橢圓中的最值問題與定點、定值問題

1、橢圓中的最值問題與定點、定值問題解決與橢圓有關的最值問題的常用方法(1)利用定義轉化為幾何問題處理；(2)利用數(shù)形結合，挖掘數(shù)學表達式的幾何特征進而求解；(3)利用函數(shù)最值得探求方法，將其轉化為區(qū)間上的二次函數(shù)的最值來處理，此時應注意橢圓中x、y的取值范圍；(4)利用三角替代(換元法)轉化為三角函數(shù)的最值問題處理。一、橢圓上一動點與焦點的距離的最值問題橢圓上一動點與焦點的距離稱為焦半徑，橢圓上一動點與長軸的兩端點重合時，動點與焦點取得最大值a+c(遠日點)、最小值a-c(近日點)。22推導：設點P(x0,y0)為橢圓二十%=1(a>bA0)上的任意一點，左焦點為F1(c,0),ab222

2、|PFi|=d(Xo+c)2+y2,由空+岑=1得y°=b2(1當)，將其代入aba22c|PF1|=v(xo+c)+yo并化簡得|PF1|=-x0+a。所以，當點P(Xo,yo)為長軸的右端點acA2(a,0)重合時，|PFJmax=a+a=c+a；當點P(x°,y°)為長軸的左端點A(a,0)重a合時。|PF11min=c'(a)+a=ac。當焦點為右焦點F2(c,0)時，可類似推出。a聯(lián)立 2x 2.y =1，消y去得(1十二)x2生 x + b21=0。2 m m因為直線y =x +b與橢圓 m2土十y2=1有兩個不同的交點2所以：=-2b2設 A

3、(xi, y) B(&, y?),線段 AB 的中點 M (Xm , yM),則 x +溝=4mbXMyMXx221-xMm2mbm2 22Jm b b 二-zm2 2。將線段AB的中點M(4mb-m 2m2b-2-b-)代入直線m 2由得m(2)令 t解得b =m2 22m2 °6 T或m、,6> 。316. 6、m(一萬，0)9/)則 1ABi1x2)2 -4x1x2 1= t2 1423-2t4 2t22t2J，2t2 -且O到直線AB的距離為d = -2 .t2 1設MOB的面積為S(t),所以S(t)=>B|d4v-2(t2-i)2+2"21當

4、且僅當t2=一時，等號成立2故&AOB面積的最大值為22.已知橢圓4x2+y2=1及直線y=x+m.(1)當直線和橢圓有公共點時，求實數(shù)m的取值范圍；(2)求被橢圓截得的最長弦所在的直線方程4x2+y2=1,解(1)由得5x2+2mx+m21=0,y=x+m因為直線與橢圓有公共點所以= 4m2-(2)設直線與橢圓交于A(xi,yi),B(x2,y2)兩點，由(1)知：5x2+2mx+m21=0,所以x1+x2=一二，x1x2=1(m21),55所以|AB|=-：x1-x22+y1一y22=12x1x22=12x1+x224x1x2:J2|4m-，(m2_J|=2/10_8m2.|L25

5、55所以當m=0時，|AB|最大，即被橢圓截得的弦最長，此時直線方程為y=x.反思與感悟解析幾何中的綜合性問題很多，而且可與很多知識聯(lián)系在一起出題，例如不等式、三角函數(shù)、平面向量以及函數(shù)的最值問題等.解決這類問題需要正確地應用轉化思想函數(shù)與方程思想和數(shù)形結合思想.其中應用比較多的是利用方程根與系數(shù)的關系構造等式或函數(shù)關系式，這其中要注意利用根的判別式來確定參數(shù)的限制條件跟蹤訓練2如圖，點A是橢圓C：:+J=1(a>b>0)的短軸位于y軸下方的端點，過點Aa2b2且斜率為1的直線交橢圓于點B,若P在y軸上，且BP/x軸，ABAP=9.若點P的坐標為（0,1）,求橢圓C的標準方程；(2

6、)若點P的坐標為(0,t),求t的取值范圍.解.直線AB的斜率為1，.二zBAP=45°,即4BAP是等腰直角三角形，|循|=3|碓|.ABaP=9,.,-/AB|AP|cos456|AP12cos459可.AP|=3.P(0,1),.OP|=1,|OA|=2,即b=2,且B(3,1).B在橢圓上，.9+1=1,得a2=12,a24x2y2.橢圓C的標準方程為行+廣1.由點P的坐標為（0,t）及點A位于x軸下方，得點A的坐標為（0,t3）,-t3b,即b3t.-t 23-2t顯然點B的坐標是（3,t）,將它代入橢圓方程得：""2'+52=1，解得a2=一a

7、J-t.a2>b2>0,2- >(3 1)2>0.332t32t>1'即32132t>0，.所求t的取值范圍是0<t<一.2二、橢圓中的定點和定值問題解決時應用數(shù)形結合、分類討論、幾何法等方法。解決此類問題的方法有兩種：(1)進行一般計算、推理求出結果；(2)通過檢查特殊位置，探索出定點“定值”，然后再進行一般性證明或計算。2.已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在X軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3,最小值為1。(1)求橢圓C的標準方程；(2)若直線l:y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點(A、B不是左右頂點)，且以AB為直徑的圓過橢

8、圓C的右頂點。求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標。22解：(1)根據題意可設橢圓方程、+冬=1(abA0),aba+c=3a=2-由已知得3，解得3，b2=221=3,a-c=1c=122所以橢圓的標準方程為+-=1o43y=kx+m(2)設A(o%),B(X2,y2),聯(lián)立<x"y2/導(3+4k2)x2+8mkx+4(m23)=0,43則由題意得=64m2k2-16(34k2)(m2-3)0xi + x2 = 且,Xi X2 =-即 3 +4k2 m2 >0 ,8mk-34k24(m23)34k222、223(m-4k)又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=kx1x2+mk(x1+x2)+m=2-,34k2設橢圓的右頂點為D;以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點D(2,0)，二kADkBD=-1,即1=1，二y1y2+xix2-2(xi+x2)+4=。，x1-2x2-23(m2 -4k2) 4(m2 -3) 16mk3 4k23 4k23 4k2+ 4 = 0,化簡整理得7m2 + 16mk + 4k2 =0,2k