質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué) (2)

1、關(guān)于質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué) (2)第一頁，共49頁幻燈片第第 二二 章章質(zhì)質(zhì) 點(diǎn)點(diǎn) 動動 力力 學(xué)學(xué)（3 3）動能定律動能定律功能原理功能原理角動量守恒定律角動量守恒定律第二頁，共49頁幻燈片2-7 2-7 功和功和動動能能Fs (1) (1)功的定義功的定義: :力在位移方向上的分量和該位力在位移方向上的分量和該位移大小的乘積。移大小的乘積。cossFsFWssFW第三頁，共49頁幻燈片(2)(2)變力的功：變力的功： bazyxbazyxbaabzFyFxFkzj yi xkFjFiFrFWdddddbababaabrFrFrFWdcosddabmOrdFrrFWdd元功元功第四頁，共49頁幻燈片 例

2、例1 一個(gè)人從一個(gè)人從10m10m深的井中，把深的井中，把10kg10kg的水勻速地提的水勻速地提上來。由于桶漏水，每升高上來。由于桶漏水，每升高1m1m漏去漏去0.2kg0.2kg的水。問把水從的水。問把水從井的水面提到井口，人所做的功。井的水面提到井口，人所做的功。 F=mg= F=mg=( (MMkyky) ) g g d dW=FW=F d dy=y=( (MMkyky) )g gd dy y 所以所以100ddWWMky g y100100.29.8d882Jyy 解解取一維坐標(biāo)，以水井水面為原點(diǎn)取一維坐標(biāo)，以水井水面為原點(diǎn)o o，oyoy軸向上。軸向上。設(shè)水在高度設(shè)水在高度 y y

3、 處其質(zhì)量為處其質(zhì)量為mm，據(jù)題意得，據(jù)題意得 mm= =MMky ky 其中其中MM=10kg=10kg，k k=0.2kg/m=0.2kg/m，又設(shè)拉力為，又設(shè)拉力為F F，則有，則有第五頁，共49頁幻燈片例例2求萬有引力的功。求萬有引力的功。abmMrdrFrdrrdrrMmGrrMmGrrrMmGWdcosddd222abbarMmGrMmGrrMmGWd2解解第六頁，共49頁幻燈片abavmvbvrdF222121dddddddabbabababaabmmmrtmrmarFrFWbavvvvvvv定義質(zhì)點(diǎn)的動能為：定義質(zhì)點(diǎn)的動能為：221vmEk，則：，則： 質(zhì)點(diǎn)動能定理質(zhì)點(diǎn)動能定理

4、 合外力對質(zhì)點(diǎn)所做的功等于質(zhì)點(diǎn)動合外力對質(zhì)點(diǎn)所做的功等于質(zhì)點(diǎn)動能的增量。能的增量。kakbabEEW第七頁，共49頁幻燈片 解解例例1m=0.1kg的質(zhì)點(diǎn)沿曲線的質(zhì)點(diǎn)沿曲線 運(yùn)動，求在運(yùn)動，求在t=0s到到t=2s的時(shí)間內(nèi)，作用在該質(zhì)點(diǎn)的合外力對質(zhì)的時(shí)間內(nèi)，作用在該質(zhì)點(diǎn)的合外力對質(zhì)點(diǎn)所做的功。點(diǎn)所做的功。j titr2353）（，J 202121sm 404 2sm 2 025dd202212102vvvvvmmWttjittr) J (20d5d5ddddd2d5d2033222ttWttrFWi ttrmFj ti ttr或或第八頁，共49頁幻燈片例例2一鏈條總長為一鏈條總長為l，質(zhì)量為，

5、質(zhì)量為m，放在桌面上并使之下垂，放在桌面上并使之下垂，下垂的長度為，下垂的長度為a。設(shè)鏈條與桌面的滑動摩擦系數(shù)為。設(shè)鏈條與桌面的滑動摩擦系數(shù)為，令鏈條從靜止開始運(yùn)動，則，令鏈條從靜止開始運(yùn)動，則：（：（1）到鏈條離開桌）到鏈條離開桌面的過程中，摩擦力對鏈條做了多少功？（面的過程中，摩擦力對鏈條做了多少功？（2）鏈條離）鏈條離開桌面時(shí)的速率是多少？開桌面時(shí)的速率是多少？22)(2)21(d)()(allmgxlxlmgxlxlmgWlxlmgflalaf 解解（1）第九頁，共49頁幻燈片22222222220202)()(212)(2)(2)(d2102121alallgmlalmglalmgl

6、almgxxlmgWmWWmmWWlaGfGfGvvvvvv（2）對）對鏈條應(yīng)用動能定理鏈條應(yīng)用動能定理得得第十頁，共49頁幻燈片 (1)保守力作功與路徑無關(guān)，只取決于質(zhì)點(diǎn)始末保守力作功與路徑無關(guān)，只取決于質(zhì)點(diǎn)始末位置。因而存在一個(gè)由質(zhì)點(diǎn)位置決定的一個(gè)態(tài)函數(shù)位置。因而存在一個(gè)由質(zhì)點(diǎn)位置決定的一個(gè)態(tài)函數(shù) U(r) ，這個(gè)態(tài)函數(shù)稱之為，這個(gè)態(tài)函數(shù)稱之為勢能。勢能。保守力做功等于勢能增量的負(fù)值：保守力做功等于勢能增量的負(fù)值：UWabrMmGrMmGW2-8 2-8 勢勢 能能第十一頁，共49頁幻燈片(2)勢場中某一點(diǎn)的勢能勢場中某一點(diǎn)的勢能)(d)()()(dababbabaabrUrFrUrUrU

7、rFW設(shè)設(shè)a點(diǎn)的勢能為點(diǎn)的勢能為0，則，則abbabrFrFrUdd)(勢能零點(diǎn)rrFrUd)(第十二頁，共49頁幻燈片(3)保守力和勢能函數(shù)的微分關(guān)系保守力和勢能函數(shù)的微分關(guān)系zUFyUFxUFzFyFxFrFUzyxzyx,ddddd )(kzUjyUixUF第十三頁，共49頁幻燈片UxO由勢能曲線可以知道：由勢能曲線可以知道：1)、保守力作功等于勢能的、保守力作功等于勢能的 減少。在一維情況下有減少。在一維情況下有 一元過程：一元過程：)(ddxUxFxxUFd)(d即即 因此，保守力大小等于勢能曲線的斜率，因此，保守力大小等于勢能曲線的斜率，方向指向勢能減少的方向。方向指向勢能減少的方

8、向。(4)一維勢能曲線一維勢能曲線第十四頁，共49頁幻燈片 2)、可判斷質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動范圍?？膳袛噘|(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動范圍。在封閉保守系統(tǒng)中，在封閉保守系統(tǒng)中，作總能量為作總能量為 E 的水平線，與勢能曲線相交的點(diǎn)表示的水平線，與勢能曲線相交的點(diǎn)表示E= =U，這些位置物體的這些位置物體的Ek=0=0。UXOEkEUA BCDME)(2)(212xUEmxExUxm第十五頁，共49頁幻燈片UXOEkEUME1M2MN 3)、勢能曲線上每一個(gè)局部的最低點(diǎn)、勢能曲線上每一個(gè)局部的最低點(diǎn)( ( “谷谷”) ) 都是穩(wěn)都是穩(wěn)定平衡點(diǎn)，勢能曲線上每個(gè)局部最高點(diǎn)（定平衡點(diǎn)，勢能曲線上每個(gè)局部最高點(diǎn)（ “峰峰”）都是）都

9、是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，一旦質(zhì)點(diǎn)偏離了不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)就會不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，一旦質(zhì)點(diǎn)偏離了不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)就會遠(yuǎn)離而去。因此，勢能曲線還能形象地表示出系統(tǒng)的穩(wěn)定遠(yuǎn)離而去。因此，勢能曲線還能形象地表示出系統(tǒng)的穩(wěn)定性。性。第十六頁，共49頁幻燈片kEHHEohUU重力勢能重力勢能mghU kEEABxoUU彈性勢能彈性勢能221kxU ErUo0kEkEU引力勢能引力勢能rMmGU第十七頁，共49頁幻燈片ro)(rU0r1E3E分子力勢能曲線分子力勢能曲線2E第十八頁，共49頁幻燈片例例1一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，放在半徑為的質(zhì)點(diǎn)，放在半徑為R，質(zhì)量線密度為，質(zhì)量線密度為 （質(zhì)量均勻分布）的四分之一的圓周

10、的圓心上，如圖所（質(zhì)量均勻分布）的四分之一的圓周的圓心上，如圖所示，則該質(zhì)點(diǎn)受到該圓周的萬有引力及該圓周與質(zhì)點(diǎn)間示，則該質(zhì)點(diǎn)受到該圓周的萬有引力及該圓周與質(zhì)點(diǎn)間的萬有引力勢能為多少的萬有引力勢能為多少?22/2dcos0dcoscosddd)d(d442222GmRRGmURGmRRGmFFRRGmFFRRGmRMGmFxyx解解4545xyom第十九頁，共49頁幻燈片例例2已知萬有引力勢能為已知萬有引力勢能為rMmGrU)(應(yīng)用保守力與勢能的微分關(guān)系，求萬有引力。應(yīng)用保守力與勢能的微分關(guān)系，求萬有引力。 222rzrGMmyUFryrGMmyUFrxrGMmxUFzyx )( 2rrrMmG

11、kzUjyUixUF解一解一在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中解二解二2ddrMmGrUFr第二十頁，共49頁幻燈片例例 3 對于彈簧振子，對于彈簧振子，(1) 畫出畫出U (x) x 曲線，并作一曲線，并作一高度為高度為E的水平線，試說明圖上哪段的水平線，試說明圖上哪段x范圍是振子可范圍是振子可以到達(dá)的。以到達(dá)的。 (2)作作 x x 曲線，并討論其運(yùn)動情況。曲線，并討論其運(yùn)動情況。E2xoUExox 221kxU 常量222121kxxm解解第二十一頁，共49頁幻燈片2-92-9能量守恒定律能量守恒定律由動能定理：由動能定理：222122111211ddddkkErfrFErfrF1m2m12f

12、21f2s1s1F2F第二十二頁，共49頁幻燈片212211122211ddddkkEErfrfrFrFkEWW內(nèi)力外力系統(tǒng)外力的系統(tǒng)外力的功功系統(tǒng)內(nèi)力的功系統(tǒng)內(nèi)力的功系統(tǒng)動能的系統(tǒng)動能的增量增量 質(zhì)點(diǎn)系的動能定理質(zhì)點(diǎn)系的動能定理系統(tǒng)的外力和內(nèi)力作功的總和等系統(tǒng)的外力和內(nèi)力作功的總和等于系統(tǒng)動能的增量。于系統(tǒng)動能的增量。111211ddkErfrF222122ddkErfrF第二十三頁，共49頁幻燈片而保守內(nèi)力作功而保守內(nèi)力作功：21UUW保守內(nèi)力設(shè)系統(tǒng)從狀態(tài)設(shè)系統(tǒng)從狀態(tài)1變化到狀態(tài)變化到狀態(tài)2 ，由動能定理，由動能定理12kkEEWWW非保守內(nèi)力保守內(nèi)力外力)()(1122UEUEWWkk非

13、保守內(nèi)力外力則則pkUEE叫做系統(tǒng)的叫做系統(tǒng)的機(jī)械能。機(jī)械能。12EEWW非保守內(nèi)力外力即即 功能原理功能原理 系統(tǒng)機(jī)械能的增量等于外力的系統(tǒng)機(jī)械能的增量等于外力的功和非保守內(nèi)力的功的代數(shù)和。功和非保守內(nèi)力的功的代數(shù)和。第二十四頁，共49頁幻燈片 如果一個(gè)系統(tǒng)內(nèi)只有保守內(nèi)力做功，或者外如果一個(gè)系統(tǒng)內(nèi)只有保守內(nèi)力做功，或者外力與非保守內(nèi)力的總功為零，則機(jī)械能的總值保持力與非保守內(nèi)力的總功為零，則機(jī)械能的總值保持不變不變 。pkUE常量常量 12EEWW非保守內(nèi)力外力功能原理功能原理這一結(jié)論稱為這一結(jié)論稱為機(jī)械能守恒定律。機(jī)械能守恒定律。第二十五頁，共49頁幻燈片解解 把物體和地球作為系統(tǒng)。摩擦力

14、所作的功把物體和地球作為系統(tǒng)。摩擦力所作的功例例1 在圖中，一個(gè)質(zhì)量在圖中，一個(gè)質(zhì)量m=2kg的物體從靜止開始，沿四的物體從靜止開始，沿四分之一的圓周從分之一的圓周從A滑到滑到B。已知圓的半徑。已知圓的半徑R=4m，物體在，物體在B處的速度處的速度v=6m/s。求摩擦力所作的功。求摩擦力所作的功。 ORABNGfrvJmgRmEEWAB4 .4248 . 9262212122v第二十六頁，共49頁幻燈片例例2 在圖中，一個(gè)質(zhì)量為在圖中，一個(gè)質(zhì)量為m的物體從靜止開始，沿質(zhì)量的物體從靜止開始，沿質(zhì)量為為M的四分之一圓弧形槽從的四分之一圓弧形槽從A滑到滑到B。 已知圓的半徑為已知圓的半徑為R。設(shè)所有

15、摩擦都可忽略，。設(shè)所有摩擦都可忽略， 求求（1）物體剛離開槽底時(shí)，物體剛離開槽底時(shí)，物體和槽的速度各是多少？物體和槽的速度各是多少？ （2）在物體從）在物體從A滑到滑到B的的過程中，物體對槽所做的功過程中，物體對槽所做的功W。（。（3）物體到達(dá)）物體到達(dá)B時(shí)對槽時(shí)對槽的壓力。的壓力。解解（1）把物體）把物體m、槽、槽M和地球作為系統(tǒng)，以地面為參和地球作為系統(tǒng)，以地面為參考系。設(shè)物體離開槽底時(shí)，考系。設(shè)物體離開槽底時(shí)，物體和槽的速度分別為物體和槽的速度分別為v、V。由機(jī)械能守恒定律有由機(jī)械能守恒定律有222121MVmmgRv又由水平方向動量守恒定律有又由水平方向動量守恒定律有0VvMm ORA

16、BNGvMm第二十七頁，共49頁幻燈片（2 2）對）對M，由動能定理可得物體所做功，由動能定理可得物體所做功0212MVWmMgRm2（3 3）當(dāng)）當(dāng)m到達(dá)到達(dá)B點(diǎn)瞬時(shí)點(diǎn)瞬時(shí), , M可視為以速度可視為以速度V運(yùn)動的慣運(yùn)動的慣 性系。以性系。以M為參考系，為參考系， m到達(dá)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)相對于點(diǎn)時(shí)相對于M 的速度為的速度為v 。則由。則由v = = v V 可得可得222121MVmmgRv0VvMm解解 ORABNGvMm得得)(222mMMgRmVmMMgRv第二十八頁，共49頁幻燈片由牛頓定律有由牛頓定律有RmmgN2v所以所以MmgmMmgRmmgN)(22vmgMm)23( MgRmMm

17、MMgRMmmMMgRmmMMgRv)(22)1 ()(22第二十九頁，共49頁幻燈片例例3質(zhì)量為質(zhì)量為 m 和和 M 的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，最初它們相距很遠(yuǎn)，的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，最初它們相距很遠(yuǎn)，并處于靜止。在引力相互作用下相互趨近，當(dāng)兩質(zhì)點(diǎn)相并處于靜止。在引力相互作用下相互趨近，當(dāng)兩質(zhì)點(diǎn)相距距 r 時(shí)，它們的相對速度為多少？時(shí)，它們的相對速度為多少？0vmMV)(2mMrGmV0212122rMmGmMVv)(2mMrGMvrmMGV)(2vv相對解解解得解得第三十頁，共49頁幻燈片練習(xí)練習(xí)1用用v0=20m/s的初速度將一質(zhì)量為的初速度將一質(zhì)量為m=0.5kg 的物體豎直上拋，所達(dá)到的高度的物體豎直上拋，

18、所達(dá)到的高度h=16m，則空氣，則空氣對它的平均阻力是對它的平均阻力是_ _ 。)0()210(20mghmvWfmafmg)(351212N.hmvmghfhva220解法一解法一解法二解法二第三十一頁，共49頁幻燈片練習(xí)練習(xí)2測子彈速度的方法如圖所示。已知子彈質(zhì)量測子彈速度的方法如圖所示。已知子彈質(zhì)量m=0.02kg，木塊質(zhì)量，木塊質(zhì)量M=9.98kg，彈簧勁度系數(shù)，彈簧勁度系數(shù)k=100N/m ，子彈射入木塊后，彈簧被壓縮了，子彈射入木塊后，彈簧被壓縮了s=0.10m，求子彈的速度，求子彈的速度v。設(shè)木塊與平面間摩擦因。設(shè)木塊與平面間摩擦因數(shù)數(shù) =0.2。 gmMfvmMkxfxvmMm

19、v)()(2121)(2121解解第三十二頁，共49頁幻燈片第三十三頁，共49頁幻燈片定義力定義力 對參考點(diǎn)對參考點(diǎn)O的力矩為的力矩為 FFrMrFmOFrMr2-102-10角動量角動量（1 1）力矩）力矩第三十四頁，共49頁幻燈片prLOrvmp vmrL（2 2）動量矩）動量矩( (角動量角動量) )zyxpppzyxkjiprL第三十五頁，共49頁幻燈片解解(1)力矩力矩FrMmgbrFMsinbPxymO方向：垂直于屏幕向內(nèi)。方向：垂直于屏幕向內(nèi)。例例一個(gè)質(zhì)量為一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)從的質(zhì)點(diǎn)從P點(diǎn)由靜止開始沿點(diǎn)由靜止開始沿y軸自由下軸自由下落。以原點(diǎn)落。以原點(diǎn)O為參考點(diǎn)，求：為參考點(diǎn)，求

20、：(1)任意時(shí)刻作用在任意時(shí)刻作用在m上的力矩上的力矩M；(2)任意時(shí)刻的角動量任意時(shí)刻的角動量L；mgbtmgtbmvbL方向：垂直于屏幕向內(nèi)。方向：垂直于屏幕向內(nèi)。PrL(2)角動量角動量第三十六頁，共49頁幻燈片)dd(ddtrmFrtmFvvtrtrtrtrrtdddddddd)(ddvvvvvvv)(dd)(dd)(ddprtmrtrtmFrvvtLMdd第三十七頁，共49頁幻燈片jririjijFjiFrOijMjiM 由于質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力矩互相抵消，即由于質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力矩互相抵消，即所以對質(zhì)點(diǎn)系有所以對質(zhì)點(diǎn)系有iiMtL外ddiiiiiprLL)(為質(zhì)點(diǎn)系角動量的矢量和。為質(zhì)點(diǎn)系角動量

21、的矢量和。0iiM內(nèi)第三十八頁，共49頁幻燈片 質(zhì)點(diǎn)系的角動量守恒定理質(zhì)點(diǎn)系的角動量守恒定理 對于非封閉的質(zhì)點(diǎn)對于非封閉的質(zhì)點(diǎn)系，在合外力矩等于零的條件下，其總角動量保系，在合外力矩等于零的條件下，其總角動量保持恒定。持恒定。0iiM外若若即即0ddiiMtL外iiLL恒矢量。恒矢量。則則第三十九頁，共49頁幻燈片太太 陽陽近近日日點(diǎn)點(diǎn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)日日點(diǎn)點(diǎn)例例1 哈雷彗星繞太陽運(yùn)動的軌道是一個(gè)橢圓。它哈雷彗星繞太陽運(yùn)動的軌道是一個(gè)橢圓。它離太陽最近距離是離太陽最近距離是 ，此時(shí)它的速，此時(shí)它的速率是率是 。它離太陽最遠(yuǎn)時(shí)的速率。它離太陽最遠(yuǎn)時(shí)的速率是是 ，這時(shí)它離太陽的距離，這時(shí)它離太陽的距離 是多少

22、？是多少？ m1075.8101rs/m1046. 541vs/m1008.922v2r解解 在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)，在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)，2211,vvrr2211rmrmvv根據(jù)角動量守恒定理有根據(jù)角動量守恒定理有可得可得m1008. 91046. 51075. 824102112vvrrm1026. 512第四十頁，共49頁幻燈片例例2 在光滑的水平桌面上在光滑的水平桌面上 A 點(diǎn)處放有質(zhì)量為點(diǎn)處放有質(zhì)量為 m0的木塊的木塊，木塊與彈簧相連，彈簧的另一端固定在，木塊與彈簧相連，彈簧的另一端固定在O 點(diǎn)。其勁度點(diǎn)。其勁度系數(shù)為系數(shù)為 k，開始時(shí)彈簧處于自由長度，開始時(shí)彈簧處于自由長度 l0，如圖

23、所示。設(shè)，如圖所示。設(shè)有一質(zhì)量為有一質(zhì)量為 m 的子彈以速度的子彈以速度 v0沿垂直于沿垂直于OA 方向射入木方向射入木塊，并嵌在其中。塊，并嵌在其中。 當(dāng)木塊運(yùn)動到當(dāng)木塊運(yùn)動到B點(diǎn)時(shí)，彈簧長度為點(diǎn)時(shí)，彈簧長度為 l（OBOA），試求木塊在），試求木塊在B點(diǎn)時(shí)的速度點(diǎn)時(shí)的速度 v 的大小和方向的大小和方向。m0v0mOl0lABv （1）子彈射入木塊；（子彈射入木塊；（2）子彈和木塊一起從）子彈和木塊一起從 A點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn)。點(diǎn)。分析：本題可分為分析：本題可分為兩個(gè)過程兩個(gè)過程：第四十一頁，共49頁幻燈片解解 第一過程中，子彈第一過程中，子彈和木塊的總動量守恒和木塊的總動量守恒100)(vvmmm第二過程中，機(jī)械第二過程中，機(jī)械能和角動量守恒能和角動量守恒2020210)(21)(21)(21llkmmmmvvsin)()(0010lmmlmmvv；02020202)()(mmllkmmmvv)()(sin020202001mmllkmlmlvvm0v0mOl0lABv 1v第四十二頁，共49頁幻燈片例例3輕滑輪，猴與物等重，起初系統(tǒng)靜止?，F(xiàn)在，猴以相對輕滑輪，猴與物等重，起初系統(tǒng)靜止?，F(xiàn)在，猴以相對繩的速度繩的速度v向上爬。向上爬。 求重物上