高中培優(yōu)講義定積分及其簡(jiǎn)單應(yīng)用

1、第十三講 定積分及其簡(jiǎn)單應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)：1、了解定積分的實(shí)際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念 2、了解微積分基本定理的含義.1、 知識(shí)回顧 課前熱身知識(shí)點(diǎn)1、定積分(1)定積分的相關(guān)概念 在f(x)dx中，a，b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間a，b叫做積分區(qū)間，f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式(2)定積分的幾何意義當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上恒為正時(shí)，定積分f(x)dx的幾何意義是由直線xa，xb(ab)，y0和曲線yf(x)所圍成的曲邊梯形的面積(左圖中陰影部分)一般情況下，定積分f(x)dx的幾何意義是介于x軸、曲線f(x)以及直線xa，xb之間的曲

2、邊梯形面積的代數(shù)和(右上圖中陰影所示)，其中在x軸上方的面積等于該區(qū)間上的積分值，在x軸下方的面積等于該區(qū)間上積分值的相反數(shù)(3)定積分的基本性質(zhì)kf(x)dxkf(x)dx. f1(x)±f2(x)dxf1(x)dx±f2(x)dx.f(x)dxf(x)dxf(x)dx.(4)定積分f(x)g(x)dx(f(x)>g(x)的幾何意義是什么？提示：由直線xa，xb和曲線yf(x)，yg(x)所圍成的曲邊梯形的面積知識(shí)點(diǎn)2、微積分基本定理 如果f(x)是區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù)，并且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)，這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓

3、萊布尼茲公式為了方便，常把F(b)F(a)記成F(x)，即f(x)dxF(x)F(b)F(a)基礎(chǔ)練習(xí)1.dx等于()A2ln 2 B2ln 2 Cln 2 Dln 2解析：選Ddxln xln 4ln 2ln 2.2一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)速度和時(shí)間的關(guān)系為V(t)t2t2，質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，則此物體在時(shí)間1,2內(nèi)的位移為()A. B. C. D.解析：選AS(t2t2)dt.3直線x0，x2，y0與曲線yx2所圍成的曲邊梯形的面積為_解析：x2dxx3. 答案：4dx_.解析：由定積分的幾何意義可知，dx表示單位圓x2y21在第一象限內(nèi)部分的面積，所以dx. 答案：2、 例題辨析 推陳出新例1、利用微積

4、分基本定理求下列定積分：(1)(x22x1)dx； (2)(sin xcos x)dx； (3)x(x1)dx；(4)dx； (5) sin2dx.解答(1)(x22x1)dxx2dx2xdx1dxx2x.(2)(sin xcos x)dxsin xdxcos xdx(cos x)sin x2.(3)x(x1)dx(x2x)dxx2dxxdxx3x2.(4)dxe2xdxdxe2xln xe4e2ln 2ln 1e4e2ln 2.(5) sin2 dxdxdxcos xdxxsin x.變式練習(xí)1求下列定積分：(1)|x1|dx；(2) dx.解：(1)|x1|故|x1|dx(1x)dx(x1

5、)dx1.(2) dx|sin xcos x|dx (cos xsin x)dx (sin xcos x)dx(sin xcos x)(cos xsin x) 1(1)22.例2、dx_.解答dx表示y與x0，x1及y0所圍成的圖形的面積由y得(x1)2y21(y0)，又0x1，y與x0，x1及y0所圍成的圖形為個(gè)圓，其面積為.dx.在本例中，改變積分上限，求dx的值解：dx表示圓(x1)2y21在第一象限內(nèi)部分的面積，即半圓的面積，所以dx. 變式練習(xí)2(2013·福建模擬)已知函數(shù)f(x)(cos tsin t)dt(x>0)，則f(x)的最大值為_解析：因?yàn)閒(x)sin

6、dtcoscoscos sin xcos x1sin11，當(dāng)且僅當(dāng)sin1時(shí)，等號(hào)成立答案：13、 歸納總結(jié) 方法在握歸納1、利用幾何意義求定積分的方法(1)當(dāng)被積函數(shù)較為復(fù)雜，定積分很難直接求出時(shí)，可考慮用定積分的幾何意義求定積分(2)利用定積分的幾何意義，可通過圖形中面積的大小關(guān)系來比較定積分值的大小歸納2、求定積分的一般步驟計(jì)算一些簡(jiǎn)單的定積分，解題的步驟是：(1)把被積函數(shù)變形為冪函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)的積的和或差；(2)把定積分用定積分性質(zhì)變形為求被積函數(shù)為上述函數(shù)的定積分；(3)分別用求導(dǎo)公式找到一個(gè)相應(yīng)的原函數(shù)；(4)利用牛頓萊布尼茲公式求出各個(gè)定積分的值；(5

7、)計(jì)算原始定積分的值歸納3、利用定積分求曲邊梯形面積的步驟(1)畫出曲線的草圖(2)借助圖形，確定被積函數(shù)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分的上、下限(3)將“曲邊梯形”的面積表示成若干個(gè)定積分的和或差(4)計(jì)算定積分，寫出答案4、 拓展延伸 能力升華利用定積分求平面圖形的面積例1、 (2012·山東高考)由曲線y，直線yx2及y軸所圍成的圖形的面積為()A. B4 C. D6解答 由y及yx2可得，x4，即兩曲線交于點(diǎn)(4,2)由定積分的幾何意義可知，由y及yx2及y軸所圍成的封閉圖形面積為(x2)dx. 答案C若將“yx2”改為“yx2”，將“y軸”改為“x軸”，如何求解？解：如圖所示，由

8、y及yx2可得x1.由定積分的幾何意義可知，由y，yx2及x軸所圍成的封閉圖形的面積為f(x)dxdx(x2)dxx. 變式練習(xí)3(2013·鄭州模擬)如圖，曲線yx2和直線x0，x1，y所圍成的圖形(陰影部分)的面積為()A. B. C. D.解析：選D由x或x(舍)，所以陰影部分面積Sdxdx.定積分在物理中的應(yīng)用例2、列車以72 km/h的速度行駛，當(dāng)制動(dòng)時(shí)列車獲得加速度a0.4 m/s2，問列車應(yīng)在進(jìn)站前多長(zhǎng)時(shí)間，以及離車站多遠(yuǎn)處開始制動(dòng)？解答a0.4 m/s2，v072 km/h20 m/s.設(shè)t s后的速度為v，則v200.4t.令v0，即200.4 t0得t50 (s)

9、設(shè)列車由開始制動(dòng)到停止所走過的路程為s，則svdt(200.4t)dt(20t0.2t2)20×500.2×502500(m)，即列車應(yīng)在進(jìn)站前50 s和進(jìn)站前500 m處開始制動(dòng)變式練習(xí)4一物體在力F(x)(單位：N)的作用下沿與力F(x)相同的方向運(yùn)動(dòng)了4米，力F(x)做功為()A44 JB46 J C48 J D50 J解析：選B力F(x)做功為10dx(3x4)dx10x202646.例3、(2012·上海高考)已知函數(shù)yf(x)的圖象是折線段ABC，其中A(0,0)，B，C(1,0)函數(shù)yxf(x)(0x1)的圖象與x軸圍成的圖形的面積為_解析由題意可得

10、f(x)所以yxf(x)與x軸圍成圖形的面積為10x2dx(10x10x2)dxx3.答案變式練習(xí)1由曲線yx2，yx3圍成的封閉圖形面積為()A. B. C. D.解析：選A由得x0或x1，由圖易知封閉圖形的面積(x2x3)dx.2(2012·山東高考)設(shè)a>0.若曲線y與直線xa，y0所圍成封閉圖形的面積為a2，則a_.解析：由題意dxa2.又，即xa2，即aa2.所以a.答案：5、 課后作業(yè) 鞏固提高1.dx()Aln xln2xB.1 C. D.解析：選Cdx.2(2012·湖北高考)已知二次函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則它與x軸所圍圖形的面積為()A. B

11、. C. D.解析：選B由題中圖象易知f(x)x21，則所求面積為2(x21)dx2.3設(shè)f(x)則f(x)dx()A. B. C. D不存在解析：選C如圖f(x)dxx2dx(2x)dxx3.4以初速度40 m/s豎直向上拋一物體，t秒時(shí)刻的速度v4010t2，則此物體達(dá)到最高時(shí)的高度為()A. m B. m C. m D. m解析：選Av4010t20，t2，(4010t2)dt40×2×8 (m)5(2013·青島模擬)由直線x，x，y0與曲線ycos x所圍成的封閉圖形的面積為()A. B1 C. D.解析：選D結(jié)合函數(shù)圖象可得所求的面積是定積分cos x

12、dxsin x.6設(shè)asin xdx，則曲線yf(x)xaxax2在點(diǎn)(1，f(1)處的切線的斜率為_解析：asin xdx(cos x)2，yx·2x2x2.y2xx·2xln 22.曲線在點(diǎn)(1，f(1)處的切線的斜率ky|x142ln 2.答案：42ln 27在等比數(shù)列an中，首項(xiàng)a1，a4(12x)dx，則該數(shù)列的前5項(xiàng)之和S5等于_解析：a4(12x)dx(xx2)18，因?yàn)閿?shù)列an是等比數(shù)列，故18q3，解得q3，所以S5.答案：8(2013·孝感模擬)已知a，則當(dāng)(cos xsin x)dx取最大值時(shí)，a_.解析：(cos xsin x)dx(sin

13、 xcos x)sin acos a1sin1，a，當(dāng)a時(shí)，sin1取最大值答案：9計(jì)算下列定積分：(1) sin2xdx； (2)2dx； (3)e2xdx.解：(1) sin2xdxdx0.(2)2dxdx(24ln 2)ln 3ln 2ln .(3) e2xdxe2xe.10如圖所示，直線ykx分拋物線yxx2與x軸所圍圖形為面積相等的兩部分，求k的值解：拋物線yxx2與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x10，x21，所以，拋物線與x軸所圍圖形的面積S(xx2)dx.又由此可得，拋物線yxx2與ykx兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x30，x41k，所以，(xx2kx)dx(1k)3.又知S，所以(1k)3，于是k1 1.11如圖，設(shè)點(diǎn)P從原點(diǎn)沿曲線yx2向