高二數(shù)學培優(yōu)講義空間向量的運算及空間位置關(guān)系

1、第八講 空間向量的運算及空間位置關(guān)系教學目標：1.了解空間直角坐標系，會用空間直角坐標表示點的位置2.會推導空間兩點間的距離公式3.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示4.掌握空間向量的線性運算及其坐標表示5.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.1、 知識回顧 課前熱身知識點1空間直角坐標系及有關(guān)概念(1)空間直角坐標系名稱內(nèi)容空間直角坐標系以空間一點O為原點，具有相同的單位長度，給定正方向，建立三條兩兩垂直的數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，這時建立了一個空間直角坐標系Oxyz.坐標原點點O坐標軸x軸、y軸、z軸坐

2、標平面通過每兩個坐標軸的平面(2)右手直角坐標系的含義：當右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向時，中指指向z軸的正方向(3)空間中點M的坐標：空間中點M的坐標常用有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)來表示，記作M(x，y，z)，其中x叫做點M的橫坐標，y叫做點M的縱坐標，z叫做點M的豎坐標建立了空間直角坐標系后，空間中的點M和有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)可建立一一對應(yīng)的關(guān)系知識點2空間兩點間的距離(1)設(shè)點A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則|AB|.特別地，點P(x，y，z)與坐標原點O的距離為|OP|.(2)設(shè)點A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)是空間中兩點，則線段AB

3、的中點坐標為.知識點3空間向量的概念及運算空間向量的概念及運算同平面向量基本相同加減運算遵循三角形或平行四邊形法則；數(shù)乘運算和數(shù)量積運算與平面向量的數(shù)乘運算和數(shù)量積運算相同；坐標運算與平面向量的坐標運算類似，僅多出了一個豎坐標知識點4空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理：對空間任意兩個向量a，b(b0)，ab的充要條件是存在實數(shù)，使得ab.(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在惟一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使pxayb.(3)空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使得pxaybzc.其中，

4、a，b，c叫做空間的一個基底知識點5兩個向量的數(shù)量積(與平面向量基本相同)(1)兩向量的夾角：已知兩個非零向量a，b，在空間中任取一點O，作a，b，則角AOB叫做向量a與b的夾角，記作a，b通常規(guī)定0a，b.若a，b，則稱向量a，b互相垂直，記作ab.(2)兩向量的數(shù)量積：兩個非零向量a，b的數(shù)量積a·b|a|b|cosa，b(3)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：a·e|a|cosa，e；aba·b0；|a|2a·aa2；|a·b|a|b|.(4)向量的數(shù)量積滿足如下運算律：(a)·b(a·b)；a·bb·a(交換律

5、)；a·(bc)a·ba·c(分配律)知識點6空間向量的坐標運算(1)設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)ab(a1b1，a2b2，a3b3)，ab(a1b1，a2b2，a3b3)，a(a1，a2，a3)，a·ba1b1a2b2a3b3.aba1b2a2b2a3b30；aba1b1，a2b2，a3b3(R)；cosa，b .(2)設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則(x2x1，y2y1，z2z1)例題辨析 推陳出新例1已知點M(3,2,1)，N(1,0,5)，求：(1)線段MN的長度；(2)到M，N兩點的距離相等的點P(x，y

6、，z)的坐標滿足的條件自主解答(1)根據(jù)空間兩點間的距離公式得線段MN的長度MN2，所以線段MN的長度為2.(2)因為點P(x，y，z)到M，N的距離相等，所以有，化簡得xy2z30，因此，到M，N兩點的距離相等的點P(x，y，z)的坐標滿足的條件是xy2z30.變式練習1已知直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90°，ABACAA12，M為BC1的中點，N為A1B1的中點，求|MN|.解：如圖，以A為原點，AB，AC，AA1為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz，則B(2,0,0)，C1(0,2,2)，A1(0,0,2)，B1(2,0,2)，N(1,0,2)，M(1,1,1)

7、，|MN|.例2(1)如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，O為AC的中點化簡_；用，表示，則_.(2)向量a(3,5，4)，b(2,1,8)計算2a3b,3a2b的值自主解答(1)().()，().(2)解：2a3b2(3,5，4)3(2,1,8)(6,10，8)(6,3,24)(12,13,16)3a2b3(3,5，4)2(2,1,8)(9,15，12)(4,2,16)(13,17,4)答案(1)本例中(1)條件不變，結(jié)論改為：設(shè)E是棱DD1上的點，且，若xyz，試求x，y，z的值解：()，由條件知，x，y，z.變式練習2.如圖所示，已知空間四邊形ABCD中，向量a，b，c，若M為BC

8、中點，G為BCD的重心，試用a、b、c表示下列向量：(1)；(2) .解：(1)在ADM中，由線段中點的向量表示知()(ab)，由相反向量的概念知c.所以(ab)c(ab2c)；(2)由三角形重心的性質(zhì)，得ccc()c(ab2c)(abc)例3已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，用向量法證明：(1)E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)BD平面EFGH.自主解答(1)連接BG，則()，由共面向量定理的推論知：E、F、G、H四點共面(2)因為()，所以EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.變式練習3證明三個向量ae13e22e3，b

9、4e16e22e3，c3e112e211e3共面證明：若e1，e2，e3共面，顯然a，b，c共面；若e1，e2，e3不共面，設(shè)caub，即3e112e211e3(e13e22e3)u(4e16e22e3)，整理得3e112e211e3(4u)e1(36u)e2(22u)e3.由空間向量基本定理可知解得即c5ab，則三個向量共面.例4如圖所示，直三棱柱ABCA1B1C1，底面ABC中，CACB1，BCA90°，棱AA12，M、N分別是A1B1、A1A的中點(1)求BN的長；(2)求異面直線BA1與CB1所成角的余弦值；(3)求證：A1BC1M.自主解答(1)|2·()

10、3;()|2|22·213，|.(2)·()·()·····1·cos 135°0043，又|2()2|22·|22046，|.又|2()2|22·|21045，|.cos，異面直線BA1與CB1所成角的余弦值為.(3)證明：·()·()····001··cos 135°··cos 0°0.，A1BC1M.變式練習4已知空間三點A(2,0,2)，B(1,1,

11、2)，C(3,0,4)設(shè)a，b，(1)求a和b的夾角的余弦值；(2)若向量kab與ka2b互相垂直，求k的值解：A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，a，b，a(1,1,0)，b(1,0,2)(1)cos ，a和b的夾角的余弦值為.(2)kabk(1,1,0)(1,0,2)(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4)，且(kab)(ka2b)，(k1，k,2)·(k2，k，4)(k1)(k2)k282k2k100.則k或k2.3、 歸納總結(jié) 方法在握歸納2個原則建立空間直角坐標系的原則(1)合理利用幾何體中的垂直關(guān)系，特別是面面垂直；(2)盡可能地讓相關(guān)點落在坐標軸或坐

12、標平面上1個方法利用向量法求解立體幾何問題的一般方法利用向量解立體幾何題的一般方法：把線段或角度轉(zhuǎn)化為向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通過向量的運算或證明去解決問題在這里，恰當?shù)剡x取基底可使向量運算簡捷，或者是建立空間直角坐標系，使立體幾何問題成為代數(shù)問題另外，熟練準確地寫出空間中任一點的坐標是解決問題的基礎(chǔ)1個注意點空間向量數(shù)量積計算的一個注意點空間向量的數(shù)量積的計算要充分利用向量所在圖形，巧妙地進行向量的分解與合成，分解時并不是漫無目的的，而要充分利用圖形的特點及其含有的特殊向量，這里的特殊向量主要指具有特殊夾角或已知模的向量. 4、 拓展延伸 能力升華如圖所示，在四棱錐PABCD中

13、，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60°，PAABBC，E是PC的中點證明：(1)AECD；(2)PD平面ABE.證明：AB、AD、AP兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)PAABBC1，則P(0,0,1)(1)ABC60°，ABC為正三角形C，E.設(shè)D(0，y,0)，由ACCD，得·0，即y，則D，.又，·××0，即AECD.(2)法一：P(0,0,1)，.又·××(1)0，即PDAE.(1,0,0)，·0.PDAB，又ABAEA，PD平面AEB.法二：(1,0,0)，設(shè)平面

14、ABE的一個法向量為n(x，y，z)，則令y2，則z，n(0,2，)，顯然n.n，平面ABE，即PD平面ABE. 變式練習正方體ABCDA1B1C1D1中，P為面A1B1C1D1的中心，求證：APB1P.證明：建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，設(shè)棱長為1，則A(1,0,0)，B1(1,1,1)，P，由兩點間的距離公式得|AP| ，|B1P| ，|AB1| ，|AP|2|B1P|2|AB1|2，APB1P.5、 課后作業(yè) 鞏固提高一、選擇題1已知點A(3,0，4)，點A關(guān)于原點的對稱點為B，則|AB|等于()A12B9C25 D10解析：選D點A關(guān)于原點對稱的點B的坐標為(3,0,4)，故|

15、AB|10.2已知向量a(2，3,5)與向量b平行，則()A. B.C D解析：選Cab.3已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab與2ab互相垂直，則k的值為()A1B.C.D.解析：選Dkab(k1，k,2)，2ab(3,2，2)，由題意知，3(k1)2k40，解得k.4已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a、b、c三個向量共面，則實數(shù)等于()A. B.C. D.解析：選D由于a，b，c三個向量共面，所以存在實數(shù)m，n使得cmanb，即有解得m，n，.5如圖，在底面為平行四邊形的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，M是AC與BD的交點，若a，b，c，則下列向

16、量中與相等的向量是()Aabc B.abcC.abc Dabc解析：選A()()cab，即abc.6.(2013·武漢模擬)二面角l為60°，A、B是棱l上的兩點，AC、BD分別在半平面、內(nèi)，ACl，BDl，且ABACa，BD2a，則CD的長為()A2a B.aCa D.a解析：選AACl，BDl，60°，且·0，·0，|2a.二、填空題7已知點P在z軸上，且滿足|OP|1(O為坐標原點)，則點P到點A(1,1,1)的距離為_解析：由題意知，P(0,0,1)或P(0,0，1)|PA| .或|PA| .答案：或8已知O(0,0,0)，A(1,2,

17、3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，點Q在直線OP上運動，當·取最小值時，點Q的坐標是_解析：由題意，設(shè)，即OQ(，2)，則(1，2，32)，(2，1，22)，·(1)(2)(2)(1)(32)(22)62161062，當時有最小值，此時Q點坐標為.答案：9已知a(cos ，1，sin )，b(sin ，1，cos )，則向量ab與ab的夾角是_解析：(ab)·(ab)a2b2|a|2|b|2(cos21sin2)(sin21cos2)0，(ab)(ab)，即向量ab與ab的夾角為90°.答案：90°三、解答題10已知向量a(1，3,2)

18、，b(2,1,1)，點A(3，1,4)，B(2，2,2)(1)求|2ab|；(2)在直線AB上，是否存在一定點E，使得b？(O為原點)解：(1)2ab(2，6,4)(2,1,1)(0，5,5)，故|2ab| 5.(2)t(3，1,4)t(1，1，2)(3t，1t,42t)，若b，則·b0，所以2(3t)(1t)(42t)0，解得t，因此存在點E，使得b，此時E點坐標為.11(2012·合肥模擬)如圖ABCDA1B1C1D1是正方體，M、N分別是線段AD1和BD的中點(1)證明：直線MN平面B1CD1；(2)設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1棱長為a，若以D為坐標原點，分別以DA，DC，DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，試寫出B1、M兩點的坐標，并求線段B1M的長解：(1)連接CD1、AC，則N是AC的中點，在ACD1中，又M是AD1的中點，MNCD1.又MN平面B1CD1，CD1平面B1CD1，MN平面B1CD1.(2)由條件知B1(a，a，a)，M，|B1M| a，即線段B1M的長為a.12如圖，在棱長為a的正方體OABCO