復合函數(shù)求導法-教案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2.2.2 復合函數(shù)求導法教學要求：理解并熟練掌握復合函數(shù)求導法，會用反函數(shù)求導數(shù)教學內(nèi)容：一、復習提問： 1、導數(shù)的基本公式 2、導數(shù)的四則運算法則上一節(jié)介紹了函數(shù)的定義、導數(shù)的四則運算法則、基本初等函數(shù)求導公式，并能求出了一些簡單函數(shù)的導數(shù)。但是求常見的初等函數(shù)的導數(shù)時，往往需要借助于求導法則，本節(jié)就將介紹這些求導法則。二、復合函數(shù)的求導法則1、比如求函數(shù)的導數(shù)。 錯誤解答： 正確解答：對比一下，答案錯誤的原因是把當成了自變量。我們先把復合函數(shù)進行分解為。1、 求復合函數(shù)的導數(shù)可分兩步：第一步（關(guān)鍵步驟）：先將復合函數(shù)分為若干個簡單函數(shù)，辨明各函數(shù)的中間變量和自變

2、量。第二步：逐一分步求導。復合函數(shù)求導法則: 設(shè)函數(shù)在點處可導，在點處可導，則復合函數(shù)在點處可導，且有 或 證明 設(shè)變量有改變量，相應(yīng)地，變量有改變量，從而有改變量. 由于可導，所以， 即 .現(xiàn)在利用復合函數(shù)求導法則求的導數(shù)：，（中間變量為,自變量為），即（對求導)(對求導) （回代）如果復合函數(shù)的復合層次較多，法則4可以推廣到有限多個復合步驟構(gòu)成的復合函數(shù)求導。推論 設(shè)函數(shù)，都是可導函數(shù)，則復合函數(shù)也可導，且 或 注意： 表示復合函數(shù)對自變量的導數(shù)， 如 =表示復合函數(shù)對中間變量的導數(shù) 而 =求復合函數(shù)的導數(shù)時，關(guān)鍵要分清復合函數(shù)的復合過程，認清中間變量。例1設(shè)函數(shù)，求。解：因為是由復合而成

3、的，所以復合函數(shù)求導法步驟：第一步(關(guān)鍵步驟)：將復合函數(shù)寫成或分解為簡單函數(shù)，辨明各步求導中函數(shù)與自變量各是什么？第二步：再逐層分步求導.當然熟練以后可以不必寫出中間變量U、V，U和V寫在心上。由內(nèi)到外，層層求導。例2 求函數(shù)的導數(shù).解法1 分解成三個簡單函數(shù)：，. 回代=應(yīng)用 .應(yīng)用 解法2 應(yīng)用 .注: 解法2把中間變量記在心上而沒寫出來.例3 求函數(shù)的導數(shù).解 應(yīng)用復合函數(shù)求導法則練習 求下列函數(shù)的導數(shù)1 2. 3. 4. 1解： 對于既有四則運算，又有復合運算的初等函數(shù)，則利用相應(yīng)的求導法則.應(yīng)用運算法則例4 求函數(shù)的導數(shù).解 .例5 求函數(shù)的導數(shù).解 求導時，若能對函數(shù)先化簡，可使求導運算簡便例6 求函數(shù) 的導數(shù) “先化簡，再求導”解： 先分母有理化，則然后求導，得 練習 求的導數(shù)三反函數(shù)求導法則函數(shù)的反函數(shù)：。一般說的是指，寫出來就是，即是函數(shù)，是自變量；但是對于如果指的是，寫出來就是，即是函數(shù)，是自變量。例7 設(shè)函數(shù)，證明：.證明 因為的反函數(shù)在內(nèi)既單調(diào)，又可導，而且.所以由定理得 . 特別地，當時，.例8 證明：，.證明 因為在內(nèi)嚴格單調(diào)、可導，且，所以其反函數(shù)在內(nèi)嚴格單調(diào)、可導，且有 .同理可得.練習