角提高知識(shí)講解

1、角（提高）撰稿：孫景艷審稿：趙煒【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1掌握角的概念及角的幾種表示方法，并能進(jìn)行角度的互換；2.借助三角尺畫一些特殊角，掌握角大小的比較方法；3.掌握角的和、差、倍、分關(guān)系，并會(huì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算；4.掌握互為余角和互為補(bǔ)角的概念及性質(zhì)，會(huì)用余角、補(bǔ)角及性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算；5了解方位角的概念，并會(huì)用方位角解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題【要點(diǎn)梳理】【要點(diǎn)梳理】【高清課堂：角 397364角的概念：】知識(shí)點(diǎn)一、角的概念1 角的定義：（1）定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊如圖1所示，角的頂點(diǎn)是點(diǎn)O，邊是射線OA、OB圖2圖1（2）定義二：一條射線繞著它的

2、端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部如圖2所示，射線OA繞它的端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB的位置時(shí)，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊要點(diǎn)詮釋：（1）兩條射線有公共端點(diǎn)，即角的頂點(diǎn)；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長(zhǎng)短無關(guān)（2）平角與周角：如圖1所示射線OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OB和起始位置OA成一條直線時(shí)，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時(shí)，所形成的角叫做周角2.角的表示法：角的幾何符號(hào)用“”表示，角的表示法通常有以下四種：要點(diǎn)詮釋：用數(shù)字或小寫希臘字母表示角時(shí)，要在靠近角的頂點(diǎn)處加上弧線，且注上阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫希臘字母3.角的

3、畫法（1）用三角板可以畫出30°、45°、60°、90°等特殊角；（2）用量角器可以畫出任意給定度數(shù)的角；（3）利用尺規(guī)作圖可以畫一個(gè)角等于已知角知識(shí)點(diǎn)二、角的比較與運(yùn)算1.角度制及其換算 角的度量單位是度、分、秒，把一個(gè)周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的為1分，記作“1”，1的為1秒，記作“1”這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制 1周角360°，1平角180°，1°60，160要點(diǎn)詮釋：在進(jìn)行有關(guān)度分秒的計(jì)算時(shí)，要按級(jí)進(jìn)行，即分別按度、分、秒計(jì)算，不夠減，不夠除的要借位，從高

4、一位借的單位要化為低位的單位后再進(jìn)行運(yùn)算，在相乘或相加時(shí)，當(dāng)?shù)臀坏脭?shù)大于60時(shí)要向高一位進(jìn)位2.角的比較：角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種方法1：度量比較法先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大小方法2：疊合比較法把其中的一個(gè)角移到另一個(gè)角上作比較如比較AOB和AOB的大?。喝缦聢D，由圖（1）可得AOBAOB；由圖(2)可得AOBAOB；由圖(3)可得AOBAOB3.角的和、差關(guān)系如圖所示，AOB是1與2的和，記作：AOB1+2；1是AOB與2的差，記作：1AOB-2要點(diǎn)詮釋：(1)用量角器量角和畫角的一般步驟：對(duì)中(角的頂點(diǎn)與量角器的中心對(duì)齊)；重合(一邊與刻度尺上的零度線重

5、合)；讀數(shù)(讀出另一邊所在線的度數(shù)) (2)利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角4.角平分線從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線如圖所示，OC是AOB的角平分線，AOB2AOC2BOC，AOCBOC=AOB要點(diǎn)詮釋：由角平分線的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線段中點(diǎn)的思維框架一樣知識(shí)點(diǎn)三、余角和補(bǔ)角1.定義：一般地，如果兩個(gè)角的和等于9

6、0°(直角)，就說這兩個(gè)角互為余角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角 類似地，如果兩個(gè)角的和等于180°(平角)，就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角2性質(zhì)：（1）等角的余角相等（2）等角的補(bǔ)角相等要點(diǎn)詮釋：(1)互余互補(bǔ)指的是兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，互余、互補(bǔ)的兩個(gè)角只與它們的和有關(guān)，而與它們的位置無關(guān)(2)一般地，銳角的余角可以表示為(90°-)，一個(gè)角的補(bǔ)角可以表示為(180°-)顯然一個(gè)銳角的補(bǔ)角比它的余角大90°知識(shí)點(diǎn)四、方位角在航行和測(cè)繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的

7、方向是南偏西30°這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角要點(diǎn)詮釋：（1）正東，正西，正南，正北4個(gè)方向不需要用角度來表示；（2）方位角必須以正北和正南方向作為“基準(zhǔn)”，“北偏東60°”一般不說成“東偏北30°”；（3）在同一問題中觀察點(diǎn)可能不止一個(gè)，在不同的觀測(cè)點(diǎn)都要畫出表示方向的“十字線”，確定其觀察點(diǎn)的正東、正西、正南、正北的方向；（4）圖中的點(diǎn)O是觀測(cè)點(diǎn)，所有方向線(射線)都必須以O(shè)為端點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)五、鐘表上有關(guān)夾角問題鐘表中共有12個(gè)大格，把周角12等分、每個(gè)大格對(duì)應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°

8、;，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30°，時(shí)針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計(jì)算問題【典型例題】類型一、角的比較與運(yùn)算1. 利用一副三角板上的角，能畫出多少個(gè)小于180°的角，試一一畫出來【思路點(diǎn)撥】首先發(fā)現(xiàn)一副三角板上有30°，45°，60°，90°這樣4個(gè)不相等的角，利用這些角進(jìn)行一次和差，可得小于180°的所有角【答案與解析】解：除了可以畫30°，45°，60°，90°外，還可畫15°，75°，105°，120°，135

9、°，150°，165°的七個(gè)度數(shù)的角，畫法如圖所示【點(diǎn)評(píng)】利用一副三角板共可以畫出11個(gè)度數(shù)的角，分別是：30°，45°，60°，90°，15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°2.計(jì)算下列各題：(1)152°4912+20.18°； (2)82°-36°4215；(3)35°3647×9； (4)41°37÷3【答案與解析】解：(1)解法一： 20.1

10、8°20°1048 即：152°4912+20.18°173° 解法二： 152°4912152.82°， 152.82°+20.18°173° 即：152°4912+20.18°173°(2)將82°化為81°5960，則 82°-36°421545°1745 42373， 324+75°31， 35°3647×9320°313 41°37÷3=13

11、76;5220【點(diǎn)評(píng)】在角度的和、差運(yùn)算中應(yīng)先統(tǒng)一單位，都化成度或分、秒表示，然后進(jìn)行計(jì)算；在進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)，往往先把度、分、秒分別乘以倍數(shù)，將結(jié)果滿60進(jìn)1，滿60進(jìn)1°；對(duì)于除法運(yùn)算則是從度開始除，將余數(shù)化為分和以前的分?jǐn)?shù)相加再除，將余數(shù)再化成秒和以前的秒數(shù)相加再除，若除不盡往往四舍五入舉一反三：【變式】計(jì)算：(1)23°4536+66°1424；(2)180°-98°2430；(3)15°5042×3； (4)88°1448÷4【答案】(1)23°4536+66°142490&#

12、176;；(2)180°-98°243081°3530；(3)15°5042×347°326；(4)88°1448÷422°3423.如圖所示表示兩塊三角板(1)用疊合法比較1，2的大小；(2)量出圖中各角的度數(shù)，并把圖中的6個(gè)角從小到大排列，然后用“”或“”連接【答案與解析】解：(1)如圖所示，把兩塊三角板疊在一起，可得1，用同樣的方法，可得2所以21(2)用量角器量出圖中各個(gè)角的度數(shù)，分別是1245°，390°，30°，60°，90°，把它們從小到大排

13、列，有123【點(diǎn)評(píng)】比較角的大小有疊合法和度量法兩種：先將兩個(gè)角的頂點(diǎn)與頂點(diǎn)重合，一條邊與一條邊重合再比較先量出每個(gè)角的度數(shù)，然后按它們的度數(shù)來比較舉一反三：【變式】如圖，AOB的平分線OM,ON為MOA內(nèi)的一條射線，OG為AOB外的一條射線。某同學(xué)經(jīng)過認(rèn)真分析，得到一個(gè)關(guān)系式是MON=（BONAON），你認(rèn)為這個(gè)同學(xué)得到的關(guān)系式正確嗎？若正確，請(qǐng)把得到這個(gè)結(jié)論的過程寫出來?！敬鸢浮拷猓赫_，理由如下：AOB的平分線OM， AOM=MOB又MON=AOMAON=MOBAON=(BONMON)AON即有MON=BONMONAON 2MON=BONAONMON=（BONAON）類型二、余角與補(bǔ)角4

14、.(武漢武昌區(qū)期末調(diào)研考試)已知點(diǎn)O是直線AB上的一點(diǎn)，COE90°，OF是AOE的平分線(1)當(dāng)點(diǎn)C、E、F在直線AB的同側(cè)(如圖所示)時(shí)試說明BOE2COF；(2)當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)E、F在直線AB的兩旁(如圖所示)時(shí)(1)中的結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)給出你的結(jié)論并說明理由；(3)將如圖中的射線OF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)m°(0m180)，得到射線OD，設(shè)AOCn°，若BOD，則DOE的度數(shù)是多少?(用含n的式子表示)【思路點(diǎn)撥】由于本題中涉及角的數(shù)量關(guān)系，故可以選擇代數(shù)的方法來說明理由【答案與解析】解：(1)如圖，設(shè)COF， 則EOF90°- 因?yàn)镺F是AOE的平分

15、線 所以AOF90°- 所以AOC(90°-)-90°-2BOE180°-COE-AOC 180°-90°-(90°-2)2 即BOE2COF(2)成立如圖2 設(shè)AOC，則 所以BOE180°-AOE180°-(90°-)90°+ 所以BOE2COF(3)因?yàn)镈OE180°-AOE-BOD 故的度數(shù)是【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)角平分線，互余及互補(bǔ)的定義，進(jìn)行有關(guān)角的計(jì)算有一定的綜合性和代表性，主要培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力【高清課堂：角397364角的有關(guān)計(jì)算例4】舉一反三：【變式】如圖

16、，已知O是直線AC上一點(diǎn)，OD平分ÐAOB，OE在ÐBOC內(nèi)，且ÐBOEÐEOC，ÐDOE70°，求ÐEOC的度數(shù).【答案】解：設(shè)EOC=°，則ÐBOEÐEOC°，根據(jù)題意可得：解得：ÐEOC2ÐBOE80°5.輪船在海面上以每小時(shí)15海里的速度向正北方向航行，上午8時(shí)到達(dá)A處，測(cè)得燈塔C在北偏西45°方向，上午10時(shí)到達(dá)B處，又測(cè)得燈塔C在北偏西60°方向(1)根據(jù)題設(shè)條件，選用適當(dāng)?shù)谋壤弋嫵鰣D形；(2)量出BC的圖上距離，并推算出

17、BC的實(shí)際距離；輪船繼續(xù)向北航行到達(dá)D處，這時(shí)燈塔C在輪船的正西方向，這時(shí)CD的實(shí)際距離是多少?(3)你能確定輪船到達(dá)D處時(shí)的時(shí)間嗎?【答案與解析】解：(1)如圖所示作圖步驟如下：從點(diǎn)A引南北、東西方向的兩條直線，并畫出DAC45°；輪船從8時(shí)到10時(shí)共航行了30海里，在南北方向上截取AB7 mm(這時(shí)圖距7 mm表示30海里)；畫DBC60°，射線AC、BC的交點(diǎn)C就是燈塔C的實(shí)際位置；在圖上作CDA90°，CD與AD交于點(diǎn)D(2)從圖中依次量出BC22 mm，BD11 mm，CD19 mm，那么BC的實(shí)際距離為94(海里)，CD的實(shí)際距離為19×81(海里)(3)BD的實(shí)際距離為47(海里)，輪船船速為15海里時(shí)，所以，輪船到達(dá)D處所需時(shí)間為3.14(小時(shí))，即3小時(shí)8分24秒3小時(shí)8分24秒+10小時(shí)13小時(shí)8分24秒 答：輪船到達(dá)D處時(shí)的時(shí)間是13時(shí)8分24秒【點(diǎn)評(píng)】以A點(diǎn)作為南北方向所構(gòu)成的平角的頂點(diǎn)，由觀察點(diǎn)A、B的位置以及它們與燈塔C的夾角，由此可確定燈塔C的位置，然后根據(jù)比例尺和草圖準(zhǔn)確地畫圖，并計(jì)算即可類型三、鐘表上有關(guān)夾角問題6.在7時(shí)到7時(shí)10分之間的什么時(shí)刻，時(shí)針與分針成一條直線?【答案與解析】解：設(shè)7時(shí)x分鐘，時(shí)針與分針成一條直線，由題意得：， 答：7時(shí)分鐘時(shí)針與分針成一條直線【點(diǎn)評(píng)】時(shí)鐘上