等離子體高等i

1、第 2 章 理想磁流體平衡我們知道，自然界中的等離子體即使在大尺度、長(zhǎng)時(shí)間的磁流體近似條件下，也有多種多樣的運(yùn)動(dòng)形態(tài)。我們研究磁流體等離子體的運(yùn)動(dòng)，首先從其最簡(jiǎn)單的形態(tài)出發(fā)，即研究理想磁流體的平衡。當(dāng)然，從物理上看，一個(gè)系統(tǒng)容易趨于其能量最低、運(yùn)動(dòng)形式最簡(jiǎn)單的狀態(tài)。我們這里說(shuō)的磁流體平衡（Equilibrium），其實(shí)是“力學(xué)平衡”（Force Balance），而不是熱平衡（Thermal Equilibrium）。當(dāng)然，對(duì)磁流體近似來(lái)說(shuō)，局域熱力學(xué)平衡是基本的假設(shè)。但是我們前面說(shuō)到，通常我們?cè)谔幚泶帕黧w問(wèn)題的時(shí)候往往“弱化”了這一假設(shè)。特別是自然界中存在的等離子體基本上都遠(yuǎn)離熱力學(xué)平衡（最

2、典型的是電子溫度與離子溫度不相等）。所以這里說(shuō)的“平衡”，除非特指“熱力學(xué)平衡”（Thermodynamic Equilibrium），都僅僅是“力學(xué)平衡”狀態(tài)。2.1 磁場(chǎng)位形與磁面從上一章中關(guān)于“位力”定理的討論中我們知道，要保持等離子體的力學(xué)平< 0 來(lái)平衡其內(nèi)部的力學(xué)和熱力學(xué)衡，唯一可能就是外加一個(gè)很大的、負(fù)的Uext的“能量”。即或者加一個(gè)外部的勢(shì)場(chǎng)（勢(shì)阱），或者由外加磁場(chǎng)提供一個(gè)“約束”。我們這門(mén)課程主要關(guān)心磁約束等離子體，所以這里討論的磁流體平衡問(wèn)題都是在磁場(chǎng)約束條件下的力學(xué)平衡。為了討論不同磁場(chǎng)位形提供的約束的性質(zhì)，我們先討論等離子體中的磁場(chǎng)本身的一些簡(jiǎn)單的拓?fù)湫再|(zhì)（詳細(xì)

3、的內(nèi)容我們會(huì)在環(huán)形等離子體物理導(dǎo)論課程中講述）。2.1.1 磁場(chǎng)的一般表示磁場(chǎng)的高斯定理Ñ× B = 0 告訴我們，磁場(chǎng)的三個(gè)分量不是相互的。所以磁場(chǎng)B 一般可以由兩個(gè)變量來(lái)表示。借助矢量恒等式Ñ×(A ´ B) = (Ñ´ A) × B - A × (Ñ´ B) ，一種自然的選擇是把磁場(chǎng)寫(xiě)成下面的形式B = Ña ´Ñb 。(2-01)不失一般性，在直角坐標(biāo)系下磁力線可以寫(xiě)成dx = dy = dz BxByBz，對(duì)應(yīng)兩組dy = By dxBxdzBz

4、=。，dxBx其一般解a (x, y, z) = Ca ， b (x, y, z) = Cb的三曲面的交線（或者這兩組曲面法線的叉乘積（即（2-01）式B = Ña ´Ñb ），就是我們求的磁力線（圖 2.01）。但是，這兩個(gè)任意函數(shù)的梯度可以不是相互垂直的，所以同一磁場(chǎng)一般可以對(duì)應(yīng)多種選擇。如果我們把磁場(chǎng)寫(xiě)成B = F (y )Ñz + Ñz ´Ñy(2-01)的形式，其中y ,z 都是單值的，則我們可以選擇一個(gè)坐標(biāo)系(y , c,z ) 來(lái)表示磁場(chǎng)圖 2.01：三維曲面a (x, y, z) = Ca 與b (x, y,

5、 z) = Cb 的交線形成的磁力線（2-01）。在此坐標(biāo)系下，磁力線可以寫(xiě)成dldyd cdz=。BB ×ÑyB ×ÑcB ×Ñz這里 dl 是沿磁力線的微分弧元。如果我們選取的是所謂“環(huán)坐標(biāo)系”(y (r),q , z) ，則有= æ=ö dr = rdq = dz 。dydlBç B dy / dr÷ BBBè rø rqz2.1.2 磁約束等離子體的力學(xué)平衡力學(xué)平衡狀態(tài)的必要條件是等離子體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不隨時(shí)間變化，即¶ / ¶t = 0 。在此條件下

6、，如果u = u(x) ¹ 0 ，我們稱(chēng)這個(gè)平衡狀態(tài)為“穩(wěn)態(tài)平衡”（SteadyState Equilibrium）；如果同時(shí)也有 u = 0 ，則稱(chēng)其為“靜態(tài)平衡”（Static StateEquilibrium）。前面說(shuō)過(guò)，我們通常說(shuō)的“等離子體平衡”指“力學(xué)平衡”：(u ×Ñu) = -Ñp + J ´ B 。r(2-02)mc而對(duì)于靜態(tài)平衡，則有Ñp = J ´ B = (Ñ´ B)´ B 。(2-02)4pc利用矢量恒等式Ñ(A × B) = A ´ (&

7、#209;´ B) + B ´(Ñ´ A) + A ×ÑB + B ×ÑA ，我們得到Ñæ+ B ö = B ×ÑB =2æ B2 ö +B2Ñ(2-03)ç pb，8p ÷4pç÷|p4p8èøèø圖 2.02：磁場(chǎng)主曲率 º b×Ñb = Ñ|b這里磁場(chǎng)矢量b º B / B ，“平行”梯度（parall

8、el gradient） Ñ| º b× Ñ （以后如果不加特殊說(shuō)明。“平行”都是指平行磁場(chǎng)方向）。而磁場(chǎng)主曲率 º b× Ñb = Ñ|b 顯然是垂直磁場(chǎng)方向的（參見(jiàn)圖 2.02）。上式又可以寫(xiě)成分量的形式，即æö22BB(Ñp = Ñ p) 。Ñp +=Ñ p = 0(2-04)， ç8p ÷4p|èø2.1.3磁面和磁通函數(shù)在一個(gè)對(duì)任意變量都可以寫(xiě)成 f = f (x, y) 形式的平板模型（slab m）中，

9、我們可以利用磁場(chǎng)表示式（2-01），取z = -z ，y =y (x, y) ，來(lái)定義磁場(chǎng)：B = -F (y )z + z´ Ñy º Bz (y )z + z´ Ñy ，(2-05)這里y =y (x, y) 顯然是磁矢勢(shì)的-z 分量，我們稱(chēng)為磁通函數(shù)（Flux Function）。事實(shí)上，磁場(chǎng)在(x, y) « (y , c ) 平面內(nèi)的分量只是沿Ñc 方向，即Bc ；且這條磁力線一定在(x, y) 平面內(nèi)y (x, y) = 常數(shù)的曲線上。（在三里這條曲線沿著z 方向延伸成為一個(gè)曲面。）在曲線y =y1 ，y =y

10、2 上任意找兩點(diǎn)連接起來(lái)，則穿過(guò)這條連線（沿著 z 方向延伸成為一個(gè)曲面）的磁力線的根數(shù)òòBc × dSy ,z= Yy ,cy1 ®y 2一定相等。我們稱(chēng)之為“極向磁通量”。因?yàn)檫@兩點(diǎn)是任意的，我們可以在y =y1上選取 x1 ，在y =y 2 選取 x2 ，如圖 2.03 所示。則，完成對(duì) z 方向的后，有y 2x2x2 ¶yòòy1 ®y 2Bc × dSy ,z = Lz ò Bydx = Lz ò ¶x dx = Lz ò dy = Lz (y 2 -y

11、1) 。y1x1x1圖 2.03：磁場(chǎng)在(x, y) « (y , c )平面內(nèi)的分量與磁通量顯然，磁通函數(shù)y (x, y) 是沿 z 方向長(zhǎng)度上的“極向磁通量”。從（2-05），還可以得到c æ dFöcz´ Ñy + zÑ y，J =Ñ´ B =2(2-06)4p ç dy÷4pèødF ö ÑyJ ´ Bæ= - Ñ y + FÑp =2(2-07)。çdy ÷ 4pcèø

12、;（2-07）顯然有形如 p = p(y ) 的解。那么，在 p =常數(shù)的“面”上，我們有磁通函數(shù)y =常數(shù)。所以我們稱(chēng)這個(gè)“表面”（在(x, y) 平面內(nèi)是一條曲線）為“磁面”。利用 p = p(y ) ，（2-07）可以寫(xiě)成形式éùéù22dFdBÑ2y = -pê p += -4pê p +(2-08)4 z ú 。údy8p ûdy8p ûëë我們稱(chēng)這個(gè)為“磁面”。不僅適用與直角坐標(biāo)，而且適用于正交直柱坐標(biāo)系（如果寫(xiě)y =y (r,q ) ）。一般來(lái)說(shuō)，從

13、F = F (y ) 和（2-08），我們得到 p = p(y ) 。即在y =常數(shù)的表面上，p =常數(shù)。這其實(shí)可以一班地得到。即從（2-04）可知，沿著一條磁力線有 p =常數(shù)。如果這條磁力線卷成一個(gè)表面，那么在這個(gè)表面上處處有 p =常數(shù)。這個(gè)表面的法線可以由Ñp = Ñ p 給出。我們從（2-02）知道，B Ñp ；并可以看出同時(shí)有J Ñp 。所以電流也在這個(gè)表面上。這個(gè)表面就是磁面本身。顯然磁面可以由J ´ B ，或者由Ñp = Ñ p （都是磁面的法向）來(lái)定義（見(jiàn)圖 2.04）。而該表面 p =常數(shù)（即y =常數(shù)）

14、可以由磁面（2-08）得到。圖 2.04：磁面，壓強(qiáng)梯度，與電流分布2.1.4 磁“凍結(jié)”問(wèn)題¶ / ¶t = Ñ´(u ´ ) 可以證明，“渦旋” 是“凍在流體力學(xué)中，由“渦旋”結(jié)”（frozen in）在流體中的，即這個(gè)“渦旋”是隨著流體一起運(yùn)動(dòng)的。我們發(fā)現(xiàn)在理想磁流體近似下，理想磁流體（MHD）的磁場(chǎng)B 滿足與流體“渦磁感應(yīng)（1-20）：¶B / ¶t = Ñ´ (u ´ B) 。對(duì)比流體力旋” 同樣形式的學(xué)的“渦旋”，同樣可以證明磁力線是“凍結(jié)”在等離子體中的。我們稱(chēng)之為“磁凍結(jié)”效應(yīng)。

15、不失一般性，將磁場(chǎng)一般表示（2-01）帶入磁感應(yīng)（1-20），可以得到，左邊：¶B = Ñ ¶a ´Ñb + Ña ´Ñ ¶b = Ñ´æ ¶a Ñb - ¶b Ña ö ，ç÷¶t¶t¶t¶t¶tèø右邊：Ñ´(u ´ B) = Ñ´(Ña (u ×Ñb )

16、 - Ñb (u ×Ña ) ；于是有Ñ´æ da Ñb - ¶b Ña ö = 0 ，ç÷èdtdtø則da Ñb - d b Ña = ÑY 。dtdt可以不失一般性地適當(dāng)選擇度規(guī)，令ÑY = 0 。如果去掉兩個(gè)梯度相互平行的部分，剩下的部分所確定的磁力線顯然仍然是原來(lái)的磁力線，則必有：da = d b= 0 。dtdt所以可以確定磁力線的兩組曲面a (x, y, z) = Ca ， b (x, y, z) =

17、Cb 都是隨流體元運(yùn)動(dòng)的守恒量，則磁力線也隨流體元運(yùn)動(dòng)不變（見(jiàn)圖 2.05）?！按艃鼋Y(jié)”的微觀圖像就是等離子體中電子、離子總是磁力線做回旋運(yùn)動(dòng)。當(dāng)然，非均勻性使得等離子體中總是有各種物理量的梯度存在，這些梯度導(dǎo)致橫越磁力線的漂移運(yùn)動(dòng)。那么帶電粒子是怎么“凍結(jié)”在磁力線上的？從靜態(tài)平衡（2-02）可以得到p = J ´ B ，Ñc或?qū)懗?- cÑ p ´ B ；JB2即等離子體電流正是靜態(tài)平衡下的壓強(qiáng)梯度漂移導(dǎo)致的。顯然這個(gè)電生的磁場(chǎng)會(huì)減弱原有的磁場(chǎng)，所以也叫“抗磁漂移”（diamagnetic drift）。從前面討論可以知道，這個(gè)電流是在磁面上的。所以

18、帶電粒子實(shí)際上是“凍結(jié)”在磁面上。從磁面的定義可以看出，每個(gè)磁面都是一條磁力線“卷”成的。所以盡管有抗磁漂移，等離子體本質(zhì)上還是“凍結(jié)”在同一條磁力線上。有意思的是，磁流體近似下電流的物理圖像是壓強(qiáng)梯度漂移，而各種漂移運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)都是 Larmor 半徑效應(yīng)引起的。所以磁流體電流的圖像是 Larmor 半徑效應(yīng)的最低階近似?！敬鸥袘?yīng)（1-20）是對(duì)理想磁流體歐姆定律（1-19）取得到的，所以上面討論中的任意梯度函數(shù)ÑY 物理上對(duì)應(yīng)等離子體中的“靜電場(chǎng)”。一般地，圖 2.05：“凍結(jié)”在等離子體中的磁力管在理想磁流體平衡狀態(tài)，靜電場(chǎng)為零， ÑY = 0 是一個(gè)“物理”的選擇。同

19、樣，因?yàn)榇攀竸?shì)A(x) 也可以有一個(gè)任意梯度，由E = -ÑY - 1 ¶A ，c ¶t可以適當(dāng)選擇度規(guī)： A ® A¢ + ÑF ，使Y = - 1 ¶F ，c ¶t也可以消去電勢(shì)梯度函數(shù)ÑY 。】2.2 Z-箍縮，q-箍縮我們先從簡(jiǎn)單幾何下的磁約束平衡問(wèn)題出發(fā)來(lái)研究理想磁流體平衡?？梢钥紤]的簡(jiǎn)單磁約束位形首先應(yīng)該是具有柱狀幾何的位形，比如類(lèi)似單個(gè)直線導(dǎo)體中的電流或者螺線管線圈電生的磁場(chǎng)。這一節(jié)里我們就考慮簡(jiǎn)單的柱狀幾何位形下的沿著軸方向的電流和環(huán)繞軸向的電生的等離子體箍縮得到的平衡。2.2.1Z-箍縮

20、如果等離子體電流只是在具有柱對(duì)稱(chēng)幾何位形的軸向，即 z 方向，我們有磁場(chǎng)B = qBq (r) ，如圖 2.06 所示。在靜態(tài)平衡下，由（2-02）我們得到力平衡方程æB2 öB2dç p + q ÷ = - q (2-09)，dr è8p ø4p r或dp =-1d()2 2(2-10)r B。qdr8p r 2 dr這個(gè)顯然沒(méi)有唯一解。一般我們是從所需要的等離子體壓強(qiáng)分布來(lái)計(jì)算什么樣的電流分布才能實(shí)現(xiàn)這一壓強(qiáng)分布。但也可以從給定的電流分布來(lái)計(jì)算可能得到的壓強(qiáng)分布。取決于實(shí)際情況。在這種位形下， Bz = 0 ，等離子體是非常不穩(wěn)定

21、的（我們?cè)诤竺嬗懻摚?。但是我們也可以利?Z-箍縮位形的這種不穩(wěn)定性質(zhì)。在強(qiáng)電流回路中，由楞次定律（Lenz Law）可知，任何快速的電流變化都會(huì)激勵(lì)這種變化的電動(dòng)勢(shì)，并產(chǎn)生一個(gè)對(duì)應(yīng)的快速變化的磁通。所以大負(fù)載回路的開(kāi)關(guān)或過(guò)載保護(hù)必須具有“自然”的快速響應(yīng)性質(zhì)。這種開(kāi)關(guān)經(jīng)常利用 Z-箍縮的不穩(wěn)定性來(lái)設(shè)計(jì)。這方面的研究已經(jīng)發(fā)展成為強(qiáng)電工程技術(shù)研究方面的一個(gè)專(zhuān)門(mén)的分支。在慣性約束聚變研究中，Z-箍縮也是方案之一：在非常細(xì)的絲狀導(dǎo)線中通上非常強(qiáng)的電流使得導(dǎo)線融化形成等離子體；此時(shí)這個(gè)電生的非常強(qiáng)的J ´ B 的洛侖茲朝著中心軸來(lái)“箍縮”等離子體，進(jìn)而產(chǎn)生高能量粒子和 X 射線聚變。也可以把

22、這些導(dǎo)體絲組成圓柱形絲陣，使得整個(gè)絲陣向中心箍縮，得到更強(qiáng)的 X 射線。Z-箍縮裝置作為強(qiáng) X 射線源和強(qiáng)脈沖聚變有著廣泛的應(yīng)用前景。2.2.2q-箍縮如果只有q 方向的角向電流，磁場(chǎng) B = zBz (r) ，如圖 2.07 所示。則力平衡（2-02）給出æ p + B ö =20 。d(2-11)dr ç8p ÷èø圖 2.06：“Z-箍縮”位形這個(gè)我們可以得到下面的關(guān)系æö22= B (a)Bp +(2-12)，ç8p ÷8pèør <a 這里等離子體邊界在r =

23、 a 。這個(gè)顯然也沒(méi)有唯一解。同樣需要從電流分布計(jì)算壓強(qiáng)分布，或者從壓強(qiáng)分布計(jì)算電流分布。在這種位形下， Bq = 0 ，等離子體“非常安全”，或者說(shuō)“絕對(duì)穩(wěn)定”。其穩(wěn)定性我們?cè)谟懻摗５沁@種位形存在的問(wèn)題是：沒(méi)有軸向約束。解決這一問(wèn)題有兩種方案：磁鏡和環(huán)形約束。2.2.3 磁鏡如果增強(qiáng)等離子體柱兩端的磁場(chǎng) Bz ，我們得到一個(gè)“磁鏡”（magnetic mirror）位形（如圖 2.08 所示）。這個(gè)位形通常被稱(chēng)為“線性裝置”，曾經(jīng)是磁約束等離子體研究的最重要的裝置。在提出磁鏡概念和設(shè)計(jì)磁鏡裝置時(shí)使用了“絕熱不變量”的概念。磁鏡等離子體的第一個(gè)“絕熱不變量”是所謂“磁矩不變量”。即當(dāng)帶電粒子

24、磁力線做高頻回旋運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)于長(zhǎng)時(shí)間尺度，可以認(rèn)為這個(gè)回旋運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的圖 2.08：“磁鏡”位形與“絕熱不變量”圖 2.07：“q-箍縮”位形磁矩mu 2m =2B是一個(gè)近似的“守恒量”。則沿著磁力線l ，粒子的動(dòng)能可以寫(xiě)成1e = m B(l) + m2u 。2|顯然，這可以看成帶電粒子沿著磁力線在“磁勢(shì)阱”mB(l) 中的運(yùn)動(dòng)。在磁場(chǎng)的極小值 Bmin 兩側(cè)如果有一個(gè)極大值 BMAX ，則e £ m BMAX 的粒子會(huì)被“磁勢(shì)阱”捕獲，在兩個(gè)極大點(diǎn)之間做“彈跳”（bounce）。對(duì)更長(zhǎng)時(shí)間行為，這個(gè)“彈跳”的周期運(yùn)動(dòng)給我們第二個(gè)“絕熱不變量”：“彈跳不變量”。又因?yàn)榇艌?chǎng)的曲率漂移和壓

25、強(qiáng)梯度漂移，會(huì)導(dǎo)致做（“回旋”以及）“彈跳”運(yùn)動(dòng)的帶電粒子在磁鏡橫截面內(nèi)的“進(jìn)動(dòng)”（precession）。這個(gè)運(yùn)動(dòng)近似是一個(gè)環(huán)繞著磁鏡圓形截面的周期運(yùn)動(dòng)。在非常長(zhǎng)的時(shí)間尺度下，給我們第三個(gè)“絕熱不變量”：“進(jìn)動(dòng)不變量”。但是這個(gè)絕熱不變量效應(yīng)的時(shí)間尺度太長(zhǎng)，我們一般很少用到。這一概現(xiàn)在的磁約束裝置中仍非常重要（“香蕉軌道”與“新經(jīng)典效應(yīng)”），在空間物理里也有重要應(yīng)用（地球偶極場(chǎng)中捕獲粒子的運(yùn)動(dòng)）。因?yàn)樵诘入x子體物理導(dǎo)論的單粒子軌道理論里已經(jīng)充分討論過(guò)，我們這里就不再詳述。我們知道在這種磁約束位形下，帶電粒子在速度空間存在著“損失錐”不穩(wěn)定性（loss cone instability）。這會(huì)

26、大大影響等離子體約束時(shí)間。2.2.4 環(huán)形約束與另外一個(gè)對(duì)“q -箍縮”位形加軸向約束的方案就是把直柱彎成一個(gè)環(huán)狀。但是此時(shí)由 Bz 彎成的環(huán)向場(chǎng)在環(huán)內(nèi)側(cè)會(huì)比在環(huán)外側(cè)強(qiáng)，形成一個(gè)指向環(huán)外的磁場(chǎng)梯度ÑB 。這個(gè)磁場(chǎng)梯度導(dǎo)致垂直方向的漂移運(yùn)動(dòng)。為了消除這個(gè)漂移，必須引入（原來(lái)直柱的q 方向的）極向場(chǎng)。顯然“初始”引入的（由q -箍縮引入的）環(huán)向場(chǎng)應(yīng)（圖 2.09 為國(guó)際熱核聚變實(shí)驗(yàn)堆該會(huì)比極向場(chǎng)強(qiáng)得多。這種裝置被稱(chēng)為ITER 的設(shè)計(jì)圖）。是目前最有前景的磁約束聚變裝置。我們會(huì)在后面詳細(xì)討論其性質(zhì)。在這里我們只是指出，因?yàn)闃O向場(chǎng)的引入，磁面拓?fù)涑虱h(huán)狀。每條磁力線都會(huì)“歷經(jīng)”環(huán)的內(nèi)側(cè)和外側(cè)。

27、而因?yàn)橹赶颦h(huán)外的磁場(chǎng)梯度ÑB ，會(huì)在一條磁力線上形成環(huán)外側(cè)的弱磁場(chǎng)區(qū)和環(huán)內(nèi)側(cè)的強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)它們一個(gè)“磁鏡”位形！而這種“磁鏡”效應(yīng)對(duì)粒子的“捕獲”是等離子體的一個(gè)非常重要的性質(zhì)?？梢钥闯觯瑹o(wú)論磁鏡還是環(huán)形裝置都至少是二維平衡。下面我們就來(lái)研究二維平衡位形滿足的條件。2.3 一維平衡，螺旋箍縮在討論環(huán)形裝置的二維平衡位形之前，我們先討論簡(jiǎn)單的沒(méi)有環(huán)效應(yīng)的一維柱對(duì)稱(chēng)平衡。這里的“一維”是指平衡量的空間變化是一維的。2.3.1 一維圓柱等離子體的平衡對(duì)于一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)的柱狀等離子體，其物理量有 f = f (r) 的形式，且 Br = 0 。很明顯，磁面可以寫(xiě)成r = r0 。我們得到靜態(tài)平衡狀態(tài)

28、下的力平衡圖 2.09：國(guó)際熱核聚變實(shí)驗(yàn)堆ITER 的設(shè)計(jì)圖æB2 öB2B2dç p +÷ =k (r) = - q (2-13)。dr è8p ø4p4p r如果既有“環(huán)向”（ z ）場(chǎng)，又有“極向”（q）場(chǎng)：磁場(chǎng)B = qBq (r) + zBz (r) ，則æB2 öB2B2dç p + q+ z ÷ = - q 。(2-14)dr è8p8p ø4p r因?yàn)檫@種位形的磁力線和電流都是“螺旋形”，我們稱(chēng)此平衡為“螺旋箍縮”。在此平衡下，顯然Ñ× B

29、 = 0 已經(jīng)被滿足。這樣，對(duì)于這一平衡，我們只有一個(gè)（2-14）來(lái)定 3 個(gè)未知函數(shù)。所以有兩個(gè)自由度要由邊界條件來(lái)決定，包括在 z 方向和q 方向的周期條件。2.3.2 安全因子那么磁場(chǎng)的兩個(gè)分量 Bq (r) 和 Bz (r) 是怎樣來(lái)繞成磁面r = r0 的呢？利用周期條件 f (z) = f (z + 2pR0 ) ，從磁力線rdq / dz = Bq / Bz ，我們可以得到rBz dqº q(r) dq 。dz=2p R0R0 Bq 2p2p這里我們定義了“安全因子”（Safety Factor）rBz (r)q(r) º(2-15)。R0 Bq (r)由=

30、q(r)2p R0 ，(Dz)Dq =2p可知，安全因子q(r) 表征磁力線在q轉(zhuǎn)一圈時(shí)在 z轉(zhuǎn)過(guò)的“圈數(shù)”（即走過(guò)的周期數(shù)）。圖 2.10：“有理磁面”上的磁力線后面我們會(huì)看到，這個(gè)“安全因子”與等離子體平衡的穩(wěn)定性是有關(guān)系的。在Z-箍縮這種位形下， Bz = 0 ，安全因子q = 0 ，等離子體是“不安全”的，即非常不穩(wěn)定的。而在q -箍縮這種位形下， Bq = 0 ，安全因子q ® ¥ 。等離子體“非常安全”，或者說(shuō)“絕對(duì)穩(wěn)定”。安全因子q(r) 影響等離子體平衡的穩(wěn)定性的另一個(gè)重要性質(zhì)是其導(dǎo)致的“有理磁面”的存在。由q(r) 的定義我們知道，隨著 r 的連續(xù)變化，

31、q(r) 也是連續(xù)變化的。也就是說(shuō)，在r 的任一區(qū)間， q(r) 可以取無(wú)窮多分段連續(xù)的無(wú)理數(shù)，也可以取無(wú)窮多個(gè)“分立”的有理數(shù)q(r) = m / n 。因?yàn)榘踩蜃觪(r) 表征磁力線在q轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)過(guò)的“圈數(shù)”，顯然，在q(r) = m / n 的磁面上，磁力線環(huán)繞“大圈時(shí)在 z環(huán)”（ z ）方向m “圈”，繞小環(huán)方向n 圈；磁力線首尾相接，無(wú)法鋪滿整個(gè)磁面。所以從測(cè)度來(lái)說(shuō)，“有理磁面”上磁力線所占的區(qū)域的測(cè)度為零。從物理上來(lái)說(shuō)，就是這個(gè)磁面是“軟”的，容易會(huì)出現(xiàn)“不穩(wěn)定性”。而在q(r) 為無(wú)理數(shù)時(shí)，磁力線首尾相接，而是鋪滿整個(gè)磁面。所以“無(wú)理磁面”有很好的物理性質(zhì)。2.4 Grad-Sha

32、franov現(xiàn)在我們來(lái)研究環(huán)形約束等離子體的二維平衡分布及其性質(zhì)。為 Grad-Shafranov二維平衡滿足的，主要用來(lái)研究等離子體。所以我們先引入坐標(biāo)系。2.4.1（Tokamak）坐標(biāo)系我們可以用柱坐標(biāo)(R,z , Z ) 或者環(huán)坐標(biāo)(r,q , z) 來(lái)描述位形。這兩個(gè)坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系是R = R0 + r cosq ，z =- z ，R0(2-16)Z = r sinq 。這里 R0 是在r = 0 點(diǎn)的大環(huán)半徑。顯然，這一坐標(biāo)系下的平衡是軸對(duì)稱(chēng)的，有¶ / ¶z= 0 。利用磁場(chǎng)表示式（2-01），取y =y (R, Z ) ，得到B = B - z

33、80;Ñy ，(2-17)zR這里Bz = F (y )Ñz = zF (y ) / R ，給出Bz = F (y ) / R ；而磁面函數(shù)y =y (R, Z ) º RAz 給出(2-18a)= - 1 ¶y= 1 ¶y(2-18b)B，B。RZR ¶ZR ¶R如果我們假設(shè)磁軸在 R = Ra ，Z = 0 ，且y (Ra , 0) = 0 ，如圖 2.13；則被磁面y (R, 0)包圍的極向磁通為2pé 1 ¶y ùRY p (y ) = òò dSBz =dFRdR&

34、#182;R úû = 2py 。òò(2-19)êëRZ =00Ra這樣，我們可以使用此極向磁通來(lái)表征磁面函數(shù)。圖 2.11：坐標(biāo)系2.4.2Grad-Shafranov（2-02）有形式在柱坐標(biāo)中，我們可以推導(dǎo)出力平衡dp dydFD*y = -4pR2- F，(2-20)dy¶æ 1 ¶y ö¶2y，且 F = F (y ) º RBz這里D*º R ¶R ç R ¶+（2-20）即 Grad-Shafranov÷

35、82;2èRøZ。在環(huán)坐標(biāo)(r,q , z) 中，平衡狀態(tài)下有¶ / ¶z = -¶ / R0¶z = 0 ，我們得到æ cosq ¶y - sinq 1 ¶y ö 。2D* = Ñ2y -(2-21)R + r cosq ç÷¶rr ¶qèø0不考慮“環(huán)效應(yīng)”的正交直柱坐標(biāo)(r,q , z ) 中的磁面有（2-08）的形式d+ F ù2。éÑ2y = -pê p(2-08)48p &#

36、250;dyëû其中y =y / R0 ， F = F / R0 。將（2-20）寫(xiě)成ö2ö2æ Ræ RdpdF dyD*y = -4p- ç 0 ÷(2-20)ç 0 ÷FdyRèøRèø的形式，與（2-08）相比，相差一個(gè)環(huán)效應(yīng)因子(R / R )2 和（2-21）右邊的第二0項(xiàng)（環(huán)效應(yīng)項(xiàng)）。2.4.3的解與磁軸平衡計(jì)算利用（細(xì)環(huán)近似下）標(biāo)度圖 2.13：極向磁通的計(jì)算rR0 e << 1BpBq O(e ) ， q O(1)(2-22)

37、BzBzpb O(e 2 )B2z在多重尺度展開(kāi)下我們可以得到（2-20）（或（2-21）在環(huán)坐標(biāo)系下）的磁面的漸進(jìn)解y = y 0 (r) + ey1(r,q ) + .，p(y ) = e 2 p (y ) = e 2 p (y) + e¢y )y + .，(2-23)3p (220201F (y ) = F + e F (y ) = B R + e F (y ) + e F (¢y )y +.223，020020201這里符號(hào)“”表示對(duì)y 求導(dǎo)。在O(1) 近似下，（2-21）有形式：éB2 ùBddê p + z ú + q(rBq ) = 0 ，(2-24)dr ë8p û4pr dr顯然這是直柱螺旋箍縮位形的平衡。精確到O(e ) ，如果寫(xiě)y1(r,q ) = y1(r) cosq ，則可以得到éd æy1 öù2 dp(y 0 )dç÷ú = rBq - 8pr(2-25)22êrBq。dr ëdr è