鏡像法高中物理競賽講義

1、鏡像法思路用假想的鏡像電荷代替邊界上的感應(yīng)電荷。保持求解區(qū)域中場方程和邊界條件不變。使用范圍：界面幾何形狀較規(guī)范，電荷個數(shù)有限，且離散分布于有限區(qū)域。使用范圍界面幾何形狀較規(guī)范，電荷個數(shù)有限，且離散分布于有限區(qū)域。步驟確定鏡像電荷的大小和位置。去掉界面，按原電荷和鏡像電荷求解所求區(qū)域場。求解邊界上的感應(yīng)電荷。求解電場力。平面鏡像1點電荷對平面的鏡像 (a) 無限大接地導(dǎo)體平面上方有點電荷q（b） 用鏡像電荷-q代替導(dǎo)體平面上方的感應(yīng)電荷圖 點電荷的平面鏡像在無限大接地導(dǎo)體平面（YOZ平面）上方有一點電荷q，距離導(dǎo)體平面的高度為h。用位于導(dǎo)體平面下方h處的鏡像電荷-q代替導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷，邊

2、界條件維持不變，即YOZ平面為零電位面。 去掉導(dǎo)體平面，用原電荷和鏡像電荷求解導(dǎo)體上方區(qū)域場，注意不能用原電荷和鏡像電荷求解導(dǎo)體下方區(qū)域場。 電位：    (.1) 電場強度：       (.2)其中，感應(yīng)電荷： =>        (.3)電場力：        (.4)圖 點電荷的平面鏡像圖 單導(dǎo)線的平面鏡像 無限長單導(dǎo)線對平面的鏡像 與地面平行

3、的極長的單導(dǎo)線，半徑為a，離地高度為h。用位于地面下方h處的鏡像單導(dǎo)線代替地面上的感應(yīng)電荷，邊界條件維持不變。將地面取消而代之以鏡像單導(dǎo)線（所帶電荷的電荷密度為） 電位：        (.5) 對地電容：        (.6平面鏡像2無限長均勻雙線傳輸線對平面的鏡像與地面平行的均勻雙線傳輸線，半徑為a，離地高度為h，導(dǎo)線間距離為d，導(dǎo)線一帶正電荷+，導(dǎo)線二帶負電荷-。用位于地面下方h處的鏡像雙導(dǎo)線代替地面上的感應(yīng)電荷，邊界條件維持不變。將地面取消而代之

4、以鏡像雙導(dǎo)線。圖 無限長均勻傳輸線對地面的鏡像求解電位：        (.8)        (.9) 平行導(dǎo)線間單位長度電容：     (4.4.2.10) 其中 小天線的鏡像 與地面的小天線，長度為 l ，離地高度為 h 。用位于地面下方 h 處的鏡像小天線代替地面上的感應(yīng)電荷，邊界條件維持不變。與自由空間的天線比較，當天線離平面很近時，若天線與平面平行，輻射功率為零，若天線與平面垂直，輻射功率增強。若天線與平

5、面傾斜放置，則輻射功率的變化與傾斜角度有關(guān)。具體輻射功率的計算請參看天線輻射（超鏈），此處僅給出思路和結(jié)論。 點電荷對相交接地平面的鏡像 條件：兩相交接地平面夾角為 ，n=1,2,3鏡像電荷：2n-1個。若兩相交接地平面夾角不滿足上述條件，則鏡像電荷為無窮多個。 圖 點電荷對相交接地地面的鏡像點電荷對介質(zhì)平面的鏡像 1區(qū)和2區(qū)為不同介質(zhì)，求解時要分區(qū)域考慮。 求解區(qū)1的場：在區(qū)2置鏡像電荷 。求解區(qū)2的場：在區(qū)1置鏡像電荷 。 圖 點電荷對介質(zhì)平面的鏡像求解 和 ：z>0時，        (.11) z<0時，

6、        (.12) 根據(jù)邊界條件 、 可以解得       (.13)        (.14) 分區(qū)域考慮鏡像電荷。求單導(dǎo)線的對地電容求單導(dǎo)線的對地電容。一根極長的單導(dǎo)線與地面平行。導(dǎo)線半徑為a，離地高度為h，求單位長度單導(dǎo)線地對地電容。 單位長度單導(dǎo)線的對地電容可表示為 （式1）。 式中為單導(dǎo)線的電位，為地電位（0），為導(dǎo)線的線電荷密度?，F(xiàn)在需要求出，用鏡像法求解。例題圖4.

7、9 單位長度單導(dǎo)線的對地電容可表示為 （式1）。 式中為單導(dǎo)線的電位，為地電位（0），為導(dǎo)線的線電荷密度?，F(xiàn)在需要求出。令（近似認為均勻分布于導(dǎo)線表面），利用鏡像法，將地面取消而代之以鏡像單導(dǎo)線（帶）。則原地面上方任意點P的電位為 （式2）。式中、分別代表鏡像單導(dǎo)線及原單導(dǎo)線到P點的垂直距離。由2式可知為。把此式代入1式則得單導(dǎo)線對地電容為（式3）。有了上式，就可以方便地寫出平行雙導(dǎo)線間的單位長度的電容為（式4）。式中，D為平行雙導(dǎo)線間的距離（相當于本題中的2h），a為導(dǎo)線半徑。若D>>a，就可以簡化為式4的近似式。 掌握如何利用平面鏡像法求解典型傳輸設(shè)備的對地

8、電容。球面鏡像1點電荷對接地導(dǎo)體球的鏡像 題目：半徑為a的接地導(dǎo)體球，在與球心相據(jù)的一點電荷。在導(dǎo)體球內(nèi)，距離球心處的點處置一鏡像電荷來代替導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷，邊界條件維持不變，即導(dǎo)體球面為零電位面。去掉導(dǎo)體球，用原電荷和鏡像電荷求解導(dǎo)體球外區(qū)域場，注意不能用原電荷和鏡像電荷求解導(dǎo)體球內(nèi)區(qū)域場。求解鏡像電荷的大小和位置：將原導(dǎo)體球移去，及像電荷在原球面上任一點P處產(chǎn)生的電位應(yīng)為零，即        (.1)圖 點電荷對接地導(dǎo)體球的鏡像我們在球面上取通過的直徑的兩端點，對于這兩點的電位式為   &

9、#160;   (.2)        (4.4.3.3)以上兩方程解得        (.4)        (4.4.3.5)求解電位、電場強度、感應(yīng)電荷：的表達式表示對于球面上任一點P，與是相似三角形，即 ，于是球外任意一點的電位為       (.6)采用球坐標，取原點為球心O點，

10、z軸與軸重合，則球外任一點處有        (.7)        (.8)這樣可求得電場的分量為       (.9)       (.10)r=a時球面上的感應(yīng)電荷密度為       (.11)（1）點電荷對不接地、凈電荷為零的導(dǎo)體球的鏡像。

11、（2）點電荷對不接地、凈電荷不為零的導(dǎo)體球的鏡像。 （3）接地球形空腔內(nèi)電荷的鏡像球面鏡像2無窮鏡像問題（a）（b）圖 無窮鏡像問題半徑為a的金屬球，帶電荷，球心離地高度h。為滿足金屬球為等位面，但電位不等于零及地面為零等位面的邊界條件，我們需要用一系列的電荷去代替金屬球和地面兩個邊界的影響。若僅是孤立球體，則將電荷集中于球心來代替導(dǎo)體球的分部電荷，這樣就滿足了金屬球面為等位面的邊界條件。但是有了地面影響，還應(yīng)滿足地面為零等位面的邊界條件。為滿足這個條件，就要找出置于球心的鏡像電荷，這就是，而且滿足。的出現(xiàn)雖然使地面的邊界條件得到了滿足，但球面的等位面條件卻被破壞了。我們需要再按照球面鏡像的方

12、法求出在球內(nèi)的鏡像電荷。的出現(xiàn)，又出現(xiàn)了出現(xiàn)時所遇到的情況，我們又需要球它的地面鏡像這樣就需要一系列的電荷去代替金屬球和地面兩個邊界的影響。求解鏡像電荷的大小和位置：鏡像電荷鏡像離球心距離式中求解電位、對地電容：球體的點電荷為        (.12)金屬球的電位應(yīng)為所有電荷、產(chǎn)生的，但和這對電荷、和這對電荷、直至無窮的成對電荷都是維持金屬球面為零電位的，唯獨置于球心的電荷使金屬球具有電位，其值為        (4.4.3.13) 所以金屬球的對地電容為

13、       (4.4.3.14)式中第一項為孤立金屬球的電容圓柱面鏡像1概念 幾何軸：物體的軸線。電軸：電荷分布的軸線。問題 已知邊界條件、原電荷、幾何軸，求鏡像電荷，即鏡像電軸位置及電荷量。已知給定電軸，求等位面、幾何軸。線電荷對導(dǎo)體圓柱的鏡像 半徑為a的接地導(dǎo)體圓柱外有一條和它平行的線電荷，密度為，與圓柱軸相距為。用位于導(dǎo)體圓柱內(nèi)，距離圓柱軸線處的鏡像線電荷代替導(dǎo)體圓柱上的感應(yīng)電荷，邊界條件維持不變，即導(dǎo)體圓柱面為零電位面。去掉導(dǎo)體圓柱，用原線電荷和鏡像線電荷求解導(dǎo)體圓柱外區(qū)域場，注意不能用原電荷和鏡像電荷求解導(dǎo)體圓柱

14、內(nèi)區(qū)域場。圖 圓柱導(dǎo)體與線電荷的鏡像求解鏡像電荷的大小和位置：我們用的關(guān)系進行試探求解。同樣在圓周上去兩點（通過鏡像電荷的直徑的兩端點），因為圓柱接地，它們的電位必須為零，即       (.1)       (.2)代入的關(guān)系后，上面兩方程解得       (.3)求解電位：圓柱外任一點的電位為       (.4)

15、其中、分別是、到場點的距離。（1）線荷對不接地、凈電荷為零的導(dǎo)體圓柱的鏡像。（2）線電荷對不接地、凈電荷不為零的導(dǎo)體圓柱的鏡像圓柱面鏡像2給定電軸，確定幾何軸位置和等位面兩條互相平行的導(dǎo)線，其線電荷密度分別為和-。視這兩條極細的帶電導(dǎo)線分別為兩個電軸。求解幾何軸的位置可以直接寫出P點的電位為 由圖可見，XOZ平面為零電位面，即時，。圖 確定兩個給定電軸的幾何軸于是可知常數(shù)C為零，則的表達式為，?。ǎ槌?shù)就可得到等位線，即取。k為常數(shù)。由圖可知、。所以可得        (.5)這是一個圓方程。其參數(shù)為 圓心位置：        (.6)半徑：        (.7)即等位線為一簇圓，其圓心自然是位于等位圓的圓柱面的幾何軸心上。圓心和半徑都是k的函數(shù)。實際問題往往是這樣：知道兩條平行導(dǎo)線的半徑及相互間的距離，而需要確定電軸的位置。這就要