高等數(shù)學(xué)能力應(yīng)用題

1、高等數(shù)學(xué)應(yīng)用（建模）題（圖書館參考圖書：高等數(shù)學(xué)應(yīng)用205例）1貨幣兌換問題已知美元兌換成加拿大元時，幣面數(shù)值增加12%，把加拿大元兌換成美元時，幣面數(shù)值減少12%。某人準備從美國到加拿大去度假，他把1000美元兌換成加拿大元，但因故未能去成，于是他又將加拿大元兌換成了美元，問他是否虧損？解：設(shè)為將美元兌換成的加拿大元數(shù)，為將加拿大元兌換成的美元數(shù)。則：，1000-985.6=14.4，即虧損14.4美元。2住房是居民消費的一個重要部分。大部分選擇銀行按揭貸款，然后再若干年內(nèi)逐月分期還款。如果你借了10萬元，還款額一定超過10萬元。設(shè)貸款總額為，貸款期限為個月，采取逐月等額方式還本息。若為第個

2、月的欠款數(shù)，為月還款數(shù)，為月利率。我們得到下列迭代關(guān)系式：那么，當時，。由此可以得到月還款計算公式：例題1：農(nóng)夫老李有一個半徑為10米的圓形牛欄，里面長滿了草，老李要將家里一頭牛拴在一根欄樁上，但只讓牛吃到一半草，它想讓上大學(xué)的兒子告訴他，栓牛鼻的繩子應(yīng)為多長？例題2：通道中的細桿10m5m要運送一根細桿通過由寬5m和寬10m的通道垂直交叉口，在運送過程中必須保持細桿水平，問這根細桿最多可以多長？又通道為圓柱形的且細桿不必保持水平，細桿至多可以有多長？3房租如何定價使利潤最大一房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租。當租金定為每月180元時，公寓會全部租出去。當租金每增加10元時，就有一套租不出去，而租

3、出去的房子每月需花費20元的整修維護費。試問房租定為多少可獲得最大收入？解設(shè)租金為元/月，租出的公寓有套，總收入為令，得唯一駐點，此時。所以，當租金定為350元/月時可獲得最大收入，最大收入為10890元。*4拉船靠岸問題如圖所示，在離水面高度為米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，假定繩長為米，船位于離岸壁米處，試問：當收繩速度為米/秒時，船的速度、加速度各是多少？解：、h、s三者構(gòu)成了直角三角形，由勾股定理得（1）兩端同時對時間求導(dǎo)，得，即（2）為繩長，按速度定義，即為收繩速度，船只能沿線在水面上行駛逐漸靠近岸壁，因而應(yīng)為船速，將它們代入（2）式得船速（3）利用（1）式消去，得（m/s）（4）（注

4、：原先是的函數(shù)，現(xiàn)改為的函數(shù)）（4）中，都是常數(shù)，只有s是變量。按加速度定義將（4）式代入上式，得（m/s）（5）（這里的負號表明加速度的方向與x軸的正向相反）*5飛機俯沖時機翼影子的速度一架飛機沿拋物線的軌道向地面俯沖，如圖所示，軸取在地面上。機翼到地面的距離以100m/s的固定速度減少。問機翼離地面2501米時，機翼影子在地面上運動的速度是多少（假設(shè)太陽光線是鉛直的）解：機翼到地面的距離以100m/s的速度遞減，所以機翼垂直下降的速度是（取負號是因為下降，方向向下）。因為太陽光是垂直的，所以機翼影子在地面的運動速度就是飛機機翼的水平速度，故本題是求當時，=？等式（1）兩邊對t求導(dǎo)，得（2）

5、由（1），有，當時，.把，代入（2）即得=1（m/s）*6如何選擇最優(yōu)批量某工廠生產(chǎn)某型號車床，年產(chǎn)量為臺，分若干批（每一批臺數(shù)相同）進行生產(chǎn)，每批生產(chǎn)準備費為元，設(shè)產(chǎn)品均勻投入市場，且上一批用完后立即生產(chǎn)下一批（不考慮生產(chǎn)需要的時間），即平均庫存為批量的一半。設(shè)每年每臺庫存費為元。顯然，生產(chǎn)批量大則庫存費高，生產(chǎn)批量少則批數(shù)增多，因此生產(chǎn)準備費高。如何選擇批量，才能使一年中庫存費與生產(chǎn)準備費的和最小。解：設(shè)批量為，庫存費與生產(chǎn)費的和為，首先求出。因年產(chǎn)量為，所以每年生產(chǎn)的批數(shù)為，則生產(chǎn)準備費為，因年庫存量為，故年庫存費為，因此可得，其次，在不考慮生產(chǎn)能力的條件下，問每批生產(chǎn)多少臺（即批量）時

6、，為最??？這是一個一元函數(shù)極值問題，對求導(dǎo)得，令，得，舍去負根，得駐點，又因，因此，當時，取得極小值即最小值。于是得出：要使一年中庫存費與生產(chǎn)準備費之和最小的最優(yōu)批量應(yīng)為。7您的書寫燈應(yīng)該掛多高一個燈泡吊在半徑為r的圓桌的正上方，桌上任一點受到的照度與光線的入射角的余弦值成正比（入射角是光線與桌面的垂直直線之間的夾角），而與光源的距離平方成反比。欲使桌子的邊緣得到最強的照度，問燈泡應(yīng)掛在桌面上方多高？燈解：如圖，在桌子邊緣處的照度，其中為比例常數(shù)，為燈到桌子邊緣的距離。設(shè)為燈到桌面的距離，于是，所以，對求導(dǎo)，得，,容易驗證此時取得最大值。（做了這道題后，當您在晚上閱讀或書寫時，是否考慮設(shè)計一下

7、您的書寫燈的位置，使您在學(xué)習(xí)時能得到最佳的照度？）8何處看塑像最好海洋公園中有一高為a米的魚美人塑像，其底座高為b米。為了觀賞時看得最清楚（即對塑像張成的夾角最大），應(yīng)該站在離底座腳多遠的地方？解：設(shè)游人的水平視線距地面c(c<b)米，底座的高與c之差為h米（如圖）。可以想到，如果站得很遠，那么張角一定很小；如果站得離底座腳很近，那么也很小。因此，一定有一最佳距離A0=x，對于這個x所得張角最大，并且也最大。問題轉(zhuǎn)化為求的極值。由得設(shè)令得定義域內(nèi)唯一駐點。因此，游人應(yīng)站在離底座腳處觀賞魚美人塑像為最好。9如何購物最滿意日常生活中，人們常常碰到如何分配定量的錢來購買兩種物品的問題。由于錢數(shù)

8、固定，則如果購買其中一種物品較多，那么勢必少買（甚至不再能買）另一種物品，這樣就不可能令人滿意。如何花費給定量的錢，才能達到最滿意的效果呢？經(jīng)濟學(xué)家試圖借助“效用函數(shù)”來解決這一問題。所謂效用函數(shù)，就是描述人們同時購買兩種產(chǎn)品各單位、單位時滿意程度的量。常見形式有，等，而當效用函數(shù)達到最大值時，人們購物分配的方案最佳。例：小孫有200元錢，他決定購買兩種急需物品：計算機磁盤和錄音磁帶。且設(shè)他購買張磁盤，盒磁帶的效用函數(shù)為。設(shè)每張磁盤8元，每盒磁帶10元，問他如何分配他的200元錢，才能達到最滿意的效果？解：這是一個條件極值問題，即求在約束之下的極值點，應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法。定義拉格朗日函數(shù)：解得

9、，為最大值點。即小孫用200元錢購買12張磁盤和10盒磁帶最滿意。（解法二，可以將約束條件改成代入效用函數(shù)，得，變成一元函數(shù)求極值問題。）10減肥的微分方程基本新陳代謝所需的熱量為1200卡/天，設(shè)攝入的多余熱量按10000卡=1公斤脂肪100%的轉(zhuǎn)化成脂肪。如果某人參加減肥療程，每天按食譜攝入的熱量為2500卡，每天減肥鍛煉消耗的熱量為16卡/公斤體重。問其體重如何變化？解：攝入熱量=新陳代謝消耗熱量+運動消耗熱量+轉(zhuǎn)化為脂肪的熱量設(shè)為其每天的體重。 而（微分中值定理）所以可以求解出11種群增長模型假設(shè)單位時間內(nèi)每個種群成員帶來個新成員（即出生率）這是一個粗糙的模型。我們忽略了性別、年齡的差

10、異，也沒有考慮由于生存空間和財富的限制而產(chǎn)生的互相競爭。如果設(shè)時刻種群的大小為，則而所以問題歸結(jié)為求下述微分方程問題的解：12導(dǎo)彈追蹤曲線自動導(dǎo)航的導(dǎo)彈可以利用儀器裝置去追蹤它的目標，其中一種辦法就是攝像裝置確定追蹤目標的位置，使自己飛行方向始終指向追蹤目標。設(shè)時導(dǎo)彈位于原點，飛行器位于，設(shè)飛行器以常速沿水平方向飛行，導(dǎo)彈的飛行方向指向飛行器，速度大小為.0yx解：設(shè)導(dǎo)彈追蹤曲線的方程為，時刻導(dǎo)彈位于。飛行器位于，應(yīng)在點處的追蹤曲線的切線上。所以，求解即可。進一步：如何改進追蹤模型以及如何反追蹤？例題物體冷卻的數(shù)學(xué)模型將物體放置于空氣中，在時刻t=0時，測量得它的溫度為，10分鐘后測量得溫度為

11、。我們要求此物體的溫度u和時間t的關(guān)系，并計算20分鐘后物體的溫度。假定空氣溫度保持為。解 為了解決上述問題，需要了解有關(guān)熱力學(xué)的一些基本規(guī)律。例如，熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導(dǎo)；在一定的溫度范圍內(nèi)，一個物體的溫度變化速度與這一物體的溫度和其所在介質(zhì)溫度的差值成正比。（Newton冷卻定律）設(shè)物體在時刻t的溫度為u=u(t)，則溫度的變化速度可用來表示。注意到熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導(dǎo)的，因而；又因物體將隨時間而逐漸冷卻，所以。所以有其中k>0是比例常數(shù)。上式即為物體冷卻過程的數(shù)學(xué)模型。求解后得可計算20分鐘后溫度為，當時，溫度（推廣：雙層玻璃的功效）13投入產(chǎn)

12、出分析一個城鎮(zhèn)有三個主要企業(yè)：煤礦、電廠和地方鐵路作為它的經(jīng)濟系統(tǒng)。生產(chǎn)價值1元的煤，需消耗0.25元的電費和0.35元的運輸費；生產(chǎn)1元的電，需消耗0.4元的煤費、0.05元的電費和0.1元的運輸費；而提供價值1元的鐵路運輸服務(wù)，則需消耗0.45元的煤費、0.1元的電費和0.1元的運輸費。在某個星期內(nèi)，除了這三個企業(yè)間的彼此需求，煤礦得到50000元的訂單，電廠得到25000元的電量供應(yīng)要求，而地方鐵路得到價值30000元的運輸需求。試問：（1）這三個企業(yè)在這星期各應(yīng)生產(chǎn)多少產(chǎn)值才能滿足內(nèi)外需求？（2）除了外部需求，試求這星期各企業(yè)之間的消耗需求，同時求出各企業(yè)新創(chuàng)造的價值（即產(chǎn)值中除去各企業(yè)的消耗所剩的部分）。解：（1）設(shè)煤礦、電廠和鐵路在這星期生產(chǎn)總產(chǎn)值分別為、元，則有 （方程組1）該方程每個等式以價值形式說明了對每一企業(yè)：中間產(chǎn)品（作為系統(tǒng)內(nèi)各企業(yè)的消耗）+最終產(chǎn)品（外部需求）=總產(chǎn)品。求解方程組1得，。即在該星期中，煤礦、電廠和地方鐵路的總產(chǎn)值分別為11458元、65395元和85111元。（2）另外，若設(shè)、元分別為煤礦、電廠和地方鐵路在這星期的新創(chuàng)價值，則有： （方程組2）方程組2說明對每一企業(yè)：對系統(tǒng)內(nèi)各企業(yè)產(chǎn)品的消耗+新創(chuàng)價值=總產(chǎn)值。由方程