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文檔簡介
1、第七講 含絕對值的方程及不等式從數(shù)軸上看,一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點離開原點的距離但除零以外,任一個絕對值都是表示兩個不同數(shù)的絕對值即一個數(shù)與它相反數(shù)的絕對值是一樣的由于這個性質(zhì),所以含有絕對值的方程與不等式的求解過程又出現(xiàn)了一些新特點本講主要介紹方程與不等式中含有絕對值的處理方法 一個實數(shù)a的絕對值記作a,指的是由a所唯一確定的非負(fù)實數(shù):含絕對值的不等式的性質(zhì): (2)a-ba+ba+b;(3)a-ba-ba+b由于絕對值的定義,所以含有絕對值的代數(shù)式無法進行統(tǒng)一的代數(shù)運算通常的手法是分別按照絕對值符號內(nèi)的代數(shù)式取值的正、負(fù)情況,脫去絕時值符號,轉(zhuǎn)化為不含絕對值的代數(shù)式進行運算,即含有
2、絕對值的方程與不等式的求解,常用分類討論法在進行分類討論時,要注意所劃分的類別之間應(yīng)該不重、不漏下面結(jié)合例題予以分析例1 解方程x-2+2x+1=7分析 解含有絕對值符號的方程的關(guān)鍵是去絕對值符號,這可用“零掉絕對值符號再求解解(1)當(dāng)x2時,原方程化為(x-2)+(2x+1)=7,-(x-2)+(2x+1)=7應(yīng)舍去-(x-2)-(2x+1)=7說明 若在x的某個范圍內(nèi)求解方程時,若求出的未知數(shù)的值不屬于此范圍內(nèi),則這樣的解不是方程的解,應(yīng)舍去例2 求方程x-2x+1=3的不同的解的個數(shù)為只含有一個絕對值符號的方程然后再去掉外層的絕對值符號求解x-(2x+1)=3,即 1+x=3,所以 x=
3、2或x=-4 x+(2x+1)=3,即 3x+1=3,的個數(shù)為2 例3 若關(guān)于x的方程x-2-1=a有三個整數(shù)解則a的值是多少?解 若a0,原方程無解,所以a0由絕對值的定義可知x-2-1=±a,所以 x-2=1±a(1)若a1,則x-2=1-a0,無解x-2=1a,x只能有兩個解x=3+a和x=1-a(2)若0a1,則由x-2=1+a,求得x=1-a或x=3+a;由x-2=1-a,求得x=1+a或x=3-a原方程的解為x=3+a,3-a,1+a,1-a,為使方程有三個整數(shù)解,a必為整數(shù),所以a只能取0或1當(dāng)a=0時,原方程的解為x=3,1,只有兩個解,與題設(shè)不符,所以a0
4、當(dāng)a=1時,原方程的解為x=4,0,2,有三個解綜上可知,a=1例4 已知方程x=ax+1有一負(fù)根,且無正根,求a的取值范圍解 設(shè)x為方程的負(fù)根,則-x=ax+1,即所以應(yīng)有a-1反之,a-1時,原方程有負(fù)根設(shè)方程有正根x,則x=ax1,即所以a1反之,a1時,原方程有正根綜上可知,若使原方程有一負(fù)根且無正根,必須a1例5 設(shè)求x+y分析 從絕對值的意義知兩個非負(fù)實數(shù)和為零時,這兩個實數(shù)必須都為零解 由題設(shè)有把代入得解之得y=-3,所以x=4故有x+y=4-3=1例6 解方程組分析與解 由得x-y=1或x-y=-1,即x=y+1或x=y-1與結(jié)合有下面兩個方程組解():把x=y+1代入x+2y
5、=3得y+1+2y=3組()的解為同理,解()有故原方程組的解為例7 解方程組解 由得x+y=x-y+2因為x-y0,所以x+y0,所以x+y=x+y 把代入有x+y=x+2,所以y=2將之代入有x-2=x,所以x-2=x, 或 x-2=-x 無解,所以只有解得x=1故為原方程組的解說明 本題若按通常的解法,區(qū)分x+y0和x+y0兩種情形,把方程分成兩個不同的方程x+y=x+2和-(x+y)=x+2,對方程也做類似處理的話,將很麻煩上面的解法充分利用了絕對值的定義和性質(zhì),從方程中發(fā)現(xiàn)必有x+y0,因而可以立刻消去方程中的絕對值符號,從而簡化了解題過程例8 解不等式x-5-2x+31 x5,x5
6、-(x-5)-(2x+3)1,-(x-5)-(2x+3)1,(3)當(dāng)x5時,原不等式化為x-5-(2x+3)1,解之得x-9,結(jié)合x5,故x5是原不等式的解的解 例9 解不等式13x-52分析與解 此不等式實際上是解 對3x-51:對3x-52:所以與的公共解應(yīng)為例 10 解不等式x+3-x-33解 從里往外去絕對值符號,將數(shù)軸分為x-3,-3x3,x3三段來討論,于是原不等式化為如下三個不等式組即 x-3即 x3說明 本題也可以由外向內(nèi)去絕對值符號,由絕對值的意義,解下面兩個不等式分別解出和即可,請同學(xué)們自己完成這個解法例11 當(dāng)a取哪些值時,方程x+2+x-1=a有解?解法1 (1)當(dāng)x-2時,x+2+x-1=-2x-1-2(-2)-1=3(2)當(dāng)-2x1時,x+2+x-1=x+2-x+1=3(3)當(dāng)x1時,x+2+x-1=2x+12·1+1=3所以,只有當(dāng)a3時,原方程有解解法2 按照絕對值的性質(zhì)a-ba+b,故x+2+x-1(x+2)-(x-1)=3其中等號當(dāng)-2x1時成立,所以當(dāng)a3時,原方程有解練習(xí)七1解下列方程:(1)x+3-x-1=x+1;(2)1+x-1=3x;(
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