高等數(shù)學(xué)能力應(yīng)用題_第1頁
高等數(shù)學(xué)能力應(yīng)用題_第2頁
高等數(shù)學(xué)能力應(yīng)用題_第3頁
高等數(shù)學(xué)能力應(yīng)用題_第4頁
高等數(shù)學(xué)能力應(yīng)用題_第5頁
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文檔簡介

1、高等數(shù)學(xué)應(yīng)用(建模)題(圖書館參考圖書:高等數(shù)學(xué)應(yīng)用205例)1貨幣兌換問題已知美元兌換成加拿大元時,幣面數(shù)值增加12%,把加拿大元兌換成美元時,幣面數(shù)值減少12%。某人準備從美國到加拿大去度假,他把1000美元兌換成加拿大元,但因故未能去成,于是他又將加拿大元兌換成了美元,問他是否虧損?解:設(shè)為將美元兌換成的加拿大元數(shù),為將加拿大元兌換成的美元數(shù)。則:,1000-985.6=14.4,即虧損14.4美元。2住房是居民消費的一個重要部分。大部分選擇銀行按揭貸款,然后再若干年內(nèi)逐月分期還款。如果你借了10萬元,還款額一定超過10萬元。設(shè)貸款總額為,貸款期限為個月,采取逐月等額方式還本息。若為第個

2、月的欠款數(shù),為月還款數(shù),為月利率。我們得到下列迭代關(guān)系式:那么,當時,。由此可以得到月還款計算公式:例題1:農(nóng)夫老李有一個半徑為10米的圓形牛欄,里面長滿了草,老李要將家里一頭牛拴在一根欄樁上,但只讓牛吃到一半草,它想讓上大學(xué)的兒子告訴他,栓牛鼻的繩子應(yīng)為多長?例題2:通道中的細桿10m5m要運送一根細桿通過由寬5m和寬10m的通道垂直交叉口,在運送過程中必須保持細桿水平,問這根細桿最多可以多長?又通道為圓柱形的且細桿不必保持水平,細桿至多可以有多長?3房租如何定價使利潤最大一房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租。當租金定為每月180元時,公寓會全部租出去。當租金每增加10元時,就有一套租不出去,而租

3、出去的房子每月需花費20元的整修維護費。試問房租定為多少可獲得最大收入?解設(shè)租金為元/月,租出的公寓有套,總收入為令,得唯一駐點,此時。所以,當租金定為350元/月時可獲得最大收入,最大收入為10890元。*4拉船靠岸問題如圖所示,在離水面高度為米的岸上,有人用繩子拉船靠岸,假定繩長為米,船位于離岸壁米處,試問:當收繩速度為米/秒時,船的速度、加速度各是多少?解:、h、s三者構(gòu)成了直角三角形,由勾股定理得(1)兩端同時對時間求導(dǎo),得,即(2)為繩長,按速度定義,即為收繩速度,船只能沿線在水面上行駛逐漸靠近岸壁,因而應(yīng)為船速,將它們代入(2)式得船速(3)利用(1)式消去,得(m/s)(4)(注

4、:原先是的函數(shù),現(xiàn)改為的函數(shù))(4)中,都是常數(shù),只有s是變量。按加速度定義將(4)式代入上式,得(m/s)(5)(這里的負號表明加速度的方向與x軸的正向相反)*5飛機俯沖時機翼影子的速度一架飛機沿拋物線的軌道向地面俯沖,如圖所示,軸取在地面上。機翼到地面的距離以100m/s的固定速度減少。問機翼離地面2501米時,機翼影子在地面上運動的速度是多少(假設(shè)太陽光線是鉛直的)解:機翼到地面的距離以100m/s的速度遞減,所以機翼垂直下降的速度是(取負號是因為下降,方向向下)。因為太陽光是垂直的,所以機翼影子在地面的運動速度就是飛機機翼的水平速度,故本題是求當時,=?等式(1)兩邊對t求導(dǎo),得(2)

5、由(1),有,當時,.把,代入(2)即得=1(m/s)*6如何選擇最優(yōu)批量某工廠生產(chǎn)某型號車床,年產(chǎn)量為臺,分若干批(每一批臺數(shù)相同)進行生產(chǎn),每批生產(chǎn)準備費為元,設(shè)產(chǎn)品均勻投入市場,且上一批用完后立即生產(chǎn)下一批(不考慮生產(chǎn)需要的時間),即平均庫存為批量的一半。設(shè)每年每臺庫存費為元。顯然,生產(chǎn)批量大則庫存費高,生產(chǎn)批量少則批數(shù)增多,因此生產(chǎn)準備費高。如何選擇批量,才能使一年中庫存費與生產(chǎn)準備費的和最小。解:設(shè)批量為,庫存費與生產(chǎn)費的和為,首先求出。因年產(chǎn)量為,所以每年生產(chǎn)的批數(shù)為,則生產(chǎn)準備費為,因年庫存量為,故年庫存費為,因此可得,其次,在不考慮生產(chǎn)能力的條件下,問每批生產(chǎn)多少臺(即批量)時

6、,為最???這是一個一元函數(shù)極值問題,對求導(dǎo)得,令,得,舍去負根,得駐點,又因,因此,當時,取得極小值即最小值。于是得出:要使一年中庫存費與生產(chǎn)準備費之和最小的最優(yōu)批量應(yīng)為。7您的書寫燈應(yīng)該掛多高一個燈泡吊在半徑為r的圓桌的正上方,桌上任一點受到的照度與光線的入射角的余弦值成正比(入射角是光線與桌面的垂直直線之間的夾角),而與光源的距離平方成反比。欲使桌子的邊緣得到最強的照度,問燈泡應(yīng)掛在桌面上方多高?燈解:如圖,在桌子邊緣處的照度,其中為比例常數(shù),為燈到桌子邊緣的距離。設(shè)為燈到桌面的距離,于是,所以,對求導(dǎo),得,,容易驗證此時取得最大值。(做了這道題后,當您在晚上閱讀或書寫時,是否考慮設(shè)計一下

7、您的書寫燈的位置,使您在學(xué)習(xí)時能得到最佳的照度?)8何處看塑像最好海洋公園中有一高為a米的魚美人塑像,其底座高為b米。為了觀賞時看得最清楚(即對塑像張成的夾角最大),應(yīng)該站在離底座腳多遠的地方?解:設(shè)游人的水平視線距地面c(c<b)米,底座的高與c之差為h米(如圖)。可以想到,如果站得很遠,那么張角一定很小;如果站得離底座腳很近,那么也很小。因此,一定有一最佳距離A0=x,對于這個x所得張角最大,并且也最大。問題轉(zhuǎn)化為求的極值。由得設(shè)令得定義域內(nèi)唯一駐點。因此,游人應(yīng)站在離底座腳處觀賞魚美人塑像為最好。9如何購物最滿意日常生活中,人們常常碰到如何分配定量的錢來購買兩種物品的問題。由于錢數(shù)

8、固定,則如果購買其中一種物品較多,那么勢必少買(甚至不再能買)另一種物品,這樣就不可能令人滿意。如何花費給定量的錢,才能達到最滿意的效果呢?經(jīng)濟學(xué)家試圖借助“效用函數(shù)”來解決這一問題。所謂效用函數(shù),就是描述人們同時購買兩種產(chǎn)品各單位、單位時滿意程度的量。常見形式有,等,而當效用函數(shù)達到最大值時,人們購物分配的方案最佳。例:小孫有200元錢,他決定購買兩種急需物品:計算機磁盤和錄音磁帶。且設(shè)他購買張磁盤,盒磁帶的效用函數(shù)為。設(shè)每張磁盤8元,每盒磁帶10元,問他如何分配他的200元錢,才能達到最滿意的效果?解:這是一個條件極值問題,即求在約束之下的極值點,應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法。定義拉格朗日函數(shù):解得

9、,為最大值點。即小孫用200元錢購買12張磁盤和10盒磁帶最滿意。(解法二,可以將約束條件改成代入效用函數(shù),得,變成一元函數(shù)求極值問題。)10減肥的微分方程基本新陳代謝所需的熱量為1200卡/天,設(shè)攝入的多余熱量按10000卡=1公斤脂肪100%的轉(zhuǎn)化成脂肪。如果某人參加減肥療程,每天按食譜攝入的熱量為2500卡,每天減肥鍛煉消耗的熱量為16卡/公斤體重。問其體重如何變化?解:攝入熱量=新陳代謝消耗熱量+運動消耗熱量+轉(zhuǎn)化為脂肪的熱量設(shè)為其每天的體重。 而(微分中值定理)所以可以求解出11種群增長模型假設(shè)單位時間內(nèi)每個種群成員帶來個新成員(即出生率)這是一個粗糙的模型。我們忽略了性別、年齡的差

10、異,也沒有考慮由于生存空間和財富的限制而產(chǎn)生的互相競爭。如果設(shè)時刻種群的大小為,則而所以問題歸結(jié)為求下述微分方程問題的解:12導(dǎo)彈追蹤曲線自動導(dǎo)航的導(dǎo)彈可以利用儀器裝置去追蹤它的目標,其中一種辦法就是攝像裝置確定追蹤目標的位置,使自己飛行方向始終指向追蹤目標。設(shè)時導(dǎo)彈位于原點,飛行器位于,設(shè)飛行器以常速沿水平方向飛行,導(dǎo)彈的飛行方向指向飛行器,速度大小為.0yx解:設(shè)導(dǎo)彈追蹤曲線的方程為,時刻導(dǎo)彈位于。飛行器位于,應(yīng)在點處的追蹤曲線的切線上。所以,求解即可。進一步:如何改進追蹤模型以及如何反追蹤?例題物體冷卻的數(shù)學(xué)模型將物體放置于空氣中,在時刻t=0時,測量得它的溫度為,10分鐘后測量得溫度為

11、。我們要求此物體的溫度u和時間t的關(guān)系,并計算20分鐘后物體的溫度。假定空氣溫度保持為。解 為了解決上述問題,需要了解有關(guān)熱力學(xué)的一些基本規(guī)律。例如,熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導(dǎo);在一定的溫度范圍內(nèi),一個物體的溫度變化速度與這一物體的溫度和其所在介質(zhì)溫度的差值成正比。(Newton冷卻定律)設(shè)物體在時刻t的溫度為u=u(t),則溫度的變化速度可用來表示。注意到熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導(dǎo)的,因而;又因物體將隨時間而逐漸冷卻,所以。所以有其中k>0是比例常數(shù)。上式即為物體冷卻過程的數(shù)學(xué)模型。求解后得可計算20分鐘后溫度為,當時,溫度(推廣:雙層玻璃的功效)13投入產(chǎn)

12、出分析一個城鎮(zhèn)有三個主要企業(yè):煤礦、電廠和地方鐵路作為它的經(jīng)濟系統(tǒng)。生產(chǎn)價值1元的煤,需消耗0.25元的電費和0.35元的運輸費;生產(chǎn)1元的電,需消耗0.4元的煤費、0.05元的電費和0.1元的運輸費;而提供價值1元的鐵路運輸服務(wù),則需消耗0.45元的煤費、0.1元的電費和0.1元的運輸費。在某個星期內(nèi),除了這三個企業(yè)間的彼此需求,煤礦得到50000元的訂單,電廠得到25000元的電量供應(yīng)要求,而地方鐵路得到價值30000元的運輸需求。試問:(1)這三個企業(yè)在這星期各應(yīng)生產(chǎn)多少產(chǎn)值才能滿足內(nèi)外需求?(2)除了外部需求,試求這星期各企業(yè)之間的消耗需求,同時求出各企業(yè)新創(chuàng)造的價值(即產(chǎn)值中除去各企業(yè)的消耗所剩的部分)。解:(1)設(shè)煤礦、電廠和鐵路在這星期生產(chǎn)總產(chǎn)值分別為、元,則有 (方程組1)該方程每個等式以價值形式說明了對每一企業(yè):中間產(chǎn)品(作為系統(tǒng)內(nèi)各企業(yè)的消耗)+最終產(chǎn)品(外部需求)=總產(chǎn)品。求解方程組1得,。即在該星期中,煤礦、電廠和地方鐵路的總產(chǎn)值分別為11458元、65395元和85111元。(2)另外,若設(shè)、元分別為煤礦、電廠和地方鐵路在這星期的新創(chuàng)價值,則有: (方程組2)方程組2說明對每一企業(yè):對系統(tǒng)內(nèi)各企業(yè)產(chǎn)品的消耗+新創(chuàng)價值=總產(chǎn)值。由方程

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