穿根法解不等式的原理參考模板

1、穿根法解不等式的原理、步驟和應用范例摘要：本文通過闡述穿根法解不等式的原理、步驟和應用范例，嘗試對其進行系統(tǒng)性的論述。在原理層面，提出該方法中不等式的標準形式為f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-xn)0，規(guī)范了序軸的概念，先后由一元一次、二次到高次不等式，動態(tài)考察了f(x)的符號變化規(guī)律，并介紹如何使用穿根法表達此規(guī)律；在步驟層面，對解高次不等式、分式不等式和含等號不等式的操作步驟進行了分類詳述；然后通過6個應用范例，進一步展現(xiàn)了穿根法解不等式的具體操作細節(jié)和若干注意事項。論文最后概括說明了穿根法的特征和實用意義。關鍵詞：穿根法；解不等式；原理；步驟；應用穿根法，又稱序軸標根法，是解一元

2、整式、分式不等式的重要通用方法，特別在解簡單高次不等式時，一直居于主流地位。然而，該方法目前尚未進入中學正式教材，在很多資料中，對此法也往往是只提應用，而對其來龍去脈，敘述不清，建構模糊。現(xiàn)結合中學一線教學經驗，通過闡述其原理、步驟和應用范例，嘗試對其進行系統(tǒng)性的論述。1 / 13一、 原理穿根法解不等式時，一般先將其化為形如：f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-xn)>0 （或<0）的標準形式，主要考察f(x)的符號規(guī)律。在穿根法中我們引入序軸的概念。序軸是一條有向直線，類似于數(shù)軸，但上面不必標出原點，也不必考慮長度單位，只要求在其上標數(shù)時，按由左至右，從小到大的順序即可。（

3、一） 一次不等式標準形式：f(x)=x-x1>0 （或<0）我們將x-x1=0的根x1標在序軸上，可以發(fā)現(xiàn)：x1右邊的點都是大于x1的點，即是x-x1>0的解；而x1左邊的點都是小于x1的點，即是x-x1<0的解。所以可以如圖標注，圖中+、- 用以表示f(x)=x-x1的符號。我們還可以以動態(tài)的思想來考察該問題。當一點x=a 從x1右側向x1左側移動時，f(x)=x-x1經歷了由正到0又到負的符號變換。由此也可得出f(x)的符號可以如圖標注的結論。（二） 二次不等式標準形式：f(x)=(x-x1)(x-x2) >0 （或<0）(1) x1x2時，不妨設x1&

4、lt;x2 將f(x)=0的二根x1、x2標在序軸上，則可以發(fā)現(xiàn)：處于(-, x1)，(x2,+)內的點滿足f(x) >0，處于(x1,x2)內的點滿足f(x) <0。當我們動態(tài)考察該問題時，我們也可以發(fā)現(xiàn)：當點x=a在x2右方時，x-x1、x-x2均正，故有f(x) >0；而當點x=a從x2右側移動到左側時，x-x2變?yōu)樨撝?，而x-x1符號不變，所以有f(x)必然變號，此時由正變負；而再當點x=a從x1右側移動到左側時，x-x1由正變負，而x-x2符號不變，所以f(x)又一次變號，此時由負變正?？傊?，無論從哪個方面看，f(x)的符號都可以如圖標注。(2) x1=x2時，即形

5、如f(x)=(x-x1)2時顯然，(-,x1)與( x1 ,+)都是f(x) >0的解。而若動態(tài)的考察此問題，則有點x=a 從x1右側移動向左側移動時，由于平方項內的x-x1由正到0又到負，所以f(x)經歷了由正到0又回到正的過程。故而f(x)在x1兩側符號同正，只有在x=x1處為0。（三） 高次不等式標準形式：f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-xn)>0 （或<0），x1x2xn(1) x1<x2<<xn時動態(tài)考察f(x)的符號，則有當點x=a在xn右方時，x-xi (i=1,2,n)均大于0，故而f(x) >0；而當點x=a從xn右側移動到左

6、側時，x-xn符號變化，而其余任一x-xi均不變號，所以有f(x)由正變負；類似可得：對任一i，當點x=a從xi右側移動到左側時，x-xi符號變化，而其余每個x-xj (ji)都不變號，所以有f(x)必然變號，或由正變負，或由負變正。就這樣，由于每過一個xi都恰有一個因式x-xi變號，所以我們可以從最右上方開始畫一條依次穿過各根的線，這正是穿根法的原理和名稱由來。(2) x1x2xn且有等號成立時其標準形式可寫為f(x)=(x-x1)m1(x-x2) m2(x-xn) mn >0 （或<0），x1<x2<<xn , miN* (i=1,2,n)當點x=a在xn右方

7、時，所有x-xi (i=1,2,n)均為正，故而f(x)為正。而每當x=a從xi右側移動到xi左側時，若mi為奇，則(x-xi) mi由正變負，f(x)符號改變；而若mi為偶，則(x-xi) mi符號不變，f(x) 符號也不變，原正仍為正，原負仍為負。這里值得一提的是，每當x=xi成立，即有f(x)= 0。所以，使用穿根法當遇到mi為奇，則穿根線在根xi穿過序軸；當遇到mi為偶，則穿根線與根xi接觸即回，好像被序軸彈了回去。此稱為“奇穿偶回”。二、 步驟（一） 一元高次不等式對于不等式f(x) >0，其中f(x)為x的高次多項式，用穿根法解的步驟如下：（1）整理原式化為標準型 把f(x)

8、進行因式分解，并化簡為下面的形式：f(x)=(x-x1)m1(x-x2) m2(x-xn) mn >0（或<0），miN* (i=1,2,n)（2） 標根在序軸上標根 將f(x)=0的n個不同的根x1,x2,xn按照大小順序標在序軸上，將序軸分為n+1個區(qū)間。（3） 畫線畫穿根線 從最大根右上方開始，按照大小順序依次經過每個根畫一條連續(xù)曲線，作為穿根線。遇奇次根穿過序軸，遇偶次根彈回，即“奇穿偶回”。（4） 選解寫出解集 如例圖，在序軸上方的曲線對應的區(qū)間為f(x)>0解集，在序軸下方的曲線對應的區(qū)間為f(x)<0解集。（二） 分式不等式一、先將不等式整理成f(x)/g

9、(x)>0或f(x)/g(x)<0的形式，其中，f(x)、g(x)為整式。二、f(x)/g(x)>0 f(x)·g(x)>0 f(x)/g(x)<0 f(x)·g(x) <0即將分式不等式轉化為整式不等式再處理。（三） 含等號的整式、分式不等式對于整式不等式，要注意寫解集時將各個根包括進去。一般只需將開區(qū)間符號改為閉區(qū)間符號，同時注意必要時合并區(qū)間。對于分式不等式，尤其要注意分母非0。 f(x)/g(x)0 f(x)·g(x)0 且 g(x)0 f(x)/g(x)0 f(x)·g(x)0且 g(x)0這樣就要求在標根時

10、，將能夠使不等式成立的根標為實點，否則標為虛點。（四） 注意分式不等式和高次不等式在化簡時每一步變形都應是不等式的等價變形。對于變形中出現(xiàn)的形如x2+px+q=0的因式，若其0，則繼續(xù)分解。若<0，則直接消去，因為此時該式恒大于0。三、 應用范例例1 解不等式：(x-1)2(x+1)(x-2)(x+4)<0具體步驟：1 將(x-1)2(x+1)(x-2)(x+4)=0的根記入演算數(shù)據(jù)區(qū)。其中，由于1是偶次根，在其下加一點以區(qū)別于其它奇次根。2 畫有向直線作為序軸，在序軸上由小到大、由左到右標根。每標一根，在數(shù)據(jù)區(qū)相應根下打一標記表示已取。標偶次根時，在序軸該根位置上方或下方加一點，

11、即偶次根標重（cong）點。3 從最大根2的右上方開始畫穿根線，首先讓線穿過根2，當接著到1時，由于1是偶次根，附近有重點，故線被彈回。然后線又依次穿過根-1和-4。如圖。4穿根線與序軸圍成的區(qū)域，序軸上方標“+”號，表示f(x)在該區(qū)間取正值。序軸下方標“-”號，表示f(x)在該區(qū)間取負值。5 所有的根均不能使不等式成立，故各根均標上虛點。6 寫出解集，一般用區(qū)間方式列出。解：用穿根法作圖如右，可知原不等式解集為：(-,-4)(-1,1)(1,2)例2 解不等式：(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-2)0解：用穿根法作圖如右。（注意“奇穿偶回”，每個根都標為實點。） 可知原不等式解集為：

12、(-,-2-11,2說明：也可將原不等式轉化為(x+2)(x+1)2(x-1)(x-2)0以后，再用穿根法做。例3 解不等式：(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)>120解：將原不等式變形：(x-1)(x-4)(x-2)(x-3)-120>0(x2-5x+4)(x2-5x+6)-120>0(x2-5x)2+10(x2-5x)-96>0(x2-5x+16)(x2-5x-6)>0(x2-5x+16)(x-6)( x+1)>0 x2-5x+16恒大于零，于是得與原不等式同解的不等式(x-6)( x+1)>0對此也可用穿根法解決，如圖所以，原不等式的解集是

13、：(-,-1)(6,+)例4 解不等式： (3x-5)/( x2+2x-3) 2解：原不等式 (3x-5-2x2-4x+6)/(x2+2x-3)0 (2x2+4x-6-3x+5)/(x2+2x-3)0 (2x2+x-1)/(x2+2x-3)0 (x+1)(2x-1)/(x+3)(x-1)0 (x+1)(2x-1)(x+3)(x-1)0 且 (x+3)(x-1)0 如圖，用穿根法，注意區(qū)分實點和虛點，可得原不等式解集為：(-,-3)-1，1/2(1,+ )例5 解關于x的不等式：(x-1)(x-t)<0解：1) t<1時，如圖用穿根法，可得原不等式解集為：(t,1) 2） t=1時，如圖用穿根法，可得原不等式解集為：3） t>1時，如圖用穿根法，可得原不等式解集為：(1,t)例6 若a±1，解關于x的不等式 (x-a)/(x+1)(x-1)0解：1) a<-1時，如圖用穿根法，原不等式解集為：(-,a)(-1,1)2） -1<a<1時，如圖用穿根法，原不等式解集為：(-, -1)a,1)3） a>1時，如圖用穿根法，原不等式解集為：(-, -1)(1, a說明：解整式、分式不等式注意事項，可記以下口訣：移項調號，分解排序，奇穿偶回，分母非零，參數(shù)討論，小心等號。四、 小結穿根法通過序軸、標根、穿根線及區(qū)間正負標志，形象的