過拋物線焦點弦端點的切線的探究

1、課題過拋物線焦點弦端點的切線的探究授課時間2008年3月24日授課教師牛文化授課班級高三（4）班教學(xué)目標(biāo)1、掌握拋物線的圖像和性質(zhì)，鞏固圓錐曲線中常見的垂直的證明方法，增強學(xué)生解決綜合性問題的信心.2、通過學(xué)生的研究討論，發(fā)揮學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能動性，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力. 培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、歸納能力、探索發(fā)現(xiàn)能力.3、通過主動探索，合作交流，感受探索的樂趣和成功的體驗，體會數(shù)學(xué)的理性和嚴(yán)謹，養(yǎng)成實事求是的科學(xué)態(tài)度和契而不舍的鉆研精神，形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的積極態(tài)度.重點與拋物線焦點弦有關(guān)的垂直關(guān)系和證明及應(yīng)用.難點與拋物線焦點弦有關(guān)的垂直關(guān)系的證明和應(yīng)用.教 學(xué) 過 程教師活動學(xué)生活動

2、設(shè)計意圖一、課前回顧與反思前面我們研究了過拋物線焦點的直線與拋物線相交于兩點，過這兩點的切線的交點的軌跡問題.首先請一名同學(xué)回憶一下研究的過程和結(jié)果.研究過程為：已知：如圖1，設(shè)拋物線為，焦點為，過點的直線與拋物線相交于、兩點，過、的切線相交于點，求點的軌跡.解：設(shè)直線的方程為 ，聯(lián)立直線方程和拋物線方程有整理有 由拋物線方程，可設(shè)點、的坐標(biāo)分別為、.由韋達定理可知 ， 學(xué)生回憶學(xué)生回答回憶研究的過程，從中體會研究的方法，為下面進一步探究做鋪墊.教 學(xué) 過 程教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖由，得，.過點、的切線的斜率分別為，于是過點的切線方程為：， 整理得 同理可得：過點的切線的方程為. 聯(lián)立、，解

3、得，. 即所以兩條切線交點的軌跡方程為，這恰是拋物線的準(zhǔn)線.通過這名同學(xué)的回答，我們體會證明過程中的幾個閃光點.首先，在設(shè)、兩點的坐標(biāo)時靈活運用了拋物線方程，減少了未知數(shù)的個數(shù)，為簡化運算作了鋪墊；其次，在尋求與的關(guān)系時，巧妙地借助“韋達定理”，很快找到了問題的突破口.二、合作學(xué)習(xí)，探究新知結(jié)合解題過程，仔細觀察圖形，你能得到那些垂直關(guān)系？并試著加以證明.（可適當(dāng)添加輔助線）通過學(xué)生探究，可能得到如下幾個結(jié)論：結(jié)論1.學(xué)生回答學(xué)生主動探究，合作交流回憶研究的過程，從中體會研究的方法，為下面進一步探究做鋪墊.動畫演示結(jié)論，加深學(xué)生對結(jié)論的認識和理解.教師點評，指出證明過程中的關(guān)鍵點和突破口.教師

4、巡視，遇到學(xué)生的問題加以指導(dǎo).教 學(xué) 過 程教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖【證明】由上面可知過點、的切線的斜率分別為，即，易知故.結(jié)論2連結(jié)PF可證.【證明】如圖2，易知，故.由結(jié)論2我們還可以推導(dǎo)出更多結(jié)論比如：是直角斜邊上的高，從而學(xué)生分組合作，共同探究新的結(jié)論整個教學(xué)過程中，教師只是啟發(fā)、引導(dǎo)，證明推理過程由學(xué)生來完成，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位和教師的主導(dǎo)作用.教 學(xué) 過 程教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖結(jié)論3設(shè)與軸交于點，與軸交于點，可證、和.【證明】如圖3由題意可知；與軸交于點，點坐標(biāo)為，與軸交于點，點坐標(biāo)為，由，可知 故，證明思路相同（略）.由上面可知在四邊形中，三個角、都是90°，可

5、知也為90°，即.（到此，主要的垂直結(jié)論均已找出并證明，下面根據(jù)課上實際的情況選擇是繼續(xù)挖掘其他結(jié)論還是做練習(xí)題.）思考:以為直徑的圓（即的外接圓）與拋物線的準(zhǔn)線有什么位置關(guān)系？并證明你的結(jié)論.結(jié)論4以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切于點.(過半徑的外端且垂直與這條半徑的直線是圓的切線)學(xué)生分組合作，共同探究新的結(jié)論通過學(xué)生分組學(xué)習(xí)，發(fā)揮學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能動性，提高分析問題和解決問題的能力，逐步培養(yǎng)學(xué)生的鉆研精神. 教 學(xué) 過 程教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖【證明】如圖4，取中點為，則點為以為直徑的圓的圓心，連接，要證和準(zhǔn)線垂直，只需證.由點坐標(biāo)為可知，所以以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切于點.

6、結(jié)論5由和可知，以為直徑的圓（即的外接圓）與軸相切于點；以為直徑的圓（即的外接圓）與軸相切于點.（證明思路同上）三、應(yīng)用結(jié)論，解決問題剛才同學(xué)們的回答很踴躍，總結(jié)出來的結(jié)論也很有水平，這說明我們的同學(xué)不僅具備了很強的運算求解能力，還具備了很強的觀察能力、歸納能力、探索發(fā)現(xiàn)能力，下面我們做一個練習(xí).（08東城第一學(xué)期期末理19題）已知拋物線，過焦點的動直線交拋物線于兩點，拋物線在兩點處的切線相交于點.（）求的值；（）求點的縱坐標(biāo)；（）證明：.（）解：設(shè)直線的方程為. 由 可得. 則. .學(xué)生完成證明應(yīng)用前面結(jié)論的證明思路，完成練習(xí)題.學(xué)生在合作交流的探究氛圍中思考、質(zhì)疑、傾聽、表述，體驗到成功的

7、喜悅，學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會合作深化前面結(jié)論的證明思路，增強解決圓錐曲線綜合題的信心，為高考打好基礎(chǔ).教 學(xué) 過 程教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖（）由，可得，. 在點處的切線方程為即. 在點處的切線方程為.解方程組可得 即點的縱坐標(biāo)為. ()證明：如圖5，連接.由（）可知易知，即.可證，所以.四、課堂小結(jié)，提煉升華由于時間關(guān)系今天我們就探究到這里，課下請同學(xué)們想一想這個題的一些結(jié)論能否推廣，或者改變一個條件是否還能得到類似的結(jié)論嗎？ 1、本節(jié)課重點研究了拋物線中常見的垂直關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上研究了一些平行關(guān)系和重要的圓；2、要注意提高計算和推理論證能力，樹立轉(zhuǎn)化意識、方程思想，學(xué)會用代數(shù)的方法研究幾何圖形及

8、其性質(zhì)，樹立事物間普遍聯(lián)系，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化的觀點.3、體會認真觀察，大膽猜想，嚴(yán)謹證明，推廣應(yīng)用的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和研究過程.在觀察中思考，在猜想中提升，在證明中嚴(yán)謹，在應(yīng)用中創(chuàng)新.應(yīng)用前面結(jié)論的證明思路，完成練習(xí)題.在整個新知形成過程中，教師的身份始終是啟發(fā)者、鼓勵者和指導(dǎo)者，以提高學(xué)生抽象概括、分析歸納及語言表述等基本的數(shù)學(xué)思維能力教學(xué)設(shè)計說明圓錐曲線是解析幾何的重點內(nèi)容，這部分知識的特點是：綜合性強，問題涉及函數(shù)、方程、不等式、三角、平面幾何等很多方面的知識，蘊含著數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力及思維能力的考察要求較高。綜合圓錐曲線這部分知識的特點和我

9、校學(xué)生的實際情況，我們決定以拋物線為突破口，把難題分解，化整為零，通過基本題型的聯(lián)系，力爭讓學(xué)生掌握基本數(shù)學(xué)思想和方法，增強學(xué)生解決圓錐曲線綜合問題的信心。圓錐曲線中有很多關(guān)于焦點弦的問題，而且高考中也經(jīng)常出現(xiàn)有關(guān)焦點弦的問題。導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的一個重要工具，特別是在研究解析幾何的切線問題時，利用它可以解決很多綜合性問題。綜合上面兩點，我們選擇了“過拋物線焦點弦端點的切線的探究”這一課題，旨在充分發(fā)揮學(xué)生自主學(xué)習(xí)、提高分析問題和解決問題的能力，逐步培養(yǎng)學(xué)生的鉆研精神。課前，我們就“過拋物線焦點弦端點的切線的交點的軌跡”做了探究，目的是讓學(xué)生掌握常見的解決圓錐曲線問題的思路和方法，本節(jié)課以上節(jié)課為

10、基礎(chǔ)繼續(xù)探究過拋物線焦點弦端點的切線的一些問題。本節(jié)課首先通過復(fù)習(xí)回顧“過拋物線焦點弦端點的切線的交點的軌跡”讓學(xué)生體會研究的方法和常見的數(shù)學(xué)思想，為下面探究做鋪墊。接著引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合解題過程，仔細觀察圖形，能得到那些垂直關(guān)系？并試著加以證明。（可適當(dāng)添加輔助線）由于有前面的鋪墊學(xué)生能夠很容易看出結(jié)論1，證明也比較簡單。下面的結(jié)論2通過學(xué)案的提示，也比較容易證明。在結(jié)論2的基礎(chǔ)上，學(xué)生還能推導(dǎo)出更多的結(jié)論，這將提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的能動性。有了前面兩個結(jié)論的成就感，“結(jié)論3設(shè)與軸交于點，與軸交于點，可證、和”在學(xué)生分組的研討下也不難發(fā)現(xiàn)。到此，重要的幾個垂直關(guān)系找到了，而且通過幾何畫板動畫的演示