用向量知識解決立體幾何中典型問題

1、用向量知識解決立體幾何中典型問題空間向量的引入為求立體幾何的空間角和距離問題、證線面平行與垂直以及解決立體幾何的探索性試題提供了簡便、快速的解法。它的實用性是其它方法無法比擬的，因此應加強運用向量方法解決幾何問題的意識，提高使用向量的熟練程度和自覺性，注意培養(yǎng)向量的代數(shù)運算推理能力，掌握向量的基本知識和技能，充分利用向量知識解決圖形中的角和距離、平行與垂直問題，下面就談一談向量知識在立體幾何中運用。大家自學時注意方法的理解，黑體字內容就是一些關鍵的講解。什么是法向量？平面垂直的向量稱為法向量。法向量是解決與面有關問題時必須要用到的。一、利用向量知識求線線角，線面角，二面角的大小。線面角：方法點

2、評：設是平面的法向量，是平面的一條斜線，則與平面所成的角為與法向量成角的余角。即，如圖：所以解決問題關鍵就在于求出法向量，下例將介紹法向量求法。例1：如圖，四棱錐中，底面ABCD為矩形，底面ABCD，AD=PD，E，F(xiàn)分別CD、PB的中點. （）求證：EF平面PAB；（）設AB=BC，求AC與平面AEF所成角的大小. ABCDEFxyzP（）證明：建立空間直角坐標系（如圖），設AD=PD=1，AB=（），則E(a,0,0), C(2a,0,0), A(0,1,0), B(2a,1,0), P(0,0,1), .得，. 由，得，即， 同理，又， 所以，EF平面PAB. （注：此小問所用即向量法證

3、明線面垂直）（）解：由，得，即. 得，. 有，. 設平面AEF的法向量為，（如何來求這個法向量呢？注意到，既然要垂直平面，則要垂直平面內兩相交直線，所以可以在平面內任意選擇兩條出來，然后分別和做數(shù)量積，利用數(shù)量積為0建立兩個等式，）由，（兩個條件肯定是求不出三個變量的，是因為平面的法向量不唯一，長度可以任意，但肯定都是和平面垂直的，所以我們只需要把其中一個數(shù)隨意令成一個非0數(shù)，就可以得到一個法向量，）令，可得. 于是. 則. 所以，AC與平面AEF所成角的大小為. （注意為什么在這里加上了個絕對值，是因為我們在令z時，有人令1，有人令-1，這樣得到的法向量方向是相反的，求出來的就有可能為負，但

4、是線面角是銳角，所以只需要取正數(shù)。）二面角：方法：設是二面角的面的法向量，則就是二面角的平面角或補角的大小。例2：如圖,在直四棱柱中,已知,.(I)設是的中點,求證:;(II)求二面角的余弦值. 解:(I)連結，則四邊形為正方形，且，為平行四邊形，.（另：向量法證明線面平行：易得，可求得面的一個法向量為，由，又，所以）(II) 以D為原點，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，不妨設，則設為平面的一個法向量，由得，取，則. 設為平面的一個法向量，由得，取,則. 由圖知該二面角為銳角，所以所求的二面角的余弦值為（這里求出來法向量成角是鈍角，是因為我們在令數(shù)字時造成的方向相反，所以求二面角

5、時需要從原圖中觀察二面角的鈍銳，在下正確的結論）二、利用向量知識求點到面，線到面，面到面的距離（后兩者均可轉化為點面距離）方法：如右圖求出平面的一個法向量的坐標，再求出已知點與平面內任一點構成的向量的坐標，那么到平面的距離（注：不是很推薦用向量法計算點面距離，考試中的點面距離大都可以使用等體積法簡單求得）例3：如圖，四面體ABCD中，O、E分別BD、BC的中點,CA=CB=CD=BD=2，（）求證：AO平面BCD；（）求異面直線AB與CD所成角的大??；（）（）求點E到平面的距離.（）(I)證明：連結OC.BO=DO,AB=AD, AOBD.在AOC中，由已知可得AO=1,CO=. 而AC=2,

6、AO2+CO2=AC2,AOC=90°,即AOOC. AO平面BCD.（）解：以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，則B(1，0，0)，D(-1，0，0)，C(0，0)，A(0,0,1),E(,0), 異面直線AB與CD所成角的大小為（）解：設平面ACD的法向量為=(x,y,z),則令y=1，得=(-)是平面ACD的一個法向量.又點E到平面ACD的距離h=三、利用向量知識解決立體幾何中的探索性問題。例4:如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為等腰梯形，ABDC,ACBD,AC與BD相交于點O，且頂點P在底面上的射影恰為O點，又BO=2,PO=,PBPD.設點M在棱PC上，問M點在什么位置時，PC平面BMD.平面 又，由平面幾何知識得：以為原點，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，（該題建立的坐標系告訴我們，找到z軸后有可能x，y軸并不是象正方體那樣一個頂點出去的三條線那么好看，有可能需要在底面圖形中自己去構造出x，y軸）則各點坐標為，（注意C點坐標和D點坐標，既然建立起了原點，x，y軸，那么在負半軸上點坐標同樣要是負的）設分所成的比為，由定比分點坐標公式可得，則（這里揭示出了在線上設點的方法）平面，得，則，故M為靠近C點的三等分點。則