大學物理48502

1、第二章 質(zhì)點動力學基 本 要 求一、理解牛頓三個運動定律及其適用條件。二、掌握功的定義及變力做功的計算方法。三、理解保守力做功的特點及勢能的概念。四、掌握質(zhì)點的動能定理、功能原理、動量定理，并能靈活運用解決簡單力學問題。五、掌握機械能守恒定律、動量守恒定律和它們的適用條件，以及運用守恒定律分析問題的思路和方法。內(nèi) 容 提 要一、牛頓運動定律第一定律(慣性定律) 任何物體都保持靜止或作勻速直線運動的狀態(tài)，除非作用在它上面的力迫使它改變這種狀態(tài)。力是改變物體運動狀態(tài)的原因，而并非維持物體運動狀態(tài)的原因。第二定律 在某一瞬時，物體的動量對時間的變化率等于這一瞬時作用在物體上的力，而且動量的時間變化率

2、的方向與力的方向相同。若m為常數(shù)，則有 。其中為物體所受的合外力；為物體的加速度；m為質(zhì)量，它是物體慣性大小的量度，也稱慣性質(zhì)量。第三定律 作用力與反作用力在同一直線上，大小相等而方向相反。說明：1.牛頓運動定律只適用于慣性系；2.牛頓定律是對質(zhì)點而言的，而一般物體可認為是質(zhì)點的集合，故牛頓定律具有普遍意義；3.牛頓定律是瞬時的規(guī)律。二、沖量和動量沖量 力乘以力所作用的時間，是力在時間上的積累效應(yīng)。動量 物體的質(zhì)量與速度的乘積。三、動量定理物體所受合外力的沖量等于物體動量的增量。平均沖力 四、動量守恒定律在一過程中，若系統(tǒng)所受合外力為零，則系統(tǒng)的總動量不隨時間改變。即若，則常量。說明：1.動量

3、定理及動量守恒定律只適用于慣性系；2.動量若在某一慣性系中守恒，則在其他任何慣性系中均守恒；3.若某個方向上合外力為零，則該方向上的分動量守恒，盡管總動量可能并不守恒；4.動量守恒定律在宏觀和微觀領(lǐng)域、低速和高速范圍均適用；5.若系統(tǒng)的內(nèi)力遠大于合外力，系統(tǒng)的總動量近似守恒，如爆炸問題。五、功和動能功 力和力所作用的質(zhì)點的位移的標量積，是力在空間上的積累。功依賴于參考系，是標量，有正、負之分。動能 六、動能定理合外力對物體所做的功等于物體動能的增量。七、勢能與保守力保守力 如果力所做的功與物體相對移動的路徑無關(guān)，而只決定于相互作用物體的始末相對位置，這樣的力稱為保守力。例如萬有引力、重力、彈性

4、力、靜電力等。非保守力（耗散力） 做功與路徑有關(guān)的力稱為非保守力。例如摩擦力、爆炸力等。勢能 與相互作用的物體的相對位置有關(guān)的能量。重力勢能：令 ，則 彈性勢能：，令 ，則 。八、功能原理系統(tǒng)的機械能的增量等于外力做功和非保守內(nèi)力做功之和。系統(tǒng)的機械能：九、機械能守恒定律機械能守恒定律 在只有保守內(nèi)力做功的情況下，系統(tǒng)的機械能不變。如果系統(tǒng)內(nèi)各個質(zhì)點間的作用力都是保守力，那么這樣的系統(tǒng)稱為保守系統(tǒng)。一個不受外界作用的系統(tǒng)稱為孤立系統(tǒng)（必然有），顯然，孤立的保守系統(tǒng)機械能守恒。普遍的能量守恒定律 如果考慮各種物理現(xiàn)象，計及各種能量，則一個孤立系統(tǒng)不管經(jīng)歷何種變化，系統(tǒng)所有能量的總和保持不變。解題

5、方法與例題分析一、牛頓運動定律的應(yīng)用牛頓運動定律是解決動力學問題的最基本的方法。但在處理復(fù)雜問題時，為了簡化計算，應(yīng)盡量選用動量或能量關(guān)系解決問題。例1 質(zhì)量為m的物體自空中落下，它除受重力外，還受到一個與速度平方成正比的阻力作用，比例系數(shù)為k（k 為正常數(shù)）。該下落物體的收尾速度(即最后物體做勻速直線運動的速度)將是多少？解 物體所受合力為零時做勻速直線運動，此時有所以物體的收尾速度為 例2 一質(zhì)量為10kg的物體沿x軸無摩擦地運動，設(shè)t=0時，物體位于原點，速度為零（即初始條件：x0=0，v0=0），問：（1）物體在力F=3+4t（SI）的作用下運動了3s，它的速度、加速度為多大？（2）物

6、體在力F=3+4x（SI）的作用下移動了3m，它的速度、加速度為多大？解 （1）由牛頓第二運動定律 又由 得 把t=3s代入，式得 ，（2）解法一 ：由牛頓第二運動定律 又由 分離變量，兩邊積分得 ， 把x=3m代入，式，得：， 解法二：由動能定理，有得 二、動量關(guān)系（動量定理、動量守恒定律）的應(yīng)用對于動量變化的過程，可用動量定理或動量守恒定律解決。首先選擇一個系統(tǒng)作為研究對象，如果過程中該系統(tǒng)所受合外力為零，用動量守恒定律求解；合外力不為零時，可選用動量定理求解。例3 一煙火總質(zhì)量為M+2m，從離地面高h處自由下落到h/2時炸開，并飛出質(zhì)量均為m的兩塊，它們相對于煙火體的速度大小相等，方向一

7、上一下，爆炸后煙火體從h/2處落到地面的時間為t1；若煙火體在自由下落到h/2處不爆炸，它從h/2處落到地面的時間為t2 ，則t1和t2是什么關(guān)系？解 設(shè)爆炸前煙火的速度為v0，爆炸后煙火的速度為，飛出的質(zhì)量均為m的兩塊物體相對于煙火體的速度大小為。爆炸過程動量守恒，所以有可得，即爆炸前后煙火體的速度不變。所以 例4 質(zhì)量為20g的子彈沿x軸正向以500m/s的速度射入一靜止的木塊后，與木塊一起以50m/s的速度仍沿x軸正向前進，在此過程中木塊所受沖量的大小為多少？解 設(shè)子彈質(zhì)量為m，木塊質(zhì)量為M，子彈的速度為，子彈與木塊一起運動的速度為。此過程動量守恒，有可得木塊所受沖量的大小為 例5 已知

8、一籃球質(zhì)量m = 0.58kg，從h = 2.0m的高度下落，到達地面后，以同樣速率反彈，接觸地面時間= 0.019s。求籃球?qū)Φ孛娴钠骄鶝_力。解 籃球到達地面的速率為：，籃球接觸地面前后動量改變（大小）為：由動量定理有：由牛頓第三定律有：三、能量關(guān)系（動能定理、功能原理、機械能守恒定律）的應(yīng)用解題步驟：1.明確物理過程，確定研究對象；2.對選取的研究對象進行受力分析；3.確定體系的終態(tài)和初態(tài)的能量；4.選取適當?shù)膽T性系，根據(jù)定理列出方程并求解。但應(yīng)注意幾個定理的區(qū)別與適用范圍： 運用動能定理時研究對象可以是單個物體，也可以是物體系；運用功能原理和機械能守恒定律時研究只能是物體系； 運用動能定

9、理時，要計算作用在系統(tǒng)上的所有力的功，但在初、末態(tài)能量的計算中，只計算動能不計算勢能；而運用功能原理時，只要計算外力和非保守內(nèi)力的功，不考慮保守內(nèi)力的功，但在初、末態(tài)能量的計算中，必須同時計算動能和勢能；如果系統(tǒng)只有保守內(nèi)力做功，則該系統(tǒng)機械能守恒。例6 一勻質(zhì)鏈條總長為L，質(zhì)量為m，放在桌面上，并使其下垂，下垂一端的長度為a，如圖21所示。設(shè)鏈條與桌面之間的滑動摩擦系數(shù)為m ，令鏈條由靜止開始運動，求：圖21（1）在鏈條離開桌面的過程中，摩擦力對鏈條做了多少功？（2）鏈條離開桌面時的速率是多少？解 （1）當鏈條下落x時，摩擦力為 摩擦力的功為（2）下落過程中重力P做功為由動能定理 因為，所以

10、例7 質(zhì)量為m的物體從一個半徑為R的1/4圓弧形表面滑下，到達底部時的速度為v。求A到B過程中摩擦力所做的功。解 方法一（用功的定義計算）圖22以m為研究對象，進行受力分析，列切向受力方程即 摩擦力的功 由 ，方法二（用動能定理計算）由質(zhì)點的動能定理 受力分析，只有重力和摩擦力做功，所以A點物體動能： 所以 方法三（用功能原理計算）由功能原理：以物體和地球為研究對象，受力分析，不考慮保守力重力和不做功的支持力N，只有摩擦力（內(nèi)部非保守力）f 做功， 選擇B點為重力勢能零點，A、B兩點的機械能， 可以看出，用功能原理計算最簡單。四、綜合類題目在許多情況下，需要由動量關(guān)系和能量關(guān)系共同解決問題。h

11、maxmM圖23例8 如圖23所示，M放在光滑桌面上，M的斜面也是光滑的，已知m = 0.2kg，M=2kg，m以速度v = 4.9m/s 沖上M。求m能沖上的最高高度hmax是多少?解 對于m+M + 地球系統(tǒng)， W外= 0，W內(nèi)非 = 0（一對支持力）,故機械能守恒。設(shè)當h= h max時，M與m有相同的水平速度。取地面為重力勢能零點，有 對于m + M系統(tǒng)，水平方向F外= 0，故水平方向動量守恒mv =（m+M）V 由，得 思考：這一過程中m和M對地面的壓力是不是(m +M)g ？圖24例9 質(zhì)量為m的小球在外力作用下，由靜止開始從A點出發(fā)作勻加速直線運動，到達B點時撤消外力，小球無摩擦

12、地沖上一豎直半徑為R的半圓環(huán)，恰好能到達最高點C，而后又剛好落到原來的出發(fā)點A處，如圖24所示。試求小球在AB段運動的加速度為多大？解 以小球、地球為系統(tǒng)，B到C的過程機械能守恒。 因小球在C點恰能作圓周運動，故， 小球從C到A是以 vc 為初速度的平拋運動，設(shè)該過程所需時間為 t 。由豎直方向上的自由落體運動，有 ， 由水平方向上的勻速直線運動，可得AB 的長度為 小球在AB段作勻加速直線運動： 由，得：由得： fh4.8m0.2mAB36.9ºC圖25例10 一物體質(zhì)量為2kg，以初速度3.0m/s從斜面的點A處下滑，它與斜面之間的摩擦力為8N；到達點B時（AB之間的距離為4.8

13、cm），壓縮彈簧20cm達到C點停止，然后又被彈送回去。已知斜面與水平方向的夾角為36.9，求彈簧的倔強系數(shù)k和物體最后能到達的高度h'。設(shè)彈簧系統(tǒng)的質(zhì)量略去不計。解 （1）以物體+彈簧+地球為研究對象，做受力分析，重力、彈力是保守力不考慮，斜面的支持力N不做功（不考慮），只有摩擦力f （系統(tǒng)內(nèi)部非保守力）做功。重力勢能零點選在最低點C，彈力勢能零點選在彈簧原長處B點。初態(tài)機械能：, 其中 末態(tài)機械能：由功能原理：因為 ， 故 則 （2）物體從C點反彈到最高點D的過程中，反彈高度為h初態(tài)機械能 末態(tài)機械能 由功能原理：習 題 圖26一、選擇題1、平地上放一質(zhì)量為m的物體，已知物體與地面

14、之間的滑動摩擦系數(shù)為。在力的作用下，物體向右運動，如圖26所示。欲使物體具有最大的加速度，則力與水平方向夾角應(yīng)符合等式 。A； B； C； D。 v o t0 2 t0 3t0 4t0 t圖272、質(zhì)量為m的物體在力的作用下沿直線運動，其速度與時間的關(guān)系曲線如圖27所示。力在4t0時間內(nèi)做的功為 。A；B；C；D 。3、一力學體系由兩個質(zhì)點組成，它們之間只有引力作用。若兩質(zhì)點所受的外力的矢量和為零，則此系統(tǒng) 。A動量、機械能都守恒；B動量守恒，但機械能不守恒；C動量不守恒，但機械能守恒；D動量不守恒，機械能不守恒。4、用一根細線吊一重物，重物質(zhì)量為 5kg，重物下再系一根同樣的細線（細線只能經(jīng)

15、受 70N 的拉力）?，F(xiàn)在突然用力向下拉一下下面的線。設(shè)此力最大值為 50N，則 。A下面的線先斷； B上面的線先斷；C兩根線一起斷； D兩根線都不斷。 5、質(zhì)量分別為mA和mB ( mA > mB )的兩質(zhì)點 A 和 B ，受到相等的沖量作用，則 。AA比B的動量增量少； BA比B的動量增量多；CA、B的動量增量相等； DA、B的動能增量相等。6、當重物減速下降時，合外力對它做的功 。A為正值； B為負值； C為零； D無法確定。7、彈性勢能公式成立的零勢能參考點是 。A物體在平衡位置；B物體在任何位置；C物體處在彈簧既未伸長，也未壓縮時的位置（即自然位置）；D無法確定。8、對功的概念

16、有以下幾種說法 。(1) 保守力做正功時系統(tǒng)內(nèi)相應(yīng)的勢能增加；(2) 質(zhì)點運動經(jīng)一閉合路徑，保守力對質(zhì)點做的功為零；(3) 作用力與反作用力大小相等、方向相反，所以兩者所做的功的代數(shù)和必為零。在上述說法中：A(1)、(2)是正確的； B(2)、(3)是正確的；C只有(2)是正確的； D只有(3)是正確的。9、在水平冰面上以一定速度向東行駛的炮車，向東南（斜向上）方向發(fā)射一炮彈，對于炮車和炮彈這一系統(tǒng)，在此過程中（忽略冰面摩擦力及空氣阻力） 。A總動量守恒；B總動量在炮身前進的方向上的分量守恒，其他方向動量不守恒；C總動量在水平面上任意方向的分量守恒，豎直方向分量不守恒；D總動量在任何方向的分量

17、均不守恒。二、填空題1、有一質(zhì)量為m=0.5kg的質(zhì)點，在xy平面內(nèi)運動，其運動方程為，（SI），則在t=0秒至t=3秒這段時間內(nèi)外力對質(zhì)點所做的功為 ，外力的方向是 。2、已知質(zhì)點的質(zhì)量m=5kg，運動方程（SI），則質(zhì)點在02秒內(nèi)受的沖量的大小為 ，在02秒內(nèi)所做的功為 。H R圖283、機械能守恒定律成立的條件是 。4、如圖28所示，一質(zhì)量為m的小球沿光滑軌道由靜止開始下滑。要使小球沿半徑為R的球形軌道運動一周而不脫離軌道，小球最低應(yīng)從H= 高處滑下。如小球由H=2R處滑下，則它能沿環(huán)行軌道上升到離地面的高度h= 處。三、計算題1、質(zhì)量為M的平板車，以速度v在光滑水平軌道上滑行，質(zhì)量為m的物體在平板車上方h處以速率u（u與v同方向）水平拋出后落在平板車上，則二者合在一起后速度的大小為多少？2、質(zhì)量m=2kg的物體受到變力（SI）的作用而運動，t=0時物體位于原點并靜止。試求前10秒內(nèi)此力的功和t=10秒時物體的動能。3、一個質(zhì)量為M=10kg的物體放在光滑的平面上，并與一水平