高等數(shù)學(xué)第十章曲面積分VIP

1、第十章積分學(xué) 定積分二重積分三重積分積分域 區(qū)間域 平面域 空間域 曲線積分曲線積分曲線域曲線域曲面域曲面域曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)面積的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分曲面積分曲面積分曲線積分與曲面積分 第一節(jié)一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分 第十章 AB一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)假設(shè)曲線形細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件在空間所占弧段為AB , 其線密度為),(zyx“大化小, 常代變, 近似和, 求極限

2、” kkkks),(可得nk 10limM為計(jì)算此構(gòu)件的質(zhì)量,ks1kMkM),(kkk1.1.引例引例: 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量采用機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 設(shè) 是空間中一條有限長(zhǎng)的光滑曲線,義在 上的一個(gè)有界函數(shù), kkkksf),(都存在,),(zyxf上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分,記作szyxfd),(若通過對(duì) 的任意分割局部的任意取點(diǎn), 2. .定義定義是定),(zyxf下列“乘積和式極限”則稱此極限為函數(shù)在曲線或第一類曲線積分.),(zyxf稱為被積函數(shù)， 稱為積分弧段 .曲線形構(gòu)件的質(zhì)量szyxMd),(nk 10limks1kMkM),(kkk和對(duì)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束

3、如果 L 是 xoy 面上的曲線弧 ,kknkksf),(lim10Lsyxfd),(如果 L 是閉曲線 , 則記為.d),(Lsyxf則定義對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考思考:(1) 若在 L 上 f (x, y)1, ?d 表示什么問Ls(2) 定積分是否可看作對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的特例 ? 否! 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分要求 ds 0 ,但定積分中dx 可能為負(fù).3. 性質(zhì)性質(zhì)szyxfd ),() 1 (szyxfkd),()2(（k 為常數(shù))szyxfd),()3( 由 組成) 21, sd)4( l 為曲線弧 的長(zhǎng)度),(zyxgszyxfd),(szyxgd),(s

4、zyxfkd),(l21d),(d),(szyxfszyxf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 tttttfsdyxfLd)()()(, )(),(22二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法基本思路基本思路:計(jì)算定積分轉(zhuǎn) 化定理定理:),(yxf設(shè)且)()(tty上的連續(xù)函數(shù),證證:是定義在光滑曲線弧則曲線積分),(:txL,d),(存在Lsyxf求曲線積分根據(jù)定義 kknkksf),(lim10Lsyxfd),(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 , ,1kkktt點(diǎn)),(kktttskkttkd)()(122,)()(22kkktnk 10limLsyxfd),(kkkt

5、)()(22 )(, )(kkf連續(xù)注意)()(22tt設(shè)各分點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)為), 1 ,0(nktk對(duì)應(yīng)參數(shù)為 則,1kkkttnk 10limkkkt)()(22 )(, )(kkf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xdydsdxyoLsyxfd),(tttttfd)()()(),(22說(shuō)明說(shuō)明:, 0, 0) 1 (kkts因此積分限必須滿足!(2) 注意到 22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述計(jì)算公式相當(dāng)于“換元法”. 因此機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 如果曲線 L 的方程為),()(bxaxy則有Lsyxfd),(如果方程為極坐標(biāo)形式:),()(: rrL則sy

6、xfLd),()sin)(,cos)(rrf推廣推廣: 設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為)()(, )(),(:ttztytx則szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,()(),(, )(tttf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. 計(jì)算,dLsx其中 L 是拋物線2xy 與點(diǎn) B (1,1) 之間的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLLsxd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上點(diǎn) O (0,0)1Lxy2xy o) 1 , 1 (B機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2. 計(jì)

7、算半徑為 R ,中心角為2的圓弧 L 對(duì)于它的對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I (設(shè)線密度 = 1). 解解: 建立坐標(biāo)系如圖,R xyoLsyILd2d)cos()sin(sin2222RRRdsin23 R0342sin22 R)cossin(3 R則 )(sincos:RyRxL機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3. 計(jì)算,dsxIL其中L為雙紐線)0()()(222222ayxayx解解: 在極坐標(biāo)系下它在第一象限部分為)40(2cos:1 arL利用對(duì)稱性 , 得sxILd414022d)()(cos4rrr402dcos4a222a,2cos:22arLyox機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回

8、結(jié)束 例例4. 計(jì)算曲線積分 ,d)(222szyx其中為螺旋的一段弧.解解: szyxd)(22220222)()sin()cos(t ktatattkakad202222202322223tktaka)43(3222222kakatktatad)cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax線機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5. 計(jì)算,d2sx其中為球面 2222azyx被平面 所截的圓周. 0zyx解解: 由對(duì)稱性可知sx d2szyxsxd)(31d2222sa d312aa2312332asy d2sz d2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考思考:

9、 例5中 改為0)1()1(2222zyxazyx計(jì)算?d2sx解解: 令 11zZyYxX0 :2222ZYXaZYX, 則sx d2sXd) 1(2sXd2332a)131(22aasX d2sda2圓的形心在原點(diǎn), 故0XaX22, 如何機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 d d s例例6. 計(jì)算,d)(222szyxI其中為球面22yx 解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(18d22920Id2cos221z. 1的交線與平面 zx292 z化為參數(shù)方程 21cos2x sin2y則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例7.

10、有一半圓弧cosRx ),0(其線密度 ,2解解:cosdd2RskFxdcos2Rksindd2RskFydsin2RkRRoxy0dcos2RkFx0dsin2RkFy0cossin2RkRk40sincos2RkRk2故所求引力為),(yx,sinRy 求它對(duì)原點(diǎn)處單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力. RkRkF2,4機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 定義定義kkknkksf),(lim10szyxfd),(2. 性質(zhì)性質(zhì)kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(d),()2(szyxfszyxfszyxf),(

11、21組成由ls d)3( l 曲線弧 的長(zhǎng)度)Lszyxfd),(),(為常數(shù)szyxgLd),(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 計(jì)算計(jì)算 對(duì)光滑曲線弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),( 對(duì)光滑曲線弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 對(duì)光滑曲線弧tttd)()(22xx d)(12d)()(22rr)(),(ttf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 已知橢圓134:22yxL周長(zhǎng)為a , 求syxxyLd)432(22提示提示:0d2

12、sxyL原式 =syxLd)34(1222sLd12a12o22yx3利用對(duì)稱性sxyLd2sxyLd2上sxyLd2下x2xyd1222)(2xxyd1222分析分析:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 設(shè)均勻螺旋形彈簧L的方程為,sin,costaytax),20(tt kz(1) 求它關(guān)于 z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;zI(2) 求它的質(zhì)心 .解解: 設(shè)其密度為 (常數(shù)).syxILzd)(22202atkad222222kaa(2) L的質(zhì)量smLd222ka 而sxLd22kaa20dcostt0(1)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 syLd22kaa20dsintt0szLd22k

13、ak20dtt2222kak故重心坐標(biāo)為),0,0(k作業(yè)作業(yè)P131 3 (3) , (4) , (6) , (7)5 第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyo備用題備用題1. 設(shè) C 是由極坐標(biāo)系下曲線, ar 0及4所圍區(qū)域的邊界, 求seICyxd222)24(aeaa4xy 0yar 提示提示: 分段積分xeIaxd0d40aeaxeaxd2202機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. L為球面2222Rzyx面的交線 , 求其形心 . 在第一卦限與三個(gè)坐標(biāo)解解: 如圖所示 , 交線長(zhǎng)度為RozyxRR1L3L2LslLd31423R23 R由對(duì)稱性 , 形心坐標(biāo)為321d1L

14、LLsxlxyz321ddd1LLLsxsxsxl1d2Lsxl20dcos2RRl34R機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第二節(jié)一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念 與性質(zhì)與性質(zhì)二、二、 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法 三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分 第十章 一、一、 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)1. 引例引例: 變力沿曲線所作的功.設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受如下變力作用在 xoy 平面內(nèi)從點(diǎn) A 沿光滑曲線弧 L 移動(dòng)到點(diǎn) B, ABLxy求移cosABFW “大化小

15、” “常代變”“近似和” “取極限”變力沿直線所作的功解決辦法:動(dòng)過程中變力所作的功W.ABF ABF),(, ),(),(yxQyxPyxF機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1kMkMABxy1) “大化大化小小”.2) “常代變常代變”L把L分成 n 個(gè)小弧段,有向小弧段kkMM1),(kkyx近似代替, ),(kk則有kkkkyQxP),(),(kk所做的功為,kWF 沿kkMM1kkkkMMFW1),(k),(kkFnkkWW1則用有向線段 kkMM1kkMM1上任取一點(diǎn)在kykx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3) “近似和近似和”4) “取極限取極限”nkW1kkkkkkyQ

16、xP),(),(nkW10limkkkkkky)Q(x)P,(1kMkMABxyL),(kkFkykx(其中 為 n 個(gè)小弧段的 最大長(zhǎng)度)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 定義定義. 設(shè) L 為xoy 平面內(nèi)從 A 到B 的一條有向光滑有向光滑弧弧,若對(duì) L 的任意分割和在局部弧段上任意取點(diǎn), 都存在,在有向曲線弧 L 上對(duì)坐標(biāo)的曲線積分坐標(biāo)的曲線積分,LyyxQxyxPd),(d),(kkkxP),(kkkyQ),(nk 10lim則稱此極限為函數(shù)或第二類曲線積分第二類曲線積分. 其中, ),(yxPL 稱為積分弧段積分弧段 或 積分曲線積分曲線 .稱為被積函數(shù)被積函數(shù) , 在L

17、上定義了一個(gè)向量函數(shù)極限),(, ),(),(yxQyxPyxF記作),(yxF),(yxQ機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 LxyxPd),(,),(lim10nkkkkxPLyyxQd),(,),(lim10nkkkkyQ若 為空間曲線弧 , 記稱為對(duì) x 的曲線積分;稱為對(duì) y 的曲線積分.若記, 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分也可寫作)d,(ddyxs LLyyxQxyxPsFd),(d),(d),(, ),(, ),(),(zyxRzyxQzyxPzyxFzzyxRyzyxQxzyxPsFd),(d),(d),(d)d,d,(ddzyxs 類似地, 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 性質(zhì)

18、性質(zhì)(1) 若 L 可分成 k 條有向光滑曲線弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(kiLiyyxQxyxP1d),(d),(2) 用L 表示 L 的反向弧 , 則LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(則 定積分是第二類曲線積分的特例.說(shuō)明說(shuō)明: : 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向方向 !機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法定理定理:),(, ),(yxQyxP設(shè)在有向光滑弧 L 上有定義且L 的參數(shù)方程為)()(tytx,:t則曲線積分LyyxQxyxPd),(d),( )(),(t

19、tP)(t)(ttd)(),(ttQ連續(xù),證明證明: 下面先證LxyxPd),(tttPd )(),()(t存在, 且有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 對(duì)應(yīng)參數(shù)設(shè)分點(diǎn)根據(jù)定義ix,it),(ii點(diǎn),i由于1iiixxx)()(1iittiit)(LxyxPd),(tttPd )(),(niiiP10)(, )(limiit)(niiiP10)(, )(limiit)()(tLxyxPd),(niiiixP10),(lim對(duì)應(yīng)參數(shù)連續(xù)所以)(t因?yàn)長(zhǎng) 為光滑弧 ,同理可證LyyxQd),(tttQd )(),()(t機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 特別是, 如果 L 的方程為,:),(b

20、axxy則xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(對(duì)空間光滑曲線弧 :類似有zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),()(t)(t)(t)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd )(, )(),(tttP,:)()()(ttztytx定理 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. 計(jì)算,dLxyx其中L 為沿拋物線xy 2解法解法1 取 x 為參數(shù), 則OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxdddxxxd)(0154d21023xxyyyyxyxLd)(d2112xyxy 解法解法2 取 y

21、為參數(shù), 則11:,:2yyxL54d2114yy從點(diǎn)xxxd10的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到)1 , 1(B)1, 1( Aoyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2. 計(jì)算其中 L 為,:, 0aaxyyBAoaa x(1) 半徑為 a 圓心在原點(diǎn)的 上半圓周, 方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向;(2) 從點(diǎn) A ( a , 0 )沿 x 軸到點(diǎn) B ( a , 0 ). 解解: (1) 取L的參數(shù)方程為,d2xyL0:,sin,costtaytaxxyLd2ttadsin2203332a(2) 取 L 的方程為xyLd2ta202sinttad)sin(132334aaaxd00則

22、則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 yxo例例3. 計(jì)算,dd22yxxyxL其中L為(1) 拋物線 ; 10:,:2xxyL(2) 拋物線 ;10:,:2yyxL(3) 有向折線 .:ABOAL解解: (1) 原式22xxxx d4103(2) 原式y(tǒng)yy222yy d5104(3) 原式y(tǒng)xxyxOAdd22102d)002(xxx1)0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 10(xxxd)2210(yyd)4yxxyxABdd2210d)102(yy11機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4. 設(shè)在力場(chǎng)作用下, 質(zhì)點(diǎn)由沿移動(dòng)到),2,0,(kRB)0, 0,(RA.)2(AB解

23、解: (1)zzyxxydddttkR2022d)(2) 的參數(shù)方程為kttzyRx20:,0,ABzzyxxydddktt20dBAzyx試求力場(chǎng)對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功.;,sin,cos) 1(tkztRytRx)(222Rk 222k其中為),(zxyFsFWdsFWd機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ozyx例例5. 求,d)(d)(d)(zyxyzxxyzI其中,2122zyxyx從 z 軸正向看為順時(shí)針方向.解解: 取 的參數(shù)方程,sin,costytx)02:(sincos2tttz20Itttcos)sincos22(tttttd )sin)(cossin(costt d)cos41

24、 (220)sin)(cos2(tt 2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系設(shè)有向光滑弧 L 以弧長(zhǎng)為參數(shù) 的參數(shù)方程為)0()(, )(lssyysxx已知L切向量的方向余弦為sysxddcos,ddcos則兩類曲線積分有如下聯(lián)系LyyxQxyxPd),(d),(ssysysxQsxsysxPlddd)(),(dd)(),(0ssysxQsysxPldcos)(),(cos)(),(0LsyxQyxPdcos),(cos),(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 類似地, 在空間曲線 上的兩類曲線積分的聯(lián)系是zRyQxPdddsRQPdcos

25、coscos令tAsAtd, ),(RQPA )d,d,(ddzyxs )cos,cos,(cost sA d sA dstAd記 A 在 t 上的投影為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二者夾角為 例例6. 設(shè),max22QPM曲線段 L 的長(zhǎng)度為s, 證明),(, ),(yxQyxP續(xù),sMyQxPLdd證證:LyQxPddsQPLdcoscos設(shè)sMsQPLdcoscos說(shuō)明說(shuō)明: 上述證法可推廣到三維的第二類曲線積分.在L上連 )cos,(cos, ),(tQPAstALdsALdcos機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例7. .將積分yyxQxyxPLd),(d),(化為對(duì)弧長(zhǎng)

26、的積分,0222xyx).0 , 2()0 , 0(BO到從解：解：oyxB,22xxyxxxxyd21d2sdxyd12xxxd212sxddcos,22xx syddcosx1yyxQxyxPLd),(d),(syxQyxPLd),(),(22xx )1(x其中L 沿上半圓周機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1. 定義kkkknkyQxP),(),(limkk10LyyxQxyxPd),(d),(2. 性質(zhì)(1) L可分成 k 條有向光滑曲線弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2) L 表示 L 的反向弧LyyxQxyxPd)

27、,(d),(LyyxQxyxPd),(d),(對(duì)坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向積分弧段的方向!內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 計(jì)算,)()(:tytxL: tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),( )(),()(t)(t 對(duì)有向光滑弧 對(duì)有向光滑弧baxxyL:, )(:xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(:,)()()(ttztytx)(, )(),(tttP)(t)(t)(t4. 兩類曲線積分的聯(lián)系LyQxP

28、ddsQPLdcoscoszRyQxPdddsRQPdcoscoscos)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd 對(duì)空間有向光滑弧 :機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 F原點(diǎn) O 的距離成正比,思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在),(yxM處受恒指向原點(diǎn),)0,(aA沿橢圓此質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)12222byax沿逆時(shí)針移動(dòng)到, ),0(bB),(yxMxyo)0 ,(aA), 0(bB提示提示:yykxxkWdd AB:ABtaxcostbysin20:t(解見 P139 例5), ),(yxOM F 的大小與M 到原F 的方向力F 的作用,求力F 所作的功. ),(yxkFF),

29、(xyk思考思考: 若題中F 的方向 改為與OM 垂直且與 y 軸夾銳角,則 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )0 , 0 , 1 (A)0 , 1 , 0(B) 1 , 0 , 0(Coxyz2. 已知為折線 ABCOA(如圖), 計(jì)算zyyxIddd提示提示:I001d)1 (yy10dx2)211 ( 12101d2 x1 yx1 zyyxABddzyyBCddOAxd機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè) P141 3 (2), (4), (6), (7) ; 4 ; 5 ; 7 ; 8第三節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 備用題備用題 1.解解:zxoyABzk222zyx

30、kzjyi xzkLzyxzzzyyxxk222ddd:L22 tx22 ty1 tz) 10:(t101d3ttk2ln3k)1 ,2,2(A線移動(dòng)到, )2,4,4(B向坐標(biāo)原點(diǎn), 其大小與作用點(diǎn)到 xoy 面的距離成反比.沿直sFWLdF)(0r) 1 , 2 , 2(ABr求 F 所作的功 W. 已知 F 的方向指一質(zhì)點(diǎn)在力場(chǎng)F 作用下由點(diǎn)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 設(shè)曲線C為曲面2222azyx與曲面axyx22,)0, 0(的交線az從 ox 軸正向看去為逆時(shí)針方向,(1) 寫出曲線 C 的參數(shù)方程 ;(2) 計(jì)算曲線積分.ddd222zxyzxyC解解: (1)22

31、222)()(aayx222yxaztxaacos22tyasin22sintaz 20:t機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (2) 原式 =ta38sin3tttadcos)cos1 (2283令tu20uuuaacoscossin2223833uuuadsin)cos1 (2283利用“偶倍奇零”0232auuudcos2cos134attacossin2223機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第三節(jié)一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的二、平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的 等價(jià)條件等價(jià)條件機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 格林公式及其應(yīng)用 第十章 LD區(qū)域 D 分類單連

32、通區(qū)域 ( 無(wú)“洞”區(qū)域 )多連通區(qū)域 ( 有“洞”區(qū)域 )域 D 邊界L 的正向正向: 域的內(nèi)部靠左域的內(nèi)部靠左定理定理1. 設(shè)區(qū)域 D 是由分段光滑正向曲線 L 圍成,則有, ),(yxP),(yxQLDyQxPyxyPxQdddd( 格林公式格林公式 )函數(shù)在 D 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),LDyxyQxPyxQPdddd或一、一、 格林公式格林公式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證明證明: 1) 若D 既是 X - 型區(qū)域 , 又是 Y - 型區(qū)域 , 且bxaxyxD)()(:21dycyxyD)()(:21則yxxQDdddcyyyQd),(2)()(21dyyxxQCBEyyxQ

33、d),(CAEyyxQd),(CBEyyxQd),(EACyyxQd),(dcyyyQd),(1dcyddcyxoECBAbaD定理1 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 即yxxQDddLyyxQd),(同理可證yxyPDddLxyxPd),(、兩式相加得:LDyQxPyxyPxQdddd定理1 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 yxoL2) 若D不滿足以上條件, 則可通過加輔助線將其分割1DnD2DnkDyxyPxQk1ddyxyPxQDddnkDkyQxP1ddLyQxPdd為有限個(gè)上述形式的區(qū)域 , 如圖)(的正向邊界表示kkDD證畢定理1 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 推論推論: 正向閉曲線

34、L 所圍區(qū)域 D 的面積LxyyxAdd21格林公式格林公式LDyQxPyxyPxQdddd例如例如, 橢圓20,sincos:byaxL所圍面積LxyyxAdd212022d)sincos(21ababab定理1 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. 設(shè) L 是一條分段光滑的閉曲線, 證明0dd22yxxyxL證證: 令,22xQyxP則yPxQ利用格林公式 , 得yxxyxLdd22022xxDyxdd00機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2. 計(jì)算,dd2Dyyxe其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 為頂點(diǎn)的三角形閉域 . 解解: 令, 則2, 0ye

35、xQPyPxQ利用格林公式 , 有Dyyxedd2Dyyexd2yexOAyd2yeyyd102)1(211exy oyx) 1 , 1 (A) 1 , 0(BD2ye機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3. 計(jì)算,dd22Lyxxyyx其中L為一無(wú)重點(diǎn)且不過原點(diǎn)的分段光滑正向閉曲線.解解: 令,022時(shí)則當(dāng) yx22222)(yxxyxQ設(shè) L 所圍區(qū)域?yàn)镈,)0 , 0(時(shí)當(dāng)D由格林公式知0dd22Lyxxyyx,22yxyP22yxxQyPyxoL機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 dsincos2022222rrr2,)0 , 0(時(shí)當(dāng)D在D 內(nèi)作圓周,:222ryxl取逆時(shí)針方向

36、,1D, 對(duì)區(qū)域1D應(yīng)用格Lyxxyyx22ddlyxxyyx22ddlLyxxyyx22dd0dd01yxDlLyxxyyxyxxyyx2222ddddL1Dloyx記 L 和 l 所圍的區(qū)域?yàn)榱止?, 得機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條件二、平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條件定理定理2. 設(shè)D 是單連通域 ,),(),(yxQyxP在D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1) 沿D 中任意光滑閉曲線 L , 有.0ddLyQxP(2) 對(duì)D 中任一分段光滑曲線 L, 曲線積分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d(4) 在 D 內(nèi)每一點(diǎn)都

37、有.xQyPLyQxPdd與路徑無(wú)關(guān), 只與起止點(diǎn)有關(guān). 函數(shù)則以下四個(gè)條件等價(jià):在 D 內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明說(shuō)明: 積分與路徑無(wú)關(guān)時(shí), 曲線積分可記為 證明證明 (1) (2)設(shè)21, LL21ddddLLyQxPyQxP1ddLyQxP2ddLyQxP21ddLLyQxP0AB1L2L2ddLyQxP1ddLyQxP為D 內(nèi)任意兩條由A 到B 的有向分段光滑曲線, 則(根據(jù)條件(1)BAyQxPddAByQxPdd定理2 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證明證明 (2) (3)在D內(nèi)取定點(diǎn)),(00yxA因曲線積分),(),(00dd),(yxy

38、xyQxPyxu),(),(yxuyxxuux則),(yxPxuxuxx0lim),(lim0yxxPx),(),(ddyxxyxyQxP),(),(dyxxyxxPxyxxP),(同理可證yu),(yxQ因此有yQxPuddd和任一點(diǎn)B( x, y ),與路徑無(wú)關(guān),),(yxxC),(yxB),(00yxA有函數(shù) 定理2 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證明證明 (3) (4)設(shè)存在函數(shù) u ( x , y ) 使得yQxPuddd則),(),(yxQyuyxPxuP, Q 在 D 內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),xyuyxu22所以從而在D內(nèi)每一點(diǎn)都有xQyPxyuxQyxuyP22,定理2 目錄 上頁(yè)

39、 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證明證明 (4) (1)設(shè)L為D中任一分段光滑閉曲線,DD (如圖) ,上因此在DxQyP利用格林公式格林公式 , 得yxxQxQyQxPLDdd)(ddDDL0所圍區(qū)域?yàn)樽C畢定理2 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 yx說(shuō)明說(shuō)明: 根據(jù)定理2 , 若在某區(qū)域內(nèi),xQyP則2) 求曲線積分時(shí), 可利用格林公式簡(jiǎn)化計(jì)算,3) 可用積分法求d u = P dx + Q dy在域 D 內(nèi)的原函數(shù):Dyx),(00及動(dòng)點(diǎn),),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或yyyyxQyxu0d),(),(00y0 x則原函數(shù)為y

40、yyyxQ0d),(xxxyxP0d),(若積分路徑不是閉曲線, 可添加輔助線;取定點(diǎn)1) 計(jì)算曲線積分時(shí), 可選擇方便的積分路徑;定理2 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 yA xoL例例4. 計(jì)算,d)(d)3(22yxyxyxL其中L 為上半24xxy從 O (0, 0) 到 A (4, 0).解解: 為了使用格林公式, 添加輔助線段,AOD它與L 所圍原式y(tǒng)xyxyxAOLd)(d)3(22Dyxdd4OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx3648 圓周區(qū)域?yàn)镈 , 則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5. 驗(yàn)證yyxxyxdd22是某個(gè)函數(shù)的全微分, 并求出這個(gè)函數(shù). 證證

41、: 設(shè),22yxQyxP則xQyxyP2由定理2 可知, 存在函數(shù) u (x , y) 使yyxxyxuddd22),()0 , 0(22dd),(yxyyxxyxyxu。)0 , 0(。),(yx)0 ,(xxxx0d0yyxyd02yyxyd022221yx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例6. 驗(yàn)證22ddyxxyyx在右半平面 ( x 0 ) 內(nèi)存在原函數(shù) , 并求出它. 證證: 令2222,yxxQyxyP則)0()(22222xyQyxxyxP由定理定理 2 可知存在原函數(shù)),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxuxx1d0)0(arctanxxyoxyyyx

42、yx022d)0 ,(x)0 , 1(),(yx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 oxy)0 ,(x)0 , 1(),(yx),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxuyyy021dyxyyarctan1arctanarctanyxarctan2xyxxy122d或), 1 (y)0(arctanxxy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例7. 設(shè)質(zhì)點(diǎn)在力場(chǎng)作用下沿曲線 L :xycos2由)2, 0(A移動(dòng)到, )0,2(B求力場(chǎng)所作的功W解解:)dd(2Lyxxyrk令,22rxkQrykP則有)0()(22422yxryxkyPxQ可見, 在不含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)積分與

43、路徑無(wú)關(guān). )(22yxr其中LBAyox),(2xyrkFsFWLd機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 :AB)dd(2yxxyrkWABd)cos(sin2022k)02:(sin2,cos2yxk2思考思考: 積分路徑是否可以取?OBAO取圓弧LBAyox為什么？注意, 本題只在不含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無(wú)關(guān) !機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 格林公式LyQxPdd2. 等價(jià)條件在 D 內(nèi)與路徑無(wú)關(guān).yPxQ在 D 內(nèi)有yQxPudddyxyPxQDddLyQxPdd對(duì) D 內(nèi)任意閉曲線 L 有0ddLyQxP在 D 內(nèi)有設(shè) P, Q 在 D 內(nèi)具有一階連

44、續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè),4:, 1:222412yxlyxL且都取正向, 問下列計(jì)算是否正確 ?Lyxxyyx22d4d) 1(lyxxyyx22d4dlxyyxd4d41Do2y1x2LlDd5415Lyxxyyx22dd)2(lyxxyyx22ddlxyyxdd41Dd2412提示提示:時(shí)022 yxyPxQ) 1(yPxQ)2(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 設(shè), )56,4(),(grad42234yyxxyxyxu).,(yxu求提示提示:),(dyxuxxyxd)4(34yyyxd)56(422),(yxuyox)

45、,(yx)0 ,(xxxxd04yyyxyd)56(0422C551x322yxCy 5xxyxd)4(34yyyxd)56(422),()0 , 0(yxC作業(yè)作業(yè)P153 2 (1); 3 ; 4 (3) ; 5 (1) , (4) ; 6 (2) , (5)第四節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 CCCDyxoaaC 備用題備用題 1. 設(shè) C 為沿yxaxyxaxxayCd)ln(2d22222222ayx從點(diǎn)), 0(a依逆時(shí)針), 0(a的半圓, 計(jì)算解解: 添加輔助線如圖 ,利用格林公式 .原式 =321aaayayd)ln2(D222xaya222xayyxddC到點(diǎn)機(jī)動(dòng) 目錄

46、上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 D2. 質(zhì)點(diǎn)M 沿著以AB為直徑的半圓, 從 A(1,2) 運(yùn)動(dòng)到Dyxdd2點(diǎn)B(3, 4),到原點(diǎn)的距離,解解: 由圖知 故所求功為AByxxyddABBAABxxxd) 1(3122銳角,其方向垂直于OM, 且與y 軸正向夾角為AB)dd(yxxy) 1(21334xyAB的方程F求變力 F 對(duì)質(zhì)點(diǎn)M 所作的功. ( 90考研 ) , ),(xyFF 的大小等于點(diǎn) M 在此過程中受力 F 作用,sFWd),(yxMBAyxo機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第四節(jié)一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì) 二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法二、對(duì)

47、面積的曲面積分的計(jì)算法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 對(duì)面積的曲面積分 第十章 oxyz一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)引例引例: 設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度),(zyx類似求平面薄板質(zhì)量的思想, 采用kkkkS),(可得nk 10limM),(kkk求質(zhì) “大化小, 常代變, 近似和, 求極限” 的方法,量 M.其中, 表示 n 小塊曲面的直徑的最大值 (曲面的直徑為其上任意兩點(diǎn)間距離的最大者). 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 SzyxMd),(定義定義: 設(shè) 為光滑曲面,“乘積和式極限” kkkkSf),(nk 10lim都存在,的曲面積分Szyx

48、fd),(其中 f (x, y, z) 叫做被積據(jù)此定義, 曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為曲面面積為SSdf (x, y, z) 是定義在 上的一 個(gè)有界函數(shù),記作或第一類曲面積分.若對(duì) 做任意分割和局部區(qū)域任意取點(diǎn), 則稱此極限為函數(shù) f (x, y, z) 在曲面 上對(duì)面積函數(shù), 叫做積分曲面.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 則對(duì)面積的曲面積分存在. 對(duì)積分域的可加性.,21則有Szyxfd),(1d),(Szyxf2d),(SzyxfSzyxgkzyxfkd),(),(21 線性性質(zhì).則為常數(shù)設(shè),21kkSzyxgkSzyxfkd),(d),(21),(zyxf若在光滑曲面 上連續(xù), 對(duì)面積的曲

49、面積分與對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分性質(zhì)類似. 積分的存在性. 若 是分片光滑的,例如分成兩片光滑曲面機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 oxyz定理定理: 設(shè)有光滑曲面yxDyxyxzz),(),(:f (x, y, z) 在 上連續(xù),存在, 且有Szyxfd),(yxDyxf),(Szyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法 則曲面積分證明證明: 由定義知Szyxfd),(kkkkSf),(nk 10limyxD),(kkkyxk)(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 kSyxyxzyxzyxkyxdd),(),(1)

50、(22yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(122yxyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1),(22),(yxz),(,(kkkkzf),(,(kkkkzfSzyxfd),(而(光滑)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明說(shuō)明:zyDzyzyxx),(),(zxDzxzxyy),(),(或可有類似的公式.1) 如果曲面方程為2) 若曲面為參數(shù)方程, 只要求出在參數(shù)意義下dS 的表達(dá)式 , 也可將對(duì)面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為對(duì)參數(shù)的二重積分. (見本節(jié)后面的例4, 例5)

51、 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 yxD例例1. 計(jì)算曲面積分,dzS其中是球面222zyx被平面)0(ahhz截出的頂部.解解: :yxDyxyxaz),( ,:2222222:hayxDyx221yxzz 222yxaazSd20da0)ln(2122222haraahaaln2yxDyxayxa222dd22022dhararr2aoxzyha機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考思考:若 是球面2222azyx被平行平面 z =h 截出的上下兩部分,) (dzS) (dzS0hln4aa則hhoxzy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2. 計(jì)算,dSzyx其中 是由平面坐標(biāo)

52、面所圍成的四面體的表面. ozyx111解解: 設(shè)上的部分, 則4321,4dSzyx,1:4yxz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1 (12031zyx與, 0, 0, 0zyx10d3xx1zyx4321Szyxd 原式 = 分別表示 在平面 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xozy例例3. 設(shè)2222:azyx),(zyxf計(jì)算.d),(SzyxfI解解: 錐面22yxz的222yxaz.,2122122azayx1設(shè),),(22122ayxyxDyx,22yx ，022yxz當(dāng)22yxz當(dāng)與上半球面交線為為上半球面夾于錐面間的部分, 它在 xoy 面上的投影域?yàn)?

53、yxD則 1d)(22SyxI機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1d)(22SyxIyxDyx)(22rrraraadd202222021)258(614a222yxaayxddxozy1yxD機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考思考: 若例3 中被積函數(shù)改為),(zyxf,22yx ，022yxz當(dāng)22yxz當(dāng)計(jì)算結(jié)果如何 ? 例例4. 求半徑為R 的均勻半球殼 的重心.解解: 設(shè) 的方程為yxDyxyxRz),( ,222利用對(duì)稱性可知重心的坐標(biāo),0 yx而 z 223RRR用球坐標(biāo)cosRz ddsind2RS SdSzd20032dcossindR2002dsindR思考題思考題

54、: 例 3 是否可用球面坐標(biāo)計(jì)算 ?例3 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5. 計(jì)算),(dRzSI.:2222Rzyx解解: 取球面坐標(biāo)系, 則,cos:Rz I0cos)cosd(2RRRRRRln2ddsind2RS 02dcossinRR20d機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例6. 計(jì)算,d)(22SyxI其中 是球面22yx 利用對(duì)稱性可知SzSySxddd222SzSySxdddSzyxId)(32222Szyxd)(34Sxd4Sxd448)3(4142解解: 顯然球心為, ) 1 , 1 , 1 (半徑為3x利用重心公式SxdSd).(22zyxz機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè)

55、 返回 結(jié)束 zzd例例7. 計(jì)算,d222zyxSI其中 是介于平面之間的圓柱面.222Ryx分析分析: 若將曲面分為前后(或左右)zRSd2d則HzRzRI022d2RHarctan2Hzz,0oHxyz解解: 取曲面面積元素兩片, 則計(jì)算較繁. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 oyxzL例例8. 求橢圓柱面19522yx位于 xoy 面上方及平面 z = y 下方那部分柱面 的側(cè)面積 S . 解解: )0(sin3,cos5:ttytxL取SSdszLdtt cosdcos45302sd5ln4159zszSddttttdcos9sin5sin3220syLd機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè)

56、返回 結(jié)束 例例9. 設(shè)有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星, 距地面高度 h = 36000 km,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 運(yùn)行的角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度相同, 試計(jì)算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比. (地球半徑 R = 6400 km )解解: yzxohR R建立坐標(biāo)系如圖, 覆蓋曲面 的半頂角為 , 利用球坐標(biāo)系, 則ddsind2RS 衛(wèi)星覆蓋面積為SAd0202ddsinR)cos1 (22RhRRcoshRhR22機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 故通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比為24 RA)(2hRh6610)4 . 636(21036%5 .40由以上結(jié)果可知,

57、衛(wèi)星覆蓋了地球 31以上的面積, 故使用三顆相隔32角度的通訊衛(wèi)星就幾乎可以覆蓋地球全表面. 說(shuō)明說(shuō)明: 此題也可用二重積分求 A (見下冊(cè)P109 例2) . yzxohR R內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 定義:Szyxfd),(iiiiSf),(ni 10lim2. 計(jì)算: 設(shè),),( , ),(:yxDyxyxzz則Szyxfd),(yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd(曲面的其他兩種情況類似) 注意利用球面坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、對(duì)稱性、重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算的技巧. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)P158 題1；3；4(1) ; 7 解答提示解答提示:P158

58、題1.SzyxzyIxd),()(22P158 題3. ,),( ,0:yxDyxzyxDyxyxfSzyxfdd),(d),(設(shè)則0P184 題2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 P158 題4(1).oyxz2 在 xoy 面上的投影域?yàn)?:22 yxDyxyxzzSyxdd1d22yxyxdd)(4122yxDSyxyxSdd)(41d22rrrd41d20220313這是 的面積 !2xyD)(2:22yxz機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 P159 題7. 如圖所示, 有yxyxyxSzyxDdd1)(21d2222rrrd1d21202320354tttd) 1(302221r

59、t令o21yxDzyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 P184 題2. 設(shè)),0(:2222zazyx在第為1一卦限中的部分, 則有( ).;d4d)(1SxSxA;d4d)(1SxSyB;d4d)(1SxSzC.d4d)(1SzyxSzyxDC( 2000 考研 )機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 作業(yè) P158 4(3); 5(2); 6(1), (3), (4); 8第五節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 備用題備用題 1. 已知曲面殼)(322yxz,22zyx求此曲面殼在平面 z1以上部分 的的面密度質(zhì)量 M . 解解: 在 xoy 面上的投影為 ,2:22 yxDyx故SMdr

60、rrd41d322020)41d(418162202rryxyxyxDdd)(4132213機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 設(shè) 是四面體的表0,0,0,1zyxzyx面, 計(jì)算.d)1 (12SyxI解解: 在四面體的四個(gè)面上yxz1yxdd3xyxDyx10,10:1zyx11o0zyxdd0yxzddzxzDxz10,10:0 xzyddzyzDzy10,10:同上平面方程Sd投影域機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 yyzzd)1 (1d10210 xxzzd)1 (1d102102ln) 13(233yyxxIxd)1 (1d)13(10210機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)