG|14分變式1：（1）解：雙曲線的方程為 （2）設點，的坐標分別為，且3，即，即. 設直線的方程為， 將代入1中整理，得（1-3. 依題意，是上

8、述方程的兩個根，且， 將代入整理，得. 由、消去得，這就是點所在的直線方程.點（）總在定直線上. 變式2解：（1）設橢圓方程為1分則3分橢圓方程為4分（2）直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m又KOM=5分由6分直線l與橢圓交于A、B兩個不同點，（3）設直線MA、MB的斜率分別為k1，k2，只需證明k1+k2=0即可9分設10分則由10分而故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.14分作業(yè)：解：（1）點為的中點，又，或點與點重合 2分又點的軌跡是以為焦點的橢圓，且，的軌跡方程是 6分(2)解：不存在這樣一組正實數(shù)，下面證明： 7分由題意，若存在這樣的一組正實數(shù)，當直線的斜率存在時，設之為，故直線的方程為：，設，