高中數(shù)學(xué)必修21拋物線教學(xué)講義

1、03-拋物線【知識點(diǎn)】一、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì) ()：標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點(diǎn)準(zhǔn)線范圍對稱軸軸軸頂點(diǎn) （0，0）離心率二、拋物線的焦半徑、焦點(diǎn)弦1.焦點(diǎn)弦：過拋物線焦點(diǎn)的弦，若，則(1) x0+， (2)，p2(3) 弦長,，即當(dāng)x1=x2時,通徑最短為2p(4) 若AB的傾斜角為，則=（5）+=2. 通徑：過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦。過焦點(diǎn)的所有弦中最短的弦，也被稱做通徑.其長度為2p.3. 的參數(shù)方程為（為參數(shù)），的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.4、弦長公式：三、拋物線問題的基本方法1. 直線與拋物線的位置關(guān)系 直線，拋物線， ，消y得：（1）當(dāng)k=0時，直線與拋物線的對稱軸平行，有一

2、個交點(diǎn)；（2）當(dāng)k0時， 0，直線與拋物線相交，兩個不同交點(diǎn)； =0， 直線與拋物線相切，一個切點(diǎn)； 0，直線與拋物線相離，無公共點(diǎn)。（3） 若直線與拋物線只有一個公共點(diǎn),則直線與拋物線必相切嗎?（不一定） 2. 關(guān)于直線與拋物線的位置關(guān)系問題常用處理方法直線： 拋物線，1 聯(lián)立方程法： 設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為,，則有,以及，還可進(jìn)一步求出， 在涉及弦長，中點(diǎn)，對稱，面積等問題時，常用此法，比如a. 相交弦AB的弦長 或 b. 中點(diǎn), ， 2 點(diǎn)差法：設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，代入拋物線方程，得 將兩式相減，可得a. 在涉及斜率問題時，b. 在涉及中點(diǎn)軌跡問題時，設(shè)線段的中點(diǎn)為， 即，同理，對于拋物線，若直線與拋物

3、線相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，則有（注意能用這個公式的條件：1）直線與拋物線有兩個不同的交點(diǎn)，2）直線的斜率存在，且不等于零）【典型例題】考點(diǎn)1 拋物線的定義題型 利用定義,實(shí)現(xiàn)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離之間的轉(zhuǎn)換例1 已知點(diǎn)P在拋物線y2 = 4x上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q（2，1）的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和的最小值為 解析過點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線交準(zhǔn)線于點(diǎn)R，由拋物線的定義知，當(dāng)P點(diǎn)為拋物線與垂線的交點(diǎn)時，取得最小值，最小值為點(diǎn)Q到準(zhǔn)線的距離 ,因準(zhǔn)線方程為x=-1,故最小值為31.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，在拋物線上，且、成等差數(shù)列， 則有 （ ）A B C D. 解析C 由拋物線定義，

4、即： 2. 已知點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn),M是拋物線上的動點(diǎn),當(dāng)最小時, M點(diǎn)坐標(biāo)是 ( )A. B. C. D. 解析 設(shè)M到準(zhǔn)線的距離為,則，當(dāng)最小時，M點(diǎn)坐標(biāo)是，選C考點(diǎn)2 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題型:求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2 求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求對應(yīng)拋物線的準(zhǔn)線方程：(1)過點(diǎn)(-3,2) (2)焦點(diǎn)在直線上 解析 (1)設(shè)所求的拋物線的方程為或, 過點(diǎn)(-3,2) 拋物線方程為或,前者的準(zhǔn)線方程是后者的準(zhǔn)線方程為 (2)令得，令得， 拋物線的焦點(diǎn)為(4,0)或(0,-2),當(dāng)焦點(diǎn)為(4,0)時, ，此時拋物線方程;焦點(diǎn)為(0,-2)時 ，此時拋物線方程. 所求拋物線方程為或,對應(yīng)

5、的準(zhǔn)線方程分別是.3.若拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合,則的值 解析4. 對于頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，給出下列條件：焦點(diǎn)在y軸上；焦點(diǎn)在x軸上；拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6；拋物線的通徑的長為5；由原點(diǎn)向過焦點(diǎn)的某條直線作垂線，垂足坐標(biāo)為（2，1）.能使這拋物線方程為y2=10x的條件是_.（要求填寫合適條件的序號）解析 用排除法，由拋物線方程y2=10x可排除，從而滿足條件.5. 若拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向上，F(xiàn)為焦點(diǎn)，M為準(zhǔn)線與Y軸的交點(diǎn)，A為拋物線上一點(diǎn),且，求此拋物線的方程解析 設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影，則，由勾股定理知，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，代入方程得或4，拋物線的方程或考點(diǎn)3

6、拋物線的幾何性質(zhì)題型：有關(guān)焦半徑和焦點(diǎn)弦的計算與論證例3 設(shè)A、B為拋物線上的點(diǎn),且(O為原點(diǎn)),則直線AB必過的定點(diǎn)坐標(biāo)為_.解析設(shè)直線OA方程為,由解出A點(diǎn)坐標(biāo)為解出B點(diǎn)坐標(biāo)為，直線AB方程為,令得，直線AB必過的定點(diǎn)補(bǔ)充：拋物線的幾個常見結(jié)論及其應(yīng)用結(jié)論一：若AB是拋物線的焦點(diǎn)弦（過焦點(diǎn)的弦），且，則：，。證明：因?yàn)榻裹c(diǎn)坐標(biāo)為F(,0),當(dāng)AB不垂直于x軸時，可設(shè)直線AB的方程為： ，由得: ，。當(dāng)ABx軸時，直線AB方程為，則，同上也有：。例：已知直線AB是過拋物線焦點(diǎn)F，求證：為定值。證明：設(shè)，由拋物線的定義知：，又+=，所以+=-p，且由結(jié)論一知：。則： =結(jié)論二：（1）若AB是拋

7、物線的焦點(diǎn)弦，且直線AB的傾斜角為，則（0）。（2）焦點(diǎn)弦中通徑（過焦點(diǎn)且垂直于拋物線對稱軸的弦）最短。證明：（1）設(shè)，設(shè)直線AB:由得:, ，。易驗(yàn)證，結(jié)論對斜率不存在時也成立。（2）由（1）：AB為通徑時，的值最大，最小。例：已知過拋物線的焦點(diǎn)的弦AB長為12，則直線AB傾斜角為 。解：由結(jié)論二，12=（其中為直線AB的傾斜角）， 則，所以直線AB傾斜角為或。結(jié)論三：兩個相切：（1）以拋物線焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切。 （2）過拋物線焦點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，以兩垂足為直徑端點(diǎn)的圓與焦點(diǎn)弦相切。已知AB是拋物線的過焦點(diǎn)F的弦，求證：（1）以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切。(2)分別過A

8、、B做準(zhǔn)線的垂線，垂足為M、N，求證：以MN為直徑的圓與直線AB相切。證明：(1)設(shè)AB的中點(diǎn)為Q,過A、Q、B向準(zhǔn)線l作垂線，垂足分別為M、P、N，連結(jié)AP、BP。由拋物線定義：，以AB為直徑為圓與準(zhǔn)線l相切（2）作圖如（1），取MN中點(diǎn)P，連結(jié)PF、MF、NF，AMOF，AMF=AFM，AMF=MFO，AFM=MFO。同理，BFN=NFO，MFN=（AFM+MFO+BFN+NFO）=90°，PFM=FMPAFP=AFM+PFM=FMA+FMP=PMA=90°，F(xiàn)PAB以MN為直徑為圓與焦點(diǎn)弦AB相切。結(jié)論四：若拋物線方程為，過（，0）的直線與之交于A、B兩點(diǎn)，則OAOB

9、。反之也成立。證明：設(shè)直線AB方程為:，由 得， >0，AOBO，將，代入得，。直線AB恒過定點(diǎn)（0，1）。當(dāng)且僅當(dāng)k=0時，取最小值1。結(jié)論五：對于拋物線，其參數(shù)方程為設(shè)拋物線上動點(diǎn)坐標(biāo)為，為拋物線的頂點(diǎn)，顯然，即的幾何意義為過拋物線頂點(diǎn)的動弦的斜率例 直線與拋物線相交于原點(diǎn)和點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，和垂直，且線段長為，求的值解析：設(shè)點(diǎn)分別為，則，的坐標(biāo)分別為【課堂練習(xí)】A 拋物線 1拋物線y28x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是( )A(2,0) B(2,0) C(4,0) D(4,0)2設(shè)斜率為2的直線l過拋物線y2ax(a0)的焦點(diǎn)F，且和y軸交于點(diǎn)A.若OAF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4，則拋物線的方程

10、為( )Ay2±4x By2±8x Cy24x Dy28x3已知直線l1：4x3y60和直線l2：x1，拋物線y24x上一動點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是( )A2 B3 C. D.4點(diǎn)A，B在拋物線x22py(p>0)上，若A，B的中點(diǎn)是(x0，y0)，當(dāng)直線AB的斜率存在時，其斜率為( )A. B. C. D.52010·福建卷 以拋物線y24x的焦點(diǎn)為圓心，且過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程為( )Ax2y22x0 Bx2y2x0 Cx2y2x0 Dx2y22x062010·山東卷 已知拋物線y22px(p>0)，過其焦點(diǎn)且斜率為1的

11、直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為( )Ax1 Bx1 Cx2 Dx272010·陜西卷 已知拋物線y22px(p>0)的準(zhǔn)線與圓x2y26x70相切，則p的值為( )A. B1 C2 D482010·遼寧卷 設(shè)拋物線y28x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PAl，A為垂足如果直線AF的斜率為，那么|PF|( )A4 B8 C8 D16 92011·東北三校模擬 已知拋物線yax2的準(zhǔn)線方程為y1，則a的值為_102010·浙江卷 設(shè)拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(0,2)若線段

12、FA的中點(diǎn)B在拋物線上，則B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為_11給定拋物線C：y24x，過點(diǎn)A(1,0)，斜率為k的直線與C相交于M，N兩點(diǎn)，若線段MN的中點(diǎn)在直線x3上，則k_.12(13分)2011·西城一模 已知拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，直線l過點(diǎn)M(4,0)(1)若點(diǎn)F到直線l的距離為，求直線l的斜率；(2)設(shè)A，B為拋物線上兩點(diǎn)，且直線AB不與x軸垂直，若線段AB的垂直平分線恰好過點(diǎn)M，求證：線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值 13(12分)2011·西城一模 已知拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過F的直線交y軸正半軸于點(diǎn)P，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限(

13、1)求證：以線段FA為直徑的圓與y軸相切；(2)若1，2，求2的取值范圍 B 拋物線 1若點(diǎn)P(x，y)到點(diǎn)F(0,2)的距離比它到直線y40的距離小2，則P(x，y)的軌跡方程為( )Ay28x By28x Cx28y Dx28y2拋物線x2(2a1)y的準(zhǔn)線方程是y1，則實(shí)數(shù)a( )A. B. C D3已知拋物線y24x，若過焦點(diǎn)F且垂直于對稱軸的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則OAB的面積是( )A1 B2 C4 D64對于拋物線y24x上任意一點(diǎn)Q，點(diǎn)P(a,0)都滿足|PQ|a|，則a的取值范圍是( )A(，0) B(，2 C0,2 D(0,2)5已知A，B是拋物線y22

14、px(p>0)上的兩點(diǎn)，O是原點(diǎn)，若|OA|OB|，且AOB的垂心恰好是拋物線的焦點(diǎn)，則直線AB的方程是( )Axp Bx3p Cxp Dxp6已知拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)均在拋物線上，且2x2x1x3，則有( )A|FP1|FP2|FP3|B|FP1|2|FP2|2|FP3|2C2|FP2|FP1|FP3|D|FP2|2|FP1|·|FP3|7已知點(diǎn)P是拋物線y22x上的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為( )A. B3 C. D.8已知拋物線C：y28x的

15、焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K，點(diǎn)A在C上且|AK|AF|，則AFK的面積為( )A4 B8 C16 D329已知拋物線C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，直線yx與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若P(2,2)為AB的中點(diǎn)，則拋物線C的方程為_102010·全國卷 已知拋物線C：y22px(p0)的準(zhǔn)線為l，過M(1,0)且斜率為的直線與l相交于點(diǎn)A，與C的一個交點(diǎn)為B.若，則p_.112010·重慶卷 已知以F為焦點(diǎn)的拋物線y24x上的兩點(diǎn)A、B滿足3，則弦AB的中點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為_12(13分)2012·珠海模擬 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)F，直線l：x，點(diǎn)P在

16、直線l上移動，R是線段PF與y軸的交點(diǎn)，RQFP，PQl.(1)求動點(diǎn)Q的軌跡方程C；(2)設(shè)圓M過A(1,0)，且圓心M在曲線C上，TS是圓M在y軸上截得的弦，當(dāng)M運(yùn)動時，弦長|TS|是否為定值？請說明理由圖K50113(12分)2010·湖北卷 已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1.(1)求曲線C的方程；(2)是否存在正數(shù)m，對于過點(diǎn)M(m,0)且與曲線C有兩個交點(diǎn)A，B的任一直線，都有·<0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由 A1B 解析 由y28x，易知焦點(diǎn)坐標(biāo)是(2,0)2B 解析 拋物線y2ax

17、(a0)的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為，則直線l的方程為y2，它與y軸的交點(diǎn)為A，所以O(shè)AF的面積為·4，解得a±8.所以拋物線方程為y2±8x.3A 解析 設(shè)動點(diǎn)p到直線l2的距離之和為d，直線l2：x1為拋物線y24x的準(zhǔn)線，由拋物線的定義知，P到l2的距離等于P到拋物線的焦點(diǎn)F(1,0)的距離，故本題轉(zhuǎn)化為在拋物線y24x上找一個點(diǎn)P使得P到點(diǎn)F(1,0)和直線l2的距離之和最小，最小值為F(1,0)到直線l1：4x3y60的距離，即dmin2.4D 解析 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x2py1，x2py2，兩式相減得(x1x2)(x1x2)2p(y1y2)，即

18、kAB.5D 解析 因?yàn)橐阎獟佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，即所求圓的圓心又知該圓過原點(diǎn)，所以圓的半徑為r1，故所求圓的方程為(x1)2y21，即x22xy20.6B 解析 拋物線的焦點(diǎn)F，所以過焦點(diǎn)且斜率為1的直線方程為yx，即xy，將其代入y22px，得y22pyp20，所以p2，所以拋物線方程為y24x，準(zhǔn)線方程為x1.7C 解析 方法1：拋物線的準(zhǔn)線方程為x，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2y216.34，p2.方法2：作圖可知，拋物線y22px(p>0)的準(zhǔn)線與圓(x3)2y216相切于點(diǎn)(1,0)，所以1，解得p2.8B 解析 設(shè)準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)B，連接AF、PF，則|BF|p4，直

19、線AF的斜率為，AFB60°.在RtABF中，|AF|8.又根據(jù)拋物線的定義，得|PA|PF|，PABF，PAF60°，PAF為等邊三角形，故|PF|AF|8.9 解析 拋物線方程為x2y，故其準(zhǔn)線方程是y1，解得a.10. 解析 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)F，由B為線段FA的中點(diǎn)，所以B，代入拋物線方程得p，則B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為.11± 解析 過點(diǎn)A(1,0)，斜率為k的直線為yk(x1)，與拋物線方程聯(lián)立后消掉y得k2x2(2k24)xk20，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，有x1x1，x1x21.因?yàn)榫€段MN的中點(diǎn)在直線x3上，所以x1x26，即6，解得k&

20、#177;.而此時k2x2(2k24)xk20的判別式大于零，所以k±.12解答 (1)由已知，x4不合題意設(shè)直線l的方程為yk(x4)由已知，拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，因?yàn)辄c(diǎn)F到直線l的距離為，所以，解得k±，所以直線l的斜率為±.(2)證明：設(shè)線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則直線MN的斜率為，因?yàn)锳B不垂直于x軸，所以直線AB的斜率為，直線AB的方程為yy0(xx0)，聯(lián)立方程消去x，得y2y0yyx0(x04)0，所以y1y2，因?yàn)镹為AB中點(diǎn)，所以y0，即y0，所以x02，即線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值2.1

21、3解答 (1)證明：由已知F，設(shè)A(x1，y1)，則y2px1，圓心坐標(biāo)為，圓心到y(tǒng)軸的距離為，圓的半徑為×，所以，以線段FA為直徑的圓與y軸相切(2)解法一：設(shè)P(0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由1，2，得1(x1，y0y1)，2，所以x11x1，y11(y0y1)，x22，y22y1，由y22y1，得yy.又y2px1，y2px2，所以x2x1.代入x22，得x12，(12)x12(12)，整理得x1，代入x11x1，得，所以1，因?yàn)?，所?的取值范圍是.解法二：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB：xmy，將xmy代入y22px，得y22pmyp20，所

22、以y1y2p2(*)由1，2，得1(x1，y0y1)，2，所以x11x1，y11(y0y1)，x22，y22y1，將y22y1代入(*)式，得y，所以2px1，x1.代入x11x1，得1，因?yàn)椋?的取值范圍是.B1C 解析 點(diǎn)P(x，y)到點(diǎn)F(0,2)的距離比它到直線y40的距離小2，說明點(diǎn)P(x，y)到點(diǎn)F(0,2)的距離與到直線y20即y2的距離相等，軌跡為拋物線，其中p4，故所求的拋物線方程為x28y.2D 解析 根據(jù)分析把拋物線方程化為x22y，則焦參數(shù)pa，故拋物線的準(zhǔn)線方程是y，則1，解得a.3B 解析 焦點(diǎn)坐標(biāo)是(1,0)，A(1,2)，B(1，2)，|AB|4，故OAB的

23、面積S|AB|OF|×4×12.4B 解析 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為0，由|PQ|a|，得y02a2，整理，得y(y168a)0，y0，y168a0，即a20恒成立而20的最小值為2，所以a2.5D 解析 A(x0，y0)，則B(x0，y0)，由于焦點(diǎn)F，0是拋物線的垂心，所以O(shè)ABF.由此得×1，把y2px0代入得x0，故直線AB的方程是xp.6C 解析 由拋物線定義，2，即2|FP2|FP1|FP3|.7A 解析 依題設(shè)P在拋物線準(zhǔn)線的投影為P，拋物線的焦點(diǎn)為F，則F.依拋物線的定義知P到該拋物線準(zhǔn)線的距離為|PP|PF|，則點(diǎn)P到點(diǎn)A(0,2)的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線

24、的距離之和d|PF|PA|AF|.8B 解析 拋物線C：y28x的焦點(diǎn)為F(2,0)，準(zhǔn)線方程為x2，K(2,0)，設(shè)A(x0，y0)，過A點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線AB，則B(2，y0)，|AK|AF|，又AFABx0(2)x02，由BK2AK2AB2得y(x02)2，即8x0(x02)2，解得x02，A(2，±4)，AFK的面積為|KF|·|y0|×4×48.9y24x 解析 設(shè)拋物線方程為y2kx，與yx聯(lián)立方程組，消去y，得：x2kx0，x1x2k2×24，故y24x.102 解析 過B作BE垂直于準(zhǔn)線l于E，M為AB中點(diǎn)，|BM|AB|.又斜率為

25、，BAE30°，|BE|AB|，|BM|BE|，M為拋物線的焦點(diǎn)，p2.11. 解析 設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，則|AF|xA1，|BF|xB1，xA13(xB1)由幾何關(guān)系，xA13(1xB)聯(lián)立，得xA3，xB，所求距離d1.12解答 (1)依題意知，點(diǎn)R是線段FP的中點(diǎn)，且RQFP，RQ是線段FP的垂直平分線|PQ|是點(diǎn)Q到直線l的距離點(diǎn)Q在線段FP的垂直平分線上，|PQ|QF|.故動點(diǎn)Q的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為：y22x(x>0)(2)弦長|TS|為定值理由如下：取曲線C上點(diǎn)M(x0，y0)，M到y(tǒng)軸的距離為d|x0|x0，圓的半徑r|

26、MA|，則|TS|22，因?yàn)辄c(diǎn)M在曲線C上，所以x00，所以|TS|22，是定值13解答 (1)設(shè)P(x，y)是曲線C上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)P(x，y)滿足x1(x>0)化簡得y24x(x>0)(2)設(shè)過點(diǎn)M(m,0)(m>0)的直線l與曲線C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)設(shè)l的方程為xtym，由得y24ty4m0，16(t2m)>0，于是又(x11，y1)，(x21，y2)，·<0(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y2<0.又x，于是不等式等價于1·2y1y221<0，y1y2(y1y2)22y1y21

27、<0.由式，不等式等價于m26m1<4t2.對任意實(shí)數(shù)t,4t2的最小值為0，所以不等式對于一切t成立等價于m26m1<0，即32<m<32.由此可知，存在正數(shù)m，對于過點(diǎn)M(m,0)，且與曲線C有兩個交點(diǎn)A，B的任一直線，都有·<0，且m的取值范圍是(32，32)【作業(yè)】一、 選擇題： 本大題共12小題，每小題5分，共60分1頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)是F(0,5)的拋物線方程是( )Ay220x Bx220y Cy2x Dx2y2拋物線yx2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( )A. B. C. D. 3拋物線yax2的準(zhǔn)線方程是y2，則實(shí)數(shù)a的值為( )A. B C8 D

28、84(2010年高考陜西卷)已知拋物線y22px(p>0)的準(zhǔn)線與圓x2y26x70相切，則p的值為( )A. B1 C2 D45(2010年高考湖南卷)設(shè)拋物線y28x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是( )A4 B6 C8 D12 6若點(diǎn)P到定點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線x50的距離小1，則點(diǎn)P的軌跡方程是( )Ay216x By232xCy216x Dy216x或y0(x<0)7以x軸為對稱軸的拋物線的通徑(過焦點(diǎn)且與x軸垂直的弦)長為8，若拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，則其方程為( )Ay28x By28x Cy28x或y28x Dx28y或x28y8已知拋

29、物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)F，點(diǎn)P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、P3(x3，y3)在拋物線上，且2x2x1x3，則有( )A|FP1|FP2|FP3|B|FP1|2|FP2|2|FP3|2C|FP1|FP3|2|FP2|D|FP1|·|FP3|FP2|29拋物線y212x截直線y2x1所得弦長等于( )A. B2 C. D1510以拋物線y22px(p>0)的焦半徑|PF|為直徑的圓與y軸的位置關(guān)系為( )A相交 B相離 C相切 D不確定11過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于其對稱軸的弦是AB，拋物線的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)M，則AMB是( )A銳角 B直角 C鈍角 D銳角或鈍角

30、12(2010年高考山東卷)已知拋物線y22px(p>0)，過其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為( )Ax1 Bx1 Cx2 Dx2二 填空題（共4題，每題4分）13已知直線xy10與拋物線yax2相切，則a_. 14拋物線y24x上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離是5，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是_15拋物線y24x與直線2xy40交于兩點(diǎn)A與B，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，則|FA|FB|_.16邊長為1的等邊三角形AOB，O為原點(diǎn)，ABx軸，則以O(shè)為頂點(diǎn)，且過A、B的拋物線方程是_三、解答題(本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟

31、.)17（本題滿分12分）若拋物線y22px(p>0)上有一點(diǎn)M，其橫坐標(biāo)為9.它到焦點(diǎn)的距離為10，求拋物線方程和M點(diǎn)的坐標(biāo) 18（本題滿分12分）拋物線的焦點(diǎn)F在x軸上，直線y3與拋物線相交于點(diǎn)A，|AF|5，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 19（本題滿分12分）已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其準(zhǔn)線l與圓(x2)2y225相切，求拋物線的方程 20（本題滿分12分）過點(diǎn)Q(4,1)的拋物線y28x的弦AB恰被點(diǎn)Q平分，求AB所在直線方程 21（本題滿分12分）已知拋物線y2x與直線l：yk(x1)相交于A，B兩點(diǎn)(1)求證：OAOB；(2)當(dāng)OAB的面積等于時，求k的值 22.（20

32、09江蘇卷）（本題滿分14分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A（2，2），其焦點(diǎn)F在軸上。（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過點(diǎn)F，且與直線OA垂直的直線的方程；（3）設(shè)過點(diǎn)的直線交拋物線C于D、E兩點(diǎn)，ME=2DM，記D和E兩點(diǎn)間的距離為，求關(guān)于的表達(dá)式。 參考答案一.選擇題： 本大題共12小題，每小題5分，共60分題號123456789101112答案BBBCBCCCACBB1解析：選B.由5得p10，且焦點(diǎn)在y軸正半軸上，故x220y.2解析：選B.x2y，2p1，p，焦點(diǎn)坐標(biāo)為. 3解析：選B.由yax2，得x2y，2，a.4解析：選C.由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程得準(zhǔn)線方程

33、為x.由x2y26x70得(x3)2y216.準(zhǔn)線與圓相切，34，p2.5解析：選B.如圖所示，拋物線的焦點(diǎn)為F(2,0)，準(zhǔn)線方程為x2，由拋物線的定義知：|PF|PE|426. 6解析：選C.點(diǎn)F(4,0)在直線x50的右側(cè)，且P點(diǎn)到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線x50的距離小1，點(diǎn)P到F(4,0)的距離與它到直線x40的距離相等故點(diǎn)P的軌跡為拋物線，且頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向右，p8，故P點(diǎn)的軌跡方程為y216x.7解析：選C.通徑2p8且焦點(diǎn)在x軸上，故選C.8解析：選C.由拋物線定義知|FP1|x1，|FP2|x2，|FP3|x3，|FP1|FP3|2|FP2|，故選C.9解析：選A.令直

34、線與拋物線交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)由得4x28x10，x1x22，x1x2，|AB|.10 解析：選C.|PF|xP，即為PF的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離故該圓與y軸相切11 解析：選B.由題意可得|AB|2p.又焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離|FM|p，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，|FM|AB|，AMB為直角三角形且AMB90°.12解析：選B.y22px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，過焦點(diǎn)且斜率為1的直線方程為yx，即xy，將其代入y22px得y22pyp2，即y22pyp20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y22p，p2，拋物線的方程為y24x，其準(zhǔn)線方程為x1.二 填空題（共4題，每題

35、4分）13解析：由，得ax2x10，由14a0，得a. 答案： 14 解析：設(shè)P(x0，y0)，則|PF|x015，x04，y16，y0±4.答案：(4，±4)15解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|FA|FB|x1x22.又x25x40，x1x25，x1x227.答案：716 解析：焦點(diǎn)在x軸正半軸上時，設(shè)方程為y22px(p>0)代入點(diǎn)(，)得p，焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上時，設(shè)方程為y22px(p>0)，p.綜上，所求方程為y2±x.答案：y2±x三、解答題(本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)17（本題滿分