八年級軸對稱與對稱軸提高壓軸題

1、軸對稱壓軸題1.問題背景：如圖（a）,點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，要在直線l上找一點(diǎn)C,使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點(diǎn)B關(guān)于l的對稱點(diǎn)B',連接A B與直線l交于點(diǎn)C,則點(diǎn)C即為所求.（1）實(shí)踐運(yùn)用：如圖（b）,已知，。的直徑CD為4,點(diǎn)A在。O上，/ACD=30°, B為弧AD 的中點(diǎn)，P為直徑CD上一動(dòng)點(diǎn)， 則BP+AP的最小值為 .（2）知識(shí)拓展：如圖（c）,在Rt ABC中，AB=10 , /BAC=45 °, / BAC的平分線交 BC于點(diǎn)D, E、F分別是線段 AD和AB上 的動(dòng)點(diǎn)，求BE+EF的最小值，并寫出解答過程.2. （1）觀察發(fā)現(xiàn)如圖（

2、1）:若點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)，在直線 m上找一點(diǎn)P,使AP+BP的值最小，做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于直線m的對稱點(diǎn)B',連接AB與直線m的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn) P,線段AB的長度即為AP+BP的 最小值.三二去C圖口）圖3）如圖（2）:在等邊三角形 ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn), 最小，做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn) C重合，連接CE交AD 1AD是高，在 AD上找一點(diǎn) P,使BP+PE的值點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P,故BP+PE的最小值為.（2）實(shí)踐運(yùn)用如圖（3）:已知OO的直徑CD為2, AC的度數(shù)為60°,點(diǎn)B是AC的值最小，則 BP+AP的值最小，則 BP+A

3、P的最小值為 阿（3）國（4）（3）拓展延伸的中點(diǎn)，在直徑 CD上作出點(diǎn)P,使BP+AP如圖（4）:點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，分別在邊 AB、BC上作出點(diǎn)M,點(diǎn)N,使PM+PN+MN的值最小，保留 作圖痕跡，不寫作法.如圖（1）,要在燃?xì)夤艿纋上修建一個(gè)泵站，分別向 A、B兩鎮(zhèn)供氣.泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？你可以在l上找?guī)讉€(gè)點(diǎn)試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？聰明的小華通過獨(dú)立思考，很快得出了解決這個(gè)問題的正確辦法.他把管道l看成一條直線（圖（2）,問題就轉(zhuǎn)化為，要在直線l上找一點(diǎn)P,使AP與BP的和最小.他的做法是這樣的： 作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B連接AB交直線l于點(diǎn)P,則

4、點(diǎn)P為所求.請你參考小華的做法解決下列問題.如圖在ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，BC=6 , BC邊上的高為4,請你在BC邊上確定一點(diǎn) P,使4PDE得周長最小.（1）在圖中作出點(diǎn) P （保留作圖痕跡，不寫作法）.（2）請直接寫出 4PDE周長的最小值： .4. （1）觀察發(fā)現(xiàn)：如（a）圖，若點(diǎn)A, B在直線l同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P,使AP+BP的值最小.做法如下：作點(diǎn) B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B',連接AB',與直線l的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn) P.再如（b）圖，在等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在 AD上找一點(diǎn) 巳 使BP+PE的值最小.做法如

5、下：作點(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn) P,故BP+PE 的最小值為.（2）實(shí)踐運(yùn)用：如（c）圖，已知OO的直徑CD為4, /AOD的度數(shù)為60°,點(diǎn)B是茄的中點(diǎn)，在直徑 CD上找一點(diǎn)P,使BP+AP的值最小，并求 BP+AP的最小值.（3）拓展延伸：如（d）圖，在四邊形 ABCD的對角線AC上找一點(diǎn)P,使/ APB= / APD.保留作圖痕跡，不必寫出作法.29 / 315 .幾何模型：條件：如下圖，A、B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn).問題：在直線l上確定一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小.方法：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A',連接AB交l于

6、點(diǎn)P,則PA+PB=A B的值最小(不必證明).模型應(yīng)用：(1)如圖1,正方形ABCD的邊長為2, E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn).連接 BD ,由正方形對稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對稱.連接ED交AC于P,則PB+PE的最小值是 ;(2)如圖2,。的半徑為2,點(diǎn)A、B、C在。上，OA ± OB , / AOC=60 °, P是OB上一動(dòng)點(diǎn)，求 PA+PC的 最小值；(3)如圖3, /AOB=45°, P是/AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=10, Q、R分別是 OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，求 4PQR周長的最小6 .如圖，已知平面直角坐標(biāo)系，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A (2, -

7、3), B (4, -1).(1)若P (p, 0)是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng) p=時(shí)，4PAB的周長最短；(2)若C (a, 0), D (a+3, 0)是x軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng) a=時(shí)，四邊形ABDC的周長最短；(3)設(shè)M, N分別為x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，請問：是否存在這樣的點(diǎn)M (m, 0)、N (0, n),使四邊形ABMN的周長最短？若存在，請求出m=, n= (不必寫解答過程)；若不存在，請說明理由.7.需要在高速公路旁邊修建一個(gè)飛機(jī)場，使飛機(jī)場到A, B兩個(gè)城市的距離之和最小，請作出機(jī)場的位置.8 .如圖所示，在一筆直的公路MN的同一旁有兩個(gè)新開發(fā)區(qū) A, B,已知AB=10千米，直

8、線 AB與公路MN的夾角/AON=30°,新開發(fā)區(qū)B到公路MN的距離BC=3千米.(1)新開發(fā)區(qū)A到公路MN的距離為 ;(2)現(xiàn)要在MN上某點(diǎn)P處向新開發(fā)區(qū) A, B修兩條公路PA, PB,使點(diǎn)P到新開發(fā)區(qū)A, B的距離之和最短.此時(shí)PA+PB=(千米).9 .如圖：(1)若把圖中小人平移，使點(diǎn) A平移到點(diǎn)B,請你在圖中畫出平移后的小人；(2)若圖中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸邊 l上點(diǎn)P處喝水后，再游到 B,但要使游泳的路程最短，試 在圖中畫出點(diǎn) P的位置.1,庠:JJii1'I l) |i1A_'1! T1_L_'_;員j11；ipN*N111 1

9、1LI ：fc11|<g1：1li1卜i! i1!-iho11 j , F -*1： iib1NiLI1| 1X：ri*IIi l .1 _ _J1L!1111JM11bJli ii liL111;|11111j ii i10 .如圖，在直角坐標(biāo)系中，等腰梯形ABB1A1的對稱軸為y軸.(1)請畫出：點(diǎn) A、B關(guān)于原點(diǎn)。的對稱點(diǎn)A2、B2 (應(yīng)保留畫圖痕跡，不必寫畫法，也不必證明)(2)連接AiA2、B1B2 (其中A2、B2為(1)中所畫的點(diǎn))(3)設(shè)線段AB兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A (-2, 4)、B (-使A1B1C與4A2B2c的周長之和最?。咳舸嬖?，求出點(diǎn)，試證明：x軸垂直平分線

10、段 A1A2、B1B2；4, 2),連接(1)中A2B2,試問在x軸上是否存在點(diǎn) C, C的坐標(biāo)(不必說明周長之和最小的理由)；若不存在，11 .某大型農(nóng)場擬在公路 L旁修建一個(gè)農(nóng)產(chǎn)品儲(chǔ)藏、加工廠，將該農(nóng)場兩個(gè)規(guī)模相同的水果生產(chǎn)基地A、B的水果集中進(jìn)行儲(chǔ)藏和技術(shù)加工，以提高經(jīng)濟(jì)效益.請你在圖中標(biāo)明加工廠所在的位置C,使A、B兩地到加工廠 C的運(yùn)輸路程之和最短.(要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明)I AB12 .閱讀理解如圖1, AABC中，沿/ BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿/B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿/BnAnC的平分線An

11、Bn+1折疊，點(diǎn)Bn與點(diǎn)C重合，無論折疊多少次，只要最后一 次恰好重合，Z BAC是4ABC的好角.小麗展示了確定 / BAC是4ABC的好角的兩種情形.情形一：如圖2,沿等腰三角形 ABC頂角/ BAC的平分線AB1折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合；情形二：如圖3,沿/BAC的平分線AB 1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿ZB1A1C 的平分線A1B2折疊，此時(shí)點(diǎn) B1與點(diǎn)C重合.探究發(fā)現(xiàn)(1) AABC中，/B=2/C,經(jīng)過兩次折疊，/BAC是不是4ABC的好角？ (填是"或不是“).(2)小麗經(jīng)過三次折疊發(fā)現(xiàn)了 /BAC是AABC的好角，請?zhí)骄? B與/ C (不妨設(shè)/ B > /

12、C)之間的等量關(guān)系.根 據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過 n次折疊/BAC是AABC的好角，則/ B與/C (不妨設(shè)ZB>ZC)之間的等量關(guān)系為 應(yīng)用提升(3)小麗找到一個(gè)三角形，三個(gè)角分別為15。、60。、105。，發(fā)現(xiàn)60。和105。的兩個(gè)角都是此三角形的好角.請你完成，如果一個(gè)三角形的最小角是4。，試求出三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)，使該三角形的三個(gè)角均是此三角形的好角.413 .如圖，AABC中AB=AC , BC=6 ,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BA移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn) Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段AC的延長線移動(dòng)，已知點(diǎn) P、Q移動(dòng)的速度相同，PQ與直線BC相交于點(diǎn)D.(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，求CD的長

13、；(2)如圖，過點(diǎn)P作直線BC的垂線垂足為E,當(dāng)點(diǎn)P、Q在移動(dòng)的過程中，線段 BE、DE、CD中是否存在長度保持不變的線段？請說明理由;14 . (2012?東城區(qū)二模)已知：等邊 4ABC中，點(diǎn)。是邊AC, BC的垂直平分線的交點(diǎn)，M, N分別在直線 AC,BC 上，且/ MON=60 °.(1)如圖1,當(dāng)CM=CN時(shí)，M、N分別在邊AC、BC上時(shí)，請寫出 AM、CN、MN三者之間的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2,當(dāng)CMRN時(shí)，M、N分別在邊AC、BC上時(shí)，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請你加以證明；若不成立，請說明理由；(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)M在邊AC上，點(diǎn)N在BC的延長線上時(shí)，請直接

14、寫出線段AM、CN、MN三者之間的數(shù)量關(guān)系.V15.如圖，線段 CD垂直平分線段 AB, CA的延長線交 求證：DE=DF .BD的延長線于E, CB的延長線交 AD的延長線于F,16.如圖，在 4ABC和4DCB中，AB=DC , AC=DB , AC與DB交于點(diǎn) M.求證:(1) AABCADCB;(2)點(diǎn)M在BC的垂直平分線上.17 .如圖，4ABC的邊BC的垂直平分線 DE交ABAC的外角平分線 AD于D, E為垂足，DFLAB于F,且AB >AC,求證：BF=AC+AF .18 .已知4ABC的角平分線 AP與邊BC的垂直平分線 PM相交于點(diǎn)P,作PKAB, PLXAC,垂足分

15、別是 K、L, 求證：BK=CL .19.某私營企業(yè)要修建一個(gè)加油站，如圖，其設(shè)計(jì)要求是，加油站到兩村 n的距離也必須相等，那么加油站應(yīng)修在什么位置，在圖上標(biāo)出它的位置.A、B的距離必須相等，且到兩條公路（要有作圖痕跡）m、20 .如圖，在 4ABC中，AB=AC , / A=120 °, BC=9cm , AB的垂直平分線 MN交BC于M ,交AB于N ,求BM21 .如圖，在4ABC中，/BAC的平分線與 BC的垂直平分線 PQ相交于點(diǎn) P,過點(diǎn)P分另作PNXAB于N,PM，AC 于點(diǎn)M,求證：BN=CM .22 .如圖己知在 4ABC中，/C=90°, /B=15&#

16、176;, DE垂直平分 AB, E為垂足交 BC于D, BD=16cm ,求AC長.2013年10月初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一.解答題（共22小題）1. （2013?日照）問題背景：如圖（a）,點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，要在直線l上找一點(diǎn)C,使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點(diǎn)B關(guān)于l的對稱點(diǎn)B',連接A B與直線l交于點(diǎn)C,則點(diǎn)C即為所求.W2（1）實(shí)踐運(yùn)用：如圖（b）,已知，。的直徑CD為4,點(diǎn)A在。O上，/ACD=30°, B為弧AD 的中點(diǎn)，P為直徑CD上一動(dòng)點(diǎn)， 則BP+AP的最小值為.（2）知識(shí)拓展：如圖（c）,在Rt ABC中，AB=10 , /BA

17、C=45 °, / BAC的平分線交 BC于點(diǎn)D, E、F分別是線段 AD和AB上 的動(dòng)點(diǎn)，求BE+EF的最小值，并寫出解答過程.考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題.分析：（1）找點(diǎn)A或點(diǎn)B關(guān)于CD的對稱點(diǎn)，再連接其中一點(diǎn)的對稱點(diǎn)和另一點(diǎn)，和 MN的交點(diǎn)P就是所求作的位置.根據(jù)題意先求出/C'AE,再根據(jù)勾股定理求出 AE,即可得出PA+PB的最小值； （2）首先在斜邊 AC上截取AB =AB ,連結(jié)BB 再過點(diǎn)B作B FLAB ,垂足為F,交AD于巳 連結(jié)BE,則線段BF的長即為所求.解答：解：（1）作點(diǎn)B關(guān)于CD的對稱點(diǎn)巳連接AE交CD于點(diǎn)P此時(shí)PA+PB最小，且等于 AE .作

18、直徑AC',連接C'E.根據(jù)垂徑定理得弧 BD=弧DE. / ACD=30 °, ./AOD=60 °, Z DOE=30 °, . / AOE=90 °,/ C AE=45 °,又AC為圓的直徑，. / AEC =90°, ./C = /C'AE=45°, . C E=AE=gAC =2厄即AP+BP的最/、值是2M.故答案為：22;（2）如圖，在斜邊 AC上截取 AB =AB ,連結(jié)BB. AD 平分 ZBAC ,點(diǎn)B與點(diǎn)B關(guān)于直線AD對稱.過點(diǎn)B作BFXAB ,垂足為F,交AD于E,連結(jié)BE,

19、則線段B F的長即為所求.（點(diǎn)到直線的距離最短）在 RtA AFB 中， / BAC=45 °, AB =AB=10 ,B F=AB ' Sin45 =AB ?sin45 =10點(diǎn)評:此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑問題以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí),根據(jù)已知得出對應(yīng)點(diǎn).BE+EF的最小值為Er/2.P位置是解題關(guān)鍵.2. （2013?六盤水）（1）觀察發(fā)現(xiàn)如圖（1）:若點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)，在直線 m上找一點(diǎn)P,使AP+BP的值最小，做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于直線m的對稱點(diǎn)B',連接AB與直線m的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn) P,線段AB的長度即為AP+BP的最小值.如圖（2）:在等邊

20、三角形 ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在 AD上找一點(diǎn) P,使BP+PE的值 最小，做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn) C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn) P,故BP+PE的最小值 為：；（2）實(shí)踐運(yùn)用如圖（3）:已知OO的直徑CD為2, AC的度數(shù)為60°,點(diǎn)B是AC的中點(diǎn)，在直徑 CD上作出點(diǎn)P,使BP+AP的值最小，則 BP+AP的值最小，則 BP+AP的最小值為 V2（3）拓展延伸如圖(4)作圖痕跡,考點(diǎn)： 專題：分析：:點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，分別在邊 AB、BC上作出點(diǎn)M,點(diǎn)N,使PM+PN+MN的值最小，保留 不寫作法.圓的綜

21、合題；軸對稱-最短路線問題.壓軸題.(1)觀察發(fā)現(xiàn)：利用作法得到 CE的長為BP+PE的最小值；由AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，根 據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到 CEXAB , / BCE=a / BCA=30 °, BE=1 ,再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得CE=”；(2)實(shí)踐運(yùn)用：過 B點(diǎn)作弦BEXCD,連結(jié)AE交CD于P點(diǎn)，連結(jié) OB、OE、OA、PB,根 據(jù)垂徑定理得到 CD平分BE,即點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于CD對稱，則AE的長就是BP+AP的最小值;由于菽的度數(shù)為60°,點(diǎn)B是正廠的中點(diǎn)得到 /BOC=30°,/AOC=60°,所以ZAOE=60 +3

22、0 =90°,于是可判斷4OAE為等腰直角三角形，則 AE=V2OAW2；(3)拓展延伸：分別作出點(diǎn) P關(guān)于AB和BC的對稱點(diǎn)E和F,然后連結(jié)EF, EF交AB于M、 交BC于N.解答:解：(1)觀察發(fā)現(xiàn)如圖(2), CE的長為BP+PE的最小值，.在等邊三角形 ABC中，AB=2 ,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn) CEXAB , Z BCE=ZBCA=30 °, BE=1 ,2 .CE= ：；BE=.故答案為Vs；(2)實(shí)踐運(yùn)用如圖(3),過B點(diǎn)作弦BEXCD,連結(jié) AE交CD于P點(diǎn)，連結(jié) OB、OE、OA、PB , .BEX CD, .CD平分BE,即點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于CD對稱， &am

23、p;C的度數(shù)為60°,點(diǎn)B是A0的中點(diǎn)， ./BOC=30 °, /AOC=60 °, / EOC=30 °, . / AOE=60 +30 =90°, .OA=OE=1 ,.,.ae=V2oa=|V2,.AE的長就是BP+AP的最小值.故答案為V2；點(diǎn)評:(3)拓展延伸 如圖(4).本題考查了圓的綜合題：弧、弦和圓心角之間的關(guān)系以及圓周角定理在有關(guān)圓的幾何證明中經(jīng) 常用到，同時(shí)熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)以及軸對稱-最短路徑問題.3. （2012?涼山州）在學(xué)習(xí)軸對稱的時(shí)候，老師讓同學(xué)們思考課本中的探究題.如圖（1）,要在燃?xì)夤艿纋上修建一個(gè)泵站

24、，分別向 A、B兩鎮(zhèn)供氣.泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？你可以在l上找?guī)讉€(gè)點(diǎn)試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？聰明的小華通過獨(dú)立思考，很快得出了解決這個(gè)問題的正確辦法.他把管道l看成一條直線（圖（2）,問題就轉(zhuǎn)化為，要在直線l上找一點(diǎn)P,使AP與BP的和最小.他的做法是這樣的： 作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B連接AB交直線l于點(diǎn)P,則點(diǎn)P為所求.請你參考小華的做法解決下列問題.如圖在ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，BC=6 , BC邊上的高為4,請你在BC邊上確定一點(diǎn) P,使4PDE得周長最小.（1）在圖中作出點(diǎn) P （保留作圖痕跡，不寫作法）.（2）請直接寫出 4PDE周長的

25、最小值：8 .考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題.專題：壓軸題.分析：（1）根據(jù)提供材料 DE不變，只要求出DP+PE的最小值即可，作D點(diǎn)關(guān)于BC的對稱點(diǎn)D',連接D'E,與BC交于點(diǎn)P, P點(diǎn)即為所求；（2）利用中位線性質(zhì)以及勾股定理得出DE的值，即可得出答案.解答：解：（1）作D點(diǎn)關(guān)于BC的對稱點(diǎn)D',連接D'E,與BC交于點(diǎn)P,P點(diǎn)即為所求；(2)二.點(diǎn)D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)， .DE為4ABC中位線，BC=6 , BC邊上的高為 4, .DE=3, DD =4, .D E=Jde2+DD , 2=732 + 42=5, PDE周長的最小值為： DE+D

26、E=3+5=8 , 故答案為：8.點(diǎn)評:此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑以及三角形中位線的知識(shí), 小值，求出DP+PE的最小值即可是解題關(guān)鍵.根據(jù)已知得出要求4PDE周長的最4. （2010?淮安）（1）觀察發(fā)現(xiàn)：如（a）圖，若點(diǎn)A, B在直線l同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P,使AP+BP的值最小.做法如下：作點(diǎn) B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B',連接AB',與直線l的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn) P.再如（b）圖，在等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在 AD上找一點(diǎn) 巳 使BP+PE的值最小.做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所

27、求的點(diǎn) P,故BP+PE 的最小值為V3（2）實(shí)踐運(yùn)用：如（c）圖，已知OO的直徑CD為4, /AOD的度數(shù)為60°,點(diǎn)B是7市的中點(diǎn)，在直徑 CD上找一點(diǎn)P,使BP+AP的值最小，并求 BP+AP的最小值.（3）拓展延伸：如（d）圖，在四邊形 ABCD的對角線AC上找一點(diǎn)P,使/ APB= / APD.保留作圖痕跡，不必寫出作法.考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題.分析：（1）首先由等邊三角形的性質(zhì)知，CEXAB ,在直角4BCE中，Z BEC=90 BC=2 , BE=1 ,由勾股定理可求出CE的長度，從而得出結(jié)果；（2）要在直徑CD上找一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小，設(shè) A '是

28、A關(guān)于CD的對稱點(diǎn)，連接 A'B,與 CD的交點(diǎn)即為點(diǎn)P.此時(shí)PA+PB=A B是最小值，可證AOA B是等腰直角三角形， 從而得出結(jié)果.（3）畫點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B',延長DB'交AC于點(diǎn)P.則點(diǎn)P即為所求.解答：解：（1） BP+PE的最小值 =a/ec2 - BE2=7s2 - 12=5.（2）作點(diǎn)A關(guān)于CD的對稱點(diǎn) A；連接A'B,交CD于點(diǎn)P,連接OAAA OB .點(diǎn)A與A關(guān)于CD對稱，ZAOD的度數(shù)為60°,/ A OD= / AOD=60 °, PA=PA點(diǎn)b是AD的中點(diǎn),/ BOD=30 °,，乙 A OB= /

29、AOD+ / BOD=90 °,OO的直徑CD為4,，OA=OA =2, .A B=2點(diǎn).PA+PB=PA +PB=A B=2/2.(3)如圖d:首先過點(diǎn) B作BBAC于。，且 OB=OB 連接DB并延長交AC于P.(由AC是BB '的垂直平分線，可得 / APB= / APD). 點(diǎn)評:此題主要考查軸對稱-最短路線問題，解決此類問題，一般都是運(yùn)用軸對稱的性質(zhì)，將求折線問 題轉(zhuǎn)化為求線段問題，其說明最短的依據(jù)是三角形兩邊之和大于第三邊.5. (2009?漳州)幾何模型：條件：如下圖，A、B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn).問題：在直線l上確定一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小.方法：作點(diǎn)A關(guān)

30、于直線l的對稱點(diǎn)A',連接AB交l于點(diǎn)P,則PA+PB=A B的值最小(不必證明).模型應(yīng)用：(1)如圖1,正方形ABCD的邊長為2, E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn).連接 BD ,由正方形對稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對稱.連接ED交AC于P,則PB+PE的最小值是；(2)如圖2,。的半徑為2,點(diǎn)A、B、C在。上，OA ± OB , / AOC=60 °, P是OB上一動(dòng)點(diǎn)，求 PA+PC的 最小值；(3)如圖3, Z AOB=45 °, P是/ AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=10, Q、R分別是 OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，求 4PQR周長的最小考點(diǎn)：軸對稱-最短路線

31、問題.專題：壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型.分析：(1)由題意易得 PB+PE=PD+PE=DE ,在4ADE中，根據(jù)勾股定理求得即可；(2)作A關(guān)于OB的對稱點(diǎn)A',連接AC,交OB于P,求A C的長，即是 PA+PC的最小值；(3)作出點(diǎn)P關(guān)于直線OA的對稱點(diǎn)M,關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)N,連接MN,它分別與 OA, OB的交點(diǎn)Q、R,這時(shí)三角形 PEF的周長=MN ,只要求MN的長就行了.解答：解：(1)二.四邊形ABCD是正方形， AC垂直平分 BD, .PB=PD ,由題意易得：PB+PE=PD+PE=DE ,在4ADE中，根據(jù)勾股定理得，DE=J7PJE；(2)作A關(guān)于OB的對稱點(diǎn)A'

32、,連接A C,交OB于P, PA+PC的最小值即為A C的長， / AOC=60 °Z A 00=120°作 ODA 'C 于 D,則 Z A OD=60 ° .OA =0A=2 .A D=V3 A 02的；(3)分別作點(diǎn) P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn) M、N,連接OM、ON、MN , MN交OA、OB于點(diǎn)Q、 R,連接PR、PQ,此時(shí)4PQR周長的最小值等于 MN .由軸對稱性質(zhì)可得， OM=ON=OP=10 , / MOA= / POA, / NOB= / POB,，/MON=2 Z AOB=2 M5°=90°,即 PQR周長的最小值等

33、于 1明.此題綜合性較強(qiáng)，主要考查有關(guān)軸對稱-最短路線的問題，綜合應(yīng)用了正方形、圓、等腰直角 三角形的有關(guān)知識(shí).在 RtA MON 中，MN=+02=61()2+10 2=10/.點(diǎn)評:6. (2006?湖州)如圖，已知平面直角坐標(biāo)系，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A (2, -3), B (4, -1).(1)若P (p, 0)是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng) P總時(shí)，PAB的周長最短；(2)若C (a, 0), D (a+3, 0)是x軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng) a上時(shí)，四邊形ABDC的周長最短；4(3)設(shè)M, N分別為x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，請問：是否存在這樣的點(diǎn)M (m, 0)、N (0, n),使四邊形AB

34、MN的周長最短？若存在，請求出 m=W，n=(不必寫解答過程)；若不存在，請說明理由.考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題；坐標(biāo)與圖形性質(zhì).專題：壓軸題.分析：(1)根據(jù)題意，設(shè)出并找到B (4, -1)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是B',其坐標(biāo)為(4,1),進(jìn)而可得直線AB'的解析式，進(jìn)而可得答案；(2)過A點(diǎn)作AE，x軸于點(diǎn)E,且延長 AE,取A'E=AE .做點(diǎn)F (1, -1),連接A'F .利用兩 點(diǎn)間的線段最短，可知四邊形 ABDC的周長最短等于 A'F+CD+AB ,從而確定C點(diǎn)的坐標(biāo)值.(3)根據(jù)對稱軸的性質(zhì)，可得存在使四邊形ABMN周長最短的點(diǎn) M、N,當(dāng)且

35、僅當(dāng)mfi , n=2-旦時(shí)成立.3解答:解：(1)設(shè)點(diǎn)B (4, - 1)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是B',其坐標(biāo)為(4, 1),設(shè)直線AB'的解析式為y=kx+b ,把 A (2, -3), B' (4, 1)代入得:儼田-3,4k+b-l解得J ",b=-7, y=2x - 7,令 y=0 得 x=-,即 p=.2(2)過A點(diǎn)作AEx軸于點(diǎn)E,且延長 AE,取A'E=AE .做點(diǎn)F (1 , - 1),連接A'F.那么A' (2, 3).3 1( - 1 )L.rr直線A'F的斛析式為y - 1二.(X 1 )，即y=4x 5,.C

36、點(diǎn)的坐標(biāo)為(a, 0),且在直線 A'F上，(3)存在使四邊形 ABMN周長最短的點(diǎn) M、N,作A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A 彳B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B 連接A B 與x軸、y軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)M、N,.A ' ( 2, -3), B' (4, 1),直線A'B'的解析式為：y=-x -M (£, 0), N (0,點(diǎn)評:考查圖形的軸對稱在實(shí)際中的運(yùn)用，同時(shí)考查了根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線解析式，運(yùn)用解析式求直線 與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等知識(shí).7. （2007?慶陽）需要在高速公路旁邊修建一個(gè)飛機(jī)場，使飛機(jī)場到 A, B兩個(gè)城市的距離之和最小，請作出機(jī)場 的位置.考點(diǎn)：軸對稱

37、-最短路線問題.專題：作圖題.分析：利用軸對稱圖形的性質(zhì)可作點(diǎn) A關(guān)于公路的對稱點(diǎn) A連接A'B,與公路的交點(diǎn)就是點(diǎn) P的位置.點(diǎn)評：本題主要是利用軸對稱圖形來求最短的距離.用到的知識(shí)：兩點(diǎn)之間線段最短.8. （2006?貴港）如圖所示，在一筆直的公路MN的同一旁有兩個(gè)新開發(fā)區(qū) A, B,已知AB=10千米，直線 AB與公路MN的夾角/AON=30 °,新開發(fā)區(qū)B到公路MN的距離BC=3千米.（1）新開發(fā)區(qū) A到公路MN的距離為 8 ;（2）現(xiàn)要在MN上某點(diǎn)P處向新開發(fā)區(qū) A, B修兩條公路PA, PB,使點(diǎn)P到新開發(fā)區(qū)A, B的距離之和最短.此 時(shí) PA+PB= 14 （千

38、米）.VC0 V考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題.專題：計(jì)算題；壓軸題.分析：（1）先求出OB的長，從而得出 OA的長，再根據(jù)三角函數(shù)求得到公路的距離.（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得 EF=CD=BC=3 , AF=AE+EF=AE+BC=11 ,再根據(jù)余弦概念求解.解答：解：（1） BC=3, /AOC=30°, .OB=6 .過點(diǎn) A 作 AE ±MN 于點(diǎn) E, AO=AB+OB=16 , .AE=8 .即新開發(fā)區(qū)A到公路的距離為8千米；（2）過D作DFLAE的延長線（點(diǎn) D是點(diǎn)B關(guān)于MN的對稱點(diǎn)），垂足為F. 貝U EF=CD=BC=3 , AF=AE+EF=AE+BC=11 ,

39、 過B作BG, AE于G, .BG=DF , BG=AB ?cos30°=5V3, 期二五產(chǎn)+以2 二（5行）。二= 14，連接 PB,貝U PB=PD, ，PA+PB=PA+PD=AD=14 （千米）.點(diǎn)評:此題主要考查學(xué)生利用軸對稱的性質(zhì)來綜合解三角形的能力.9. （2006?巴中）如圖：（1）若把圖中小人平移，使點(diǎn) A平移到點(diǎn)B,請你在圖中畫出平移后的小人；（2）若圖中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸邊l上點(diǎn)P處喝水后，再游到在圖中畫出點(diǎn) P的位置.B,但要使游泳的路程最短，試考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題；作圖-軸對稱變換；作圖-平移變換.專題：作圖題.分析：根據(jù)平移的規(guī)律找

40、到點(diǎn) B,再利用軸對稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，找到點(diǎn)A的對稱點(diǎn),連接A1B與l相交于點(diǎn)P,即為所求.解答:點(diǎn)評：本題考查的是平移變換與最短線路問題.最短線路問題一般是利用軸對稱的性質(zhì)解題，通過作軸對稱圖形，利用軸對稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間 線段最短可求出所求的點(diǎn).作平移圖形時(shí)，找關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)也是關(guān)鍵的一步.平移作圖的一般步驟為：確定平移的方向和距離，先確定一組對應(yīng)點(diǎn)；確定圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)； 利用第一組對應(yīng)點(diǎn)和平移的性質(zhì)確定圖中所有關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)； 按原圖形順序依次連接對應(yīng)點(diǎn)，所得到的圖形即為平移后的圖形.10. (2003?泉州)如圖，在直角坐標(biāo)系中，等腰梯形ABB1A1的對稱軸為y軸.(1

41、)請畫出：點(diǎn) A、B關(guān)于原點(diǎn)。的對稱點(diǎn)A2、B2 (應(yīng)保留畫圖痕跡，不必寫畫法，也不必證明)；(2)連接A1A2、B1B2 (其中A2、B2為(1)中所畫的點(diǎn))，試證明：x軸垂直平分線段 A1A2、B1B2；(3)設(shè)線段AB兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A (-2, 4)、B (- 4, 2),連接(1)中A2B2,試問在x軸上是否存在點(diǎn) C, 使A1B1C與4A2B2c的周長之和最小？若存在，求出點(diǎn) C的坐標(biāo)(不必說明周長之和最小的理由)；若不存在，考點(diǎn)：作圖-軸對稱變換；線段垂直平分線的性質(zhì)；軸對稱-最短路線問題.專題：作圖題；證明題；壓軸題；探究型.分析：(1)根據(jù)中心對稱的方法，找點(diǎn) A2, B

42、2,連接即可.(2)設(shè) A(X1, y1)、B (x2, y2)依題意與(1)可得 A1 ( - x1, y1) , B1 ( x2, y2) , A2 (一 X1, - y1), B2 (-x2, - y2),得到A1、B1關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是 A2、B2,所以x軸垂直平分線段 A1A2、B1B2.(3)根據(jù)A1與A2, B1與B2均關(guān)于x軸對稱，連接 A2B1交x軸于C,點(diǎn)C為所求的點(diǎn).根據(jù) 題意得 B1 (4, 2) , A2 (2, - 4)所以可求直線 A2B1的解析設(shè)直線A2B1的解析式為y=kx+b則利用待定系數(shù)法.解得式為 y=3x - 10.令 y=0,得 x=1曰 3,所以C

43、的坐標(biāo)為（，0）.即點(diǎn)3M , 0)能使 A1B1C 3解答:與4A2B2c的周長之和最小.解：（1）如圖，A2、B2為所求的點(diǎn).(2)設(shè) A (x1, y1)、B (x2, y2)依題意與(1)可得 A1 ( x1, y1), B1 ( - x2, y2), A2 ( x1, - y1),.A1、B1關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是 A2、B2,，x軸垂直平分線段 A1A2、B1B2.B2 ( X2, 一 y2)（3）存在符合題意的 C點(diǎn).由（2）知Ai與A2, B1與B2均關(guān)于x軸對稱， ，連接A2B1交x軸于C,點(diǎn)C為所求的點(diǎn). A （-2, 4） , B （-4, 2）依題意及（1）得:B1 （4,

44、 2）, A2 （2, 4）.設(shè)直線A2B1的解析式為y=kx+b則有4kH=22k+b=-4k=3b二-L0直線A2B1的解析式為y=3x - 10,.C的坐標(biāo)為（，0)綜上所述，點(diǎn)C （竺，0）能使A1B1C與4A2B2c的周長之和最小.點(diǎn)評:主要考查了軸對稱的作圖和性質(zhì)，以及垂直平分線的性質(zhì).要知道對稱軸垂直平分對應(yīng)點(diǎn)的連 線.會(huì)根據(jù)此性質(zhì)求得對應(yīng)點(diǎn)利用待定系數(shù)法解一次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.11. （2001?宜昌）某大型農(nóng)場擬在公路L旁修建一個(gè)農(nóng)產(chǎn)品儲(chǔ)藏、加工廠，將該農(nóng)場兩個(gè)規(guī)模相同的水果生產(chǎn)基地C,使A、B兩地到A、B的水果集中進(jìn)行儲(chǔ)藏和技術(shù)加工，以提高經(jīng)濟(jì)效益.請你在圖中標(biāo)明加

45、工廠所在的位置 加工廠C的運(yùn)輸路程之和最短.（要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明）考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題.專題: 分析: 解答:點(diǎn)評:作圖題.作A關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)E,連接BE交直線L于C,則C為所求.答：如圖：E.本題主要考查對軸對稱-最短路線的問題的理解和掌握，根據(jù)題意正確畫出圖形是解此題的關(guān)鍵,12. （2012?淮安）閱讀理解如圖1, AABC中，沿/BAC的平分線ABi折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿 /BlAlC的平分線A1B2折疊，剪 掉重復(fù)部分；將余下部分沿/BnAnC的平分線AnBn+1折疊，點(diǎn)Bn與點(diǎn)C重合，無論折疊多少次，只要最后一 次恰好重合，/BAC是

46、4ABC的好角.小麗展示了確定 / BAC是4ABC的好角的兩種情形.情形一：如圖2,沿等腰三角形 ABC頂角/ BAC的平分線AB1折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合；情形二：如圖3,沿/BAC的平分線AB 1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿ZB1A1C 的平分線A1B2折疊，此時(shí)點(diǎn) B1與點(diǎn)C重合.探究發(fā)現(xiàn)（1） AABC中，/B=2/C,經(jīng)過兩次折疊，/BAC是不是4ABC的好角？是 （填 是”或 不是“）.（2）小麗經(jīng)過三次折疊發(fā)現(xiàn)了 /BAC是AABC的好角，請?zhí)骄? B與/ C （不妨設(shè)/ B > / C）之間的等量關(guān)系.根 據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過 n次折疊/BAC是AABC的好角，則/

47、B與/C （不妨設(shè)ZB>ZC）之間的等量關(guān)系為_ / B=n / C .應(yīng)用提升（3）小麗找到一個(gè)三角形，三個(gè)角分別為15。、60。、105。，發(fā)現(xiàn)60。和105。的兩個(gè)角都是此三角形的好角.請你完成，如果一個(gè)三角形的最小角是4。，試求出三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)，使該三角形的三個(gè)角均是此三角形的好角.考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）.專題：壓軸題；規(guī)律型.分析：（1）在小麗展示的情形二中，如圖3,根據(jù)根據(jù)三角形的外角定理、折疊的性質(zhì)推知 /B=2/C;（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)、根據(jù)三角形的外角定理知/ A1A2B2=/C+/A2B2c=2/C;根據(jù)四邊形的外角定理知 /BAC+2/B-2C=180&

48、#176;，根據(jù)三角形 ABC的內(nèi)角和定理知ZBAC+ ZB+ZC=180°，由 可以求得 /B=3/C;利用數(shù)學(xué)歸納法，根據(jù)小麗展示的三種情形得出結(jié)論：/ B=n / C;（3）利用（2）的結(jié)論知 /B=n/C, / BAC 是AABC 的好角，/C=n/A, /ABC 是AABC 的好角，/A=n/B, /BCA是4ABC的好角；然后三角形內(nèi)角和定理可以求得另外兩個(gè)角的度數(shù) 可以是 4、172; 8、168; 16、160; 44、132; 88°、88°.解答：解：（1） AABC中，/B=2/C,經(jīng)過兩次折疊， /BAC是4ABC的好角；理由如下：小麗展示

49、的情形二中，如圖3,沿/BAC的平分線 AB1折疊，/ B= /AA1B1;又.將余下部分沿/B1A1C的平分線A1B2折疊，此時(shí)點(diǎn)B1與點(diǎn)C重合，/ A1BC=/ C； / AA 1B1=/C+/A1B1C （外角定理），/B=2/C, /BAC 是AABC 的好角.故答案是：是；（2） /B=3/C;如圖所示，在 4ABC中，沿/ BAC的平分線 AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余 下部分沿/B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重復(fù)部分，將余下部分沿/B2A2c的平分線A2B3折疊，點(diǎn)B2與點(diǎn)C重合，則/ BAC是4ABC的好角.證明如下：: 根據(jù)折疊的性質(zhì)知， /B=/AA1B1, /C=/

50、A2B2C, Z A1 B1C=Z A1A2B2,，根據(jù)三角形的外角定理知，ZA1A2B2=Z C+ /A2B2c=2/ C;: 根據(jù)四邊形的外角定理知，/ BAC+ / B+ / AA1B1 - / A1 BC=/ BAC+2 / B - 2/ C=180°,根據(jù)三角形 ABC的內(nèi)角和定理知， ZBAC+ Z B+Z C=180°,/ B=3/ C;由小麗展示的情形一知，當(dāng) /B=/C時(shí)，ZBAC是4ABC的好角；由小麗展示的情形二知，當(dāng) /B=2/C時(shí)，ZBAC是4ABC的好角；由小麗展示的情形三知，當(dāng) /B=3/C時(shí)，ZBAC是AABC的好角；故若經(jīng)過n次折疊/BAC

51、是4ABC的好角，則/B與/C （不妨設(shè)/ B > / C）之間的等量關(guān)系 為 / B=n/C;（3）由（2）知設(shè) /A=4°, ./C 是好角，./B=4n°:/A 是好角，Z C=m Z B=4mn ,其中 m、n 為正整數(shù)得 4+4n+4mn=180，如果一個(gè)三角形的最小角是4°,三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)是4、172; 8、168; 16、160; 44、132; 88°、88°.點(diǎn)評:本題考查了翻折變換（折疊問題）.解答此題時(shí)，充分利用了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角定 理以及折疊的性質(zhì).難度較大.*413. （2013?青羊區(qū)一模）

52、如圖， 4ABC中AB=AC , BC=6 ,9心5二二，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線 BA移動(dòng)，同時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段AC的延長線移動(dòng)，已知點(diǎn) P、Q移動(dòng)的速度相同，PQ與直線BC相交于點(diǎn)D.（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，求CD的長；（2）如圖，過點(diǎn)P作直線BC的垂線垂足為E,當(dāng)點(diǎn)P、Q在移動(dòng)的過程中，線段 BE、DE、CD中是否存在長 度保持不變的線段？請說明理由；考點(diǎn)： 專題: 分析:等腰三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).幾何綜合題；壓軸題；分類討論.(1)過點(diǎn)P做PF平行與AQ,由平行我們得出一對同位角和一對內(nèi)錯(cuò)角的相等，再由 AB=AC , 根據(jù)等邊對等角得角 B和角ACB的相等

53、，根據(jù)等量代換的角B和角PFB的相等，根據(jù)等角對等邊得BP=PF,又因點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，且速度相同即 BP=CQ,等量代換得PF=CQ,在加上對 等角的相等，證得三角形 PFD和三角形QCD的全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊邊相等得出DF=CD= JcF,而又因P是AB的中點(diǎn)，PF/ AQ得出F是BC的中點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)已知的 BC的長，求出CF,即可得出CD的長.(2)分兩種情況討論，第一種情況點(diǎn)P在線段AB上，根據(jù)等腰三角形的三線合一得BE=EF,再又第一問的全等可知 DF=CD ,所以ed=ef+FD=BE+DC=403，得出線段de的長為定值；第二種情況，P在BA的延長線上，作 PM平行于A

54、C交BC的延長線于 M,根據(jù)兩直線平行，同位角解答:相等推出角PMB等于角ACB ,而角ACB等于角ABC ,根據(jù)等量代換得到角 ABC等于角PMB , 根據(jù)等角對等邊得到 PM等于PB,根據(jù)三線合一，得到 BE等于EM,同理可得4PMD全等于 QCD,得到CD等于DM ,根據(jù)DE等于EM減DM ,把EM換為BC加CM的一半，化簡后得 到值為定值.解：(1)如圖，過 P點(diǎn)作PF/ AC交BC于F,點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，且速度相同，BP=CQ ,1. PF/ AQ ,Z PFB= Z ACB , /DPF=/CQD, X/AB=AC ,/ B= Z ACB ,/ B= ZPFB,.BP=PF,PF

55、=CQ ,又 / PDF= / QDC ,證得PFDQCD,DF=CD=、CF,又因P是AB的中點(diǎn),.F是BC的中點(diǎn)，即PF / AQ,FC=BC=3 ,CD=-CF= 2(2)分兩種情況討論，得 ED為定值，是不變的線段如圖，如果點(diǎn)P在線段AB上，過點(diǎn)P作PF/ AC交BC于F,PBF為等腰三角形，PB=PF,BE=EF,PF=CQ , .FD=DC ,ed沖十pgBE+DC等(X，.ED為定值，同理，如圖，若P在BA的延長線上,作PM / AC的延長線于 M ,，/B=/PMC,PM=PB ,根據(jù)三線合一得 BE=EM ,同理可得PMDQCD,所以CD=DM ,點(diǎn)評:此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判斷與性質(zhì)，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，是一道綜合題.14. (2012?東城區(qū)二模)已知：等邊 4ABC中，點(diǎn)。是邊AC, BC的垂直平分線的交點(diǎn)，M, N分別在直線 AC,BC 上，且/ MON=60 °.(1)如圖1,當(dāng)CM=CN時(shí)，M、N分別在邊AC、BC上時(shí)，請寫出 AM