中考數(shù)學(xué)壓軸題專項匯編專題中點模型

1、專題19中點模型9 / 9破解策略1 .倍長中線在AB. M為BC邊的中點.圖1圖2(1)如圖1,連結(jié)AM并延長至點F,使得 ME= AM 連結(jié)CE則4AB陣 ECM(2)如圖2,點D在AB邊上，連結(jié) D所延長至點 E.使得M已DM連結(jié)CE,則 BDMceim遇到線段的中點問題，常借助倍長中線的方法還原中心對稱圖形，利用“8”字.形全等將題中條件集中，達到解題的目的，這種方法是最常用的也是最重要的方法.2 .構(gòu)造中位線在ABC3. D為AB邊的中點,圖1圖2(1)如圖1,取AC邊的中點E,連結(jié)DE則DEI BC且DF= 1 BC. 21 (2)如圖2.延長BC至點F,使得CF= BC.連結(jié)CD

2、 AF.則DC/ AF,且DC= 1 AE.2三角形的中位線從位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系兩方面將將圖形中分散的線段關(guān)系集中起來.常需要再找一個中點來構(gòu)造中位線，或者倍長某線段構(gòu)造中位線，3 .等腰三角形“三線合一”如圖，在 ABC中，若AB= AC.通常取底邊 BC的中點D.則ADLBC且AD平分/ BAD.事實上，在 ABB： AB= AC ADF分/ BAC BD= CD ADL BC.對于以上四條語句，任意選擇兩個作為條件，就可以推出另兩條結(jié)論，即“知二得二”.4.直角三角形斜邊中線如圖，在 ABC!, / ABC= 90,取 AC的中點 D,連結(jié) BD 則有 BD= AD= CD= -1 AC

3、2反過來，在 ABC43,點D在AC邊上，若BD= AD= CD= 1 AC則有/ ABC= 902例題講解例1如圖，在四邊形 ABC珅，E、F分別是AB CD的中點，過點 E作AB的垂線，過點 F 作CD的垂線，兩垂線交于點 G,連結(jié)AG BG CG且/ AGD= / BGC若AD BC所在直線互相垂直，求AD的值EF解 由題意可得 AG序口 DGC1共頂點等頂角的兩個等腰三角形，所以 AG窿 BGC AG9 EGF方法一：如圖1,連結(jié)CE并延長到H,使EHh EC連EH AH則AH/ BC AH= BC 而 AD= BC ADI BC所以AD= AH ADL AH連結(jié)DH則 ADH等腰直角

4、三角形，又因為E F分別為CH CD的中點，所以ADEF4 2DH 2方法二：如圖2,連結(jié)BD并取中點H,連結(jié)EH, FH則E%AQ且EH/ AD FH=二BC 22而AD= BC ADL BC所以 EHF為等腰直角三角形，所以 AD = 2EH 2EF EF例2 如圖，在 ABC中，BC= 22, BDLAC于點D CEL AB于E, F、G分別是BC DE的中點，若ED= 10,求FG的長.解：連結(jié) ER DF,由題意可得 ER DF分別為RR BEC RR BDCM邊的中線，所以 DF= EF1BC= 11,而 G為 DE的中點，所以 DG= EG= 5, FGL DE 所以 RTAFG

5、計，F(xiàn)G= JdF 2 DG2 2=46例3 已知：在 RTAAC街口 RTA AEF中，/ ACB= / AE已90,若P是BF的中點，連結(jié) PCPE(1)如圖1,若點E、F分別落在邊AB AC上，請直接寫出此時 PC與PE的數(shù)量關(guān)系.(2)如圖2,把圖1中的4AEF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點 E落在邊CA的延長線上時，上 述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由.(3)如圖3,若點F落在邊AB上，則上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不 成立，請說明理由.解(1)易得PC= PE= - BF,即PC與PE相等.2(2)結(jié)論成立.理由如下：如圖4,延長C汽 EF的延長線

6、于點 D,則BC/ FD易證 BP挈 FPD所以PC= PD而/CED= 90,所以 PE= 1CD= PC2D(3)結(jié)論仍成立，理由如下：如圖5,過點F作FD/ BC交CP的延長線于點 D,易得PD= PC FD= BC所以AE EF EFAC BC FD而/ AFE= / PBC= / PFD 所以/ EAC= 1802/AFE= / EFD如圖，連結(jié) CE ED 則4 EACEFD 所以/ AEC= / FED / CED= / AEF= 90,所以 PE= 1 CD= PC2例 4 已知： ABC等腰三角形，/ BAG= 900, DELCE DE= CE= 1AC 連結(jié) AE M是

7、AE 2的中點(1)如圖1,若D在aABC勺內(nèi)部，連結(jié) BD N是BD的中點，連結(jié) MN NE求證：MNLAE(2)如圖2,將圖1中的?？诨螯cC逆時針旋車專,使/ BCD= 30,連結(jié)BD N是BD的中點，連結(jié)MN求MNAC解：（1）如圖3,延長ENS點F,使得NE NE連結(jié)FB易證 DE隼 BFN從而可得BF II DE BF= DE延長FB, CE交于點G,則/ G= 90,從而A、B、G C四點共圓所以/ ABF= / ACE 連結(jié) AF,所以 ABB ACE （SAS,所以 AF= AE AFL AE,而 MN/ AF所以 MN= 1AE, MN_ AE2(2)如圖4,同(1)可得，M

8、Nk 1AE MN_ AE由題意可得 AO 2CE彳EHL AC于H,則 2ZECH= 600,所以 CHh 1EC= 1AC EH=蟲 AC,從而 AE= J AH 2 EH 2 7 AC ,所以 2442MN 7AC 4進階訓(xùn)練I.如圖， AB建口ACEtB是直角三角形，其中/ ABD=/ACE= 90 ,且點 C在AB上，連結(jié)DE M為DE的中點，連結(jié) BMI CMI求證：BMk CM【答案】略【提示】延長 CM D皎于點F,則/ CBF= 90 , CMEA FMD 從而BM= - CF= CM2AE2.我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為中垂三角形” .如圖 1, AF, BE是 AB

9、C的中 線，且AF BE于點P,像 ABC這樣的三角形均.稱為中垂三角形，設(shè) BC= a, AC= b, AB= c.(1)猜想a 2, b2, c2三者之間的關(guān)系，并加以證明；(2)如圖2,在平行四邊形 ABC前，E, F, G分別是 AD BC CD上的中點.BEL EGAD= 2 75 , AB= 3.求 AF的長.【答案】（1） a2 + b2 =5c2,證明略；（2） AF= 4. r PE PF EF 1,【提布】（1）如圖，連結(jié)EF,由中位線定理可得 =.在RtAAPEBPB PA BA 2RtAAPEB口 RtBPF中，利用勾股定理即可得到a 2 + b2 =5c2;（2）如圖

10、，取 AB的中點H,連結(jié)FH, AG由中位線定理可得 FH/ AC/ EG從而FH ，BE,易證 AP降A(chǔ)FPB5所以AP= FP,所以 ABF是“中垂三角形”從而利用（1）中結(jié) 論求得AF的長.ADE3.巳知： ABC和4ADE是等腰直角三角形，/ACB= / AD號90 , F為BE的中點.連結(jié)DF CF.圖3（1）如圖，當(dāng)點D在AB上，點E在AC上時，請直接寫出此時線段 DF, CF的數(shù)量關(guān)系 和位置關(guān)系（不用證明）；（2）如圖2.在（1）的條件下將 AD或點A順時針旋轉(zhuǎn)45 .請你判斷此時（1） 中的結(jié)論是否仍然成立，并證明你的判斷；（3）如圖3 .在（1）的條件下將 ADE點A順時針

11、旋轉(zhuǎn)角 風(fēng),請你判斷此時（1） 中的結(jié)論是否仍然成立，井證明你的判斷.【答案】（1） DE CF, DCF; （2）成立；（3）成立.【提示】（2）延長DF交BC于點G則 DEg GBF從而得DF= GF CD= CG即得證.(3)延長CF至點G,使得FG= CF,連結(jié)EG則GE= C比CA GEL AC可彳導(dǎo)/ CAD= ZGE).連結(jié) DG CD 從而 ADC2 EDG(SAS ,即得證.4一巳知：P是平一行四邊形ABCD寸角線AC所在直線上的一個動點（不與點 A C重合）.分 別過點A、C向直線BP作垂線，垂足分別為 E, F, O為AC的中點，如圖1.將直線BP繞點 B逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)/ OF