高數(shù)論文2012最新18

1、華 北 水 利 水 電 學(xué) 院 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法(總結(jié))課程名稱： 高等數(shù)學(xué)（2） 專業(yè)班級(jí)：地質(zhì)工程2011002班 2012 年 5月 27日 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法(總結(jié))摘要：本文是對(duì)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別方法的簡(jiǎn)單歸納總結(jié)，我們學(xué)習(xí)過的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性有很多種，如柯西(Cauchy)判別法，拉阿貝(Raabe)判別法，狄利克雷(Dirichlei)判別法，高斯(Gauss)判別法等,進(jìn)而得到一般的解題思. 關(guān)鍵詞：數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 斂散性 判別方法 歸納總結(jié) 解題思路Abstract: This paper is a simple summary of a number of Converge

2、nce and Divergence of the discriminant method, we have studied a number of series convergence Divergence There are many, such as Cauchy (the Cauchy) discrimination, the La Abei (Raabe)discrimination law, Dirichlet (Dirichlei) identification method, gauss (Gauss) discrimination law, and thus be a gen

3、eral problem-solving thinking.Keywords: number of series convergence and divergence of discrimination methods to summarize the problem-solving ideas引言： 在數(shù)學(xué)中無窮級(jí)數(shù)是逼近理論的中的重要內(nèi)容，其本身也是一個(gè)重要內(nèi)容。而數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別方法是解決無窮級(jí)數(shù)的一種重要手段，我們只要按照指定的判別方法進(jìn)行解題，一般都能很容易求得結(jié)果，而判別方法又有多種，有的方法適合于一些特殊的級(jí)數(shù)，而有的方法在一些級(jí)數(shù)中簡(jiǎn)單在另一些級(jí)數(shù)中卻非常的繁瑣，因此在選擇判

4、別方法時(shí)我們不能帶有盲目性 ，拿判別方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)性的解題，只為求得結(jié)果，而不管方法的簡(jiǎn)單與繁瑣，如果我們對(duì)判別方法進(jìn)行簡(jiǎn)單的總結(jié)，從而熟練的掌握各種判別方法，再解題時(shí)選擇從簡(jiǎn)單的方法入手解出正確的答案，避免用繁瑣的方法解題，這樣就能提高自己在數(shù)學(xué)級(jí)數(shù)中的解題效率，我們只有對(duì)所學(xué)的判別方法的使用條件及特點(diǎn)熟悉后，解題思路才不會(huì)凌亂 .所以下面我將對(duì)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別方法進(jìn)行歸納總結(jié)一下.無窮級(jí)數(shù)基本概念 設(shè)是一個(gè)數(shù)列，稱表達(dá)式為（常數(shù)項(xiàng)）無窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)或級(jí)數(shù)，記為或，稱為級(jí)數(shù)的通項(xiàng)或一般項(xiàng)。 下面是幾個(gè)級(jí)數(shù)的例子：（1）1+2+3+4（2）1-1/2+1/3-1/4+（3）1+1/2+

5、1/4+（或）定義12.1 若級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列收斂，即極限存在，則稱級(jí)數(shù)收斂，此時(shí)稱極限為級(jí)數(shù)的和，記為 或=S若級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列發(fā)散，即極限不存在，則稱級(jí)數(shù)發(fā)散。教材中常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別方法有以下幾種特殊項(xiàng)級(jí)數(shù) （一）等比級(jí)數(shù)（即幾何級(jí)數(shù)）判別法：（1） 當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；且和s= （2） 當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散 （二）級(jí)數(shù)判別法：(1)當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散(2)當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂正項(xiàng)級(jí)數(shù)（三） （比較判別法的極限形式）：設(shè)與是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若(1)當(dāng)時(shí)，兩級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散；(2)當(dāng)且級(jí)數(shù)收斂時(shí)，級(jí)數(shù)也收斂； (3)當(dāng)且級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)，級(jí)數(shù)也發(fā)散；（四）比式判別法（極限形式）若為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且則 (1)當(dāng)時(shí)，

6、級(jí)數(shù)也收斂；(2)當(dāng)時(shí)，或時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；注：當(dāng)時(shí)，）比式判別法不能對(duì)級(jí)數(shù)的斂散性作出判斷，因?yàn)樗赡苁鞘諗康?，也可能是發(fā)散的.例如，級(jí)數(shù)與，它們的比式極限都是 但是收斂的，而是發(fā)散的.（五）根式判別法（極限形式）若為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且則(1)當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂(2)當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散注：當(dāng)時(shí)，根式不能對(duì)級(jí)數(shù)的斂散性作出判斷例如，級(jí)數(shù)與，二者都有，但是收斂的，而是發(fā)散的.但是收斂的，而是發(fā)散的.（六）積分判別法：設(shè)是上非負(fù)遞減函數(shù)那么正項(xiàng)級(jí)數(shù)與非正常積分同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散；（七）拉貝判別法（極限形式）若為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且存在，則(1)當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；(2)當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；(3)當(dāng)時(shí)拉貝判別法無法判斷.一般項(xiàng)級(jí)數(shù)（

7、八）級(jí)數(shù)若，則此級(jí)數(shù)發(fā)散.（九）柯西收斂準(zhǔn)則級(jí)數(shù)收斂的充要條件：當(dāng) 時(shí)，有： （十）絕對(duì)收斂定義法：若級(jí)數(shù)各項(xiàng)絕對(duì)值所組成的級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則稱原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；若級(jí)數(shù)收斂，而級(jí)數(shù)發(fā)散，則稱級(jí)數(shù)條件收斂；（十一）萊布尼茲判別法：若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足下述兩個(gè)條件：(1)數(shù)列單調(diào)遞減；(2)則級(jí)數(shù)收斂.（十二）阿貝耳判別法：設(shè)級(jí)數(shù)若為單調(diào)有界數(shù)列，且級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)收斂.（十三）狄利克雷判別法：設(shè)級(jí)數(shù)若單調(diào)遞減，且又級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有界，則級(jí)數(shù)收斂.每個(gè)級(jí)數(shù)收斂的判別方法往往不是唯一的，按什么步驟判別其斂散性才能較快地得出結(jié)論呢？ (1)等比級(jí)數(shù)和級(jí)數(shù)的斂散性判別比較簡(jiǎn)單，由級(jí)數(shù)的形式就可直接看出；由，

8、即可判斷，級(jí)數(shù)發(fā)散；比式判別法和根式判別法只要算出和的值即可。前者比后者更常用，但后者較之前者更有效（見例1），以上這些方法都比較簡(jiǎn)單，應(yīng)優(yōu)先考慮：比較原則需要找一個(gè)已知其斂散性的級(jí)數(shù)作比較（見例2）：積分判別法是利用非負(fù)函數(shù)的單調(diào)性和積分性質(zhì)，并以非正常積分為比較對(duì)象來判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性的方法（見例3）：比式判別法和根式判別法是基于把要判斷的級(jí)數(shù)與某一幾何級(jí)數(shù)相比較的想法而得到的，也就是說，只有那些級(jí)數(shù)的通項(xiàng)收斂于零的速度比某一幾何級(jí)數(shù)的通項(xiàng)收斂速度快的級(jí)數(shù)，這兩種方法才能鑒定出它的收斂性.如果級(jí)數(shù)的通項(xiàng)收斂于零的速度較慢，就必須尋找級(jí)數(shù)的通項(xiàng)收斂于零的速度較慢的級(jí)數(shù)作為比較標(biāo)準(zhǔn)，那么以P

9、-級(jí)數(shù)為比較標(biāo)準(zhǔn)，得到拉貝判別法（見例4）.對(duì)于一般項(xiàng)級(jí)數(shù)應(yīng)先判別的斂散性，可按正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別方法判定，若收斂，則絕對(duì)收斂（見例5），若發(fā)散：再看是否滿足交錯(cuò)級(jí)數(shù)的收斂條件，若滿足則為條件收斂（見例6）.對(duì)于行如的級(jí)數(shù)可用阿貝爾判別法（見例7）或狄利克雷判別法（見例8）判別其收斂性，這兩種方法難度都比較大，應(yīng)適當(dāng)選取和,最后對(duì)于任意的級(jí)數(shù)都可以用柯西收斂準(zhǔn)則進(jìn)行判斷其斂散性，但繁瑣，難度大，在可以使用以上方法判斷時(shí)，應(yīng)盡量避免使用柯西收斂準(zhǔn)則（見例9）例1：判別級(jí)數(shù)的斂散性解：首先它不是等比級(jí)數(shù)，也不是級(jí)數(shù)，由于 故用比式判別法無法判定此級(jí)數(shù)的斂散性，現(xiàn)在用根式判別法來考察這個(gè)級(jí)數(shù)，由于

10、 所以 由根式判別法知原級(jí)數(shù)收斂.注：能由比式判別法判定斂散性的級(jí)數(shù)，也能用根式判別法來判斷，反之不成立.例2 判別級(jí)數(shù)的斂散性解：它不是等比級(jí)數(shù)也不是級(jí)數(shù)，也無法用比式判別法和根式判別法來解題。由于 ，根據(jù)比較原則，及調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散，所以級(jí)數(shù)也發(fā)散.例3 討論級(jí)數(shù)的斂散性 解：研究非正常積分，由于當(dāng)時(shí)收斂 時(shí)發(fā)散，由積分判別法級(jí)數(shù)在時(shí)收斂 時(shí)發(fā)散例4 討論級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)的斂散性解：無論哪一個(gè)值，級(jí)數(shù)的比式極限都有所以用比式判別法都無法判別此級(jí)數(shù)的斂散性，現(xiàn)在應(yīng)用拉貝判別法來討論，當(dāng)時(shí)，由于所以級(jí)數(shù)是發(fā)散的.當(dāng)時(shí)，由于這時(shí)，拉貝判別法也無法對(duì)此級(jí)數(shù)作出判斷，當(dāng)時(shí)，由于所以級(jí)數(shù)收斂.例5的各項(xiàng)絕對(duì)值所組

11、成的級(jí)數(shù)是應(yīng)用比式判別法，對(duì)于任意實(shí)數(shù)都有=0因此，所考察的級(jí)數(shù)對(duì)任何實(shí)數(shù)都絕對(duì)收斂.例6 考察級(jí)數(shù) 的斂散性.解：因?yàn)榘l(fā)散，不滿足絕對(duì)收斂定義，而此級(jí)數(shù)滿足萊布尼茨條件，故收斂.例7 討論級(jí)數(shù) (x>0)的斂散性.解：對(duì)于數(shù)列 來說，當(dāng)x>0時(shí)，0<<=1又即數(shù)列 是單調(diào)有界的，又 收斂，由阿貝爾判別法知道愿級(jí)數(shù)收斂.例8 證明：若數(shù)列 具有性質(zhì)： ,則級(jí)數(shù) 對(duì)任何x都收斂.證明：因?yàn)? 當(dāng)x時(shí),故有： 所以級(jí)數(shù) 的部分和數(shù)列當(dāng)x時(shí)有界，由狄利克雷判別法得級(jí)數(shù)收斂.例9 證明級(jí)數(shù)的收斂性證明：為p-級(jí)數(shù)，p=2>1，顯然此級(jí)數(shù)是收斂的.（下面用柯西收斂準(zhǔn)則證明）

12、由于=<=<因此，對(duì)任給正數(shù) ，取，使得當(dāng)m>N 及任意自然數(shù)p，由上式就有<<由柯西收斂準(zhǔn)則推得級(jí)數(shù)是收斂的. 結(jié)束語(yǔ)總結(jié)了數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法和解題思路，我們就能更好地掌握如何先則數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法，做到避繁就簡(jiǎn)，思路清晰，起到事半功倍的效果. 在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中我們經(jīng)常會(huì)遇到這樣或那樣的問題，只有不斷的做出總結(jié)，才能在學(xué)習(xí)中得到簡(jiǎn)單的解題技巧，而不讓數(shù)學(xué)中的難題成為我們提高學(xué)習(xí)能力攔路虎，在對(duì)無窮極限的判別方法做出了總結(jié)后，我們就應(yīng)該收獲這份經(jīng)驗(yàn)，為以后的學(xué)習(xí)或工作都養(yǎng)成總結(jié)的良好習(xí)慣。數(shù)學(xué)是與我們的生活息息相關(guān)的話題，對(duì)于一個(gè)給定的問題，在理論和應(yīng)用中運(yùn)用數(shù)學(xué)的邏輯思維和解題技巧會(huì)讓我們對(duì)于這個(gè)問題有更深刻的理解，例如：一個(gè)球落地后被彈起又落下求第20次的高度(假設(shè)每次損失的能量一定)。我們解決問題的過程其實(shí)就是我們探索奧秘，得到真理的過程。 參考文獻(xiàn)：1高等數(shù)學(xué) 上海交通大學(xué)，集美大學(xué)第三版 2011.62華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編數(shù)學(xué)分析（第三版）北京大學(xué)高等教育出版社，19913數(shù)學(xué)分析習(xí)題解析下冊(cè)，陜西師范大學(xué)出版社，1993The Induction about Convergence Criterions of Constant Term Series and the Analysis of Thinks of Solution