黑體輻射定律

1、基爾霍夫熱輻射定律基爾霍夫熱輻射定律（Kirchhoff熱輻射定律），德國物理學(xué)家古斯塔夫基爾霍夫于1859年提出的傳熱學(xué)定律，它用于描述物體的發(fā)射率與吸收比之間的關(guān)系。簡介 一般研究輻射時采用的黑體模型由于其吸收比等于1（=1），而實際物體的吸收比則小于1（10）?；鶢柣舴驘彷椛涠蓜t給出了實際物體的輻射出射度與吸收比之間的關(guān)系。 M為實際物體的輻射出射度，Mb為相同溫度下黑體的輻射出射度。而發(fā)射率的定義即為所以有=。所以，在熱平衡條件下，物體對熱輻射的吸收比恒等于同溫度下的發(fā)射率。而對于漫灰體，無論是否處在熱平衡下，物體對熱輻射的吸收比都恒等于同溫度下的發(fā)射率。不同層次的表達(dá)式對于定向的光

2、譜，其基爾霍夫熱輻射定律表達(dá)式為對于半球空間的光譜，其基爾霍夫熱輻射定律表達(dá)式為對于全波段的半球空間，其基爾霍夫熱輻射定律表達(dá)式為 為緯度角，為經(jīng)度角，為光譜的波長，T為溫度。參考文獻(xiàn) 楊世銘，陶文銓。傳熱學(xué)。北京：高等教育出版社，2006年：356-379。 王以銘。量和單位規(guī)范用法辭典。上海：上海辭書出版社普朗克黑體輻射定律普朗克定律描述的黑體輻射在不同溫度下的頻譜物理學(xué)中，普朗克黑體輻射定律（也簡稱作普朗克定律或黑體輻射定律）（英文：Plancks law, Blackbody radiation law）是用于描述在任意溫度T下，從一個黑體中發(fā)射的電磁輻射的輻射率與電磁輻射的頻率的關(guān)系

3、公式。這里輻射率是頻率的函數(shù)1：這個函數(shù)在hv=2.82kT時達(dá)到峰值2。如果寫成波長的函數(shù)，在單位立體角內(nèi)的輻射率為3注意這兩個函數(shù)具有不同的單位：第一個函數(shù)是描述單位頻率間隔內(nèi)的輻射率，而第二個則是單位波長間隔內(nèi)的輻射率。因而和并不等價。它們之間存在有如下關(guān)系：通過單位頻率間隔和單位波長間隔之間的關(guān)系，這兩個函數(shù)可以相互轉(zhuǎn)換：電磁波波長和頻率的關(guān)系為4普朗克定律有時寫做能量密度頻譜的形式5：這是指單位頻率在單位體積內(nèi)的能量，單位是焦耳（立方米赫茲）。對全頻域積分可得到與頻率無關(guān)的能量密度。一個黑體的輻射場可以被看作是光子氣體，此時的能量密度可由氣體的熱力學(xué)參數(shù)決定。能量密度頻譜也可寫成波長

4、的函數(shù)普朗克定律（綠）、維恩近似（藍(lán)）和瑞利-金斯定律（紅）在頻域下的比較，可見維恩近似在高頻區(qū)域和普朗克定律相符，瑞利-金斯定律在低頻區(qū)域和普朗克定律相符。馬克斯普朗克于1900年建立了黑體輻射定律的公式，并于1901年發(fā)表6。其目的是改進(jìn)由威廉維恩提出的維恩近似（至于描述黑體輻射的另一公式：由瑞利勛爵和金斯爵士提出的瑞利-金斯定律，其建立時間要稍晚于普朗克定律。由此可見瑞利-金斯公式所導(dǎo)致的“紫外災(zāi)難”并不是普朗克建立黑體輻射定律的動機(jī)，參見后文敘述）。維恩近似在短波范圍內(nèi)和實驗數(shù)據(jù)相當(dāng)符合，但在長波范圍內(nèi)偏差較大；而瑞利-金斯公式則正好相反。普朗克得到的公式則在全波段范圍內(nèi)都和實驗結(jié)果符

5、合得相當(dāng)好。在推導(dǎo)過程中，普朗克考慮將電磁場的能量按照物質(zhì)中帶電振子的不同振動模式分布。得到普朗克公式的前提假設(shè)是這些振子的能量只能取某些基本能量單位的整數(shù)倍，這些基本能量單位只與電磁波的頻率有關(guān)，并且和頻率成正比。這即是普朗克的能量量子化假說，這一假說的提出比愛因斯坦為解釋光電效應(yīng)而提出的光子概念還要至少早五年。然而普朗克并沒有像愛因斯坦那樣假設(shè)電磁波本身即是具有分立能量的量子化的波束，他認(rèn)為這種量子化只不過是對于處在封閉區(qū)域所形成的腔（也就是構(gòu)成物質(zhì)的原子）內(nèi)的微小振子而言的，用半經(jīng)典的語言來說就是束縛態(tài)必然導(dǎo)出量子化。普朗克沒能為這一量子化假設(shè)給出更多的物理解釋，他只是相信這是一種數(shù)學(xué)上

6、的推導(dǎo)手段，從而能夠使理論和經(jīng)驗上的實驗數(shù)據(jù)在全波段范圍內(nèi)符合。不過最終普朗克的量子化假說和愛因斯坦的光子假說都成為了量子力學(xué)的基石。推導(dǎo)下面的推導(dǎo)并非普朗克的原始推導(dǎo)（來源5），需要用到電動力學(xué)、量子力學(xué)和統(tǒng)計力學(xué)的有關(guān)概念?？紤]一個充滿了電磁輻射的邊長為L的立方體：根據(jù)經(jīng)典電動力學(xué)，在立方體壁表面的邊界條件為電場的平行分量和磁場的垂直分量都為零。類似于處于束縛態(tài)的粒子的波函數(shù)，立方體內(nèi)部的電磁場也是滿足邊界條件的周期性本征函數(shù)的線性疊加，在垂直于立方體壁表面的三個方向上各個本征函數(shù)的波長分別為1，2和3這里是非負(fù)整數(shù)。對于每一組值都有兩個線性無關(guān)的解（兩種不同的模）。根據(jù)量子力學(xué)中的諧振子

7、理論，任意模式下的系統(tǒng)能級為這里量子數(shù)可看作是立方體中的光子數(shù)，而兩種不同模式對應(yīng)的是光子的兩種偏振態(tài)。注意到當(dāng)光子數(shù)為零時能級不為零，這種電磁場的真空能量是一種量子效應(yīng)，是產(chǎn)生卡西米爾效應(yīng)的原因。下面我們計算在溫度下光子數(shù)為零時系統(tǒng)處于真空狀態(tài)下的內(nèi)能。根據(jù)統(tǒng)計力學(xué)，在特定模式下不同能級的概率分布由下式給出這里分母是系統(tǒng)在特定模式下的配分函數(shù)，它能夠使概率分布?xì)w一化。對正則系綜有這里我們定義單個光子的能量為系統(tǒng)的平均能量和配分函數(shù)的關(guān)系為這個公式是玻色-愛因斯坦統(tǒng)計的一個特例。由于光子是玻色子，任一能級對光子的數(shù)量沒有限制，系統(tǒng)的化學(xué)勢為零。系統(tǒng)的總能量是平均能量對所有可能的單光子態(tài)求和?？?/p>

8、慮在熱力學(xué)極限下，立方體邊長L趨于無窮大，這時單光子能量近似成為連續(xù)值，我們將平均能量對單光子的連續(xù)能量積分就可以得到系統(tǒng)的總能量，這就需要我們首先確定在任意給定的能量范圍內(nèi)具有多少個光子態(tài)。假設(shè)處于能級和的單光子態(tài)總數(shù)為（這里是所謂光子的能態(tài)密度，其具體表達(dá)式還需另行計算），則系統(tǒng)的總能量為為計算光子能態(tài)密度的表達(dá)式，我們將（1）式重寫成這里是矢量的模每一個矢量都對應(yīng)有兩個光子態(tài)，換句話說，在給定的一個由矢量構(gòu)成的希爾伯特空間中的光子態(tài)總數(shù)是這個空間體積的2倍。一個微小的能量區(qū)間對應(yīng)著這個希爾伯特空間中一個薄球殼的厚度。由于矢量的分量不能為負(fù)值，能量區(qū)間實際上只能對應(yīng)整個薄球殼總體積的1/8

9、（這是因為矢量有三個分量，每一個分量都為正數(shù)時的概率為1/8）。因而在能量區(qū)間上光子態(tài)總數(shù)為將這個表達(dá)式代入（2）式，得到注意到的三次方是立方體體積，因此可直接得到能量密度的表達(dá)式，將它寫成頻率的頻譜函數(shù)其中這里即是黑體輻射的能量頻譜密度，其意義為單位頻率在單位體積內(nèi)的能量。如果寫成波長的函數(shù)，其中這是黑體輻射的能量密度頻譜的另一種形式，其意義為單位波長在單位體積內(nèi)的能量。在玻色或費米氣體情形下對這一函數(shù)積分需要用到多對數(shù)函數(shù)展開。但這里可以用初等函數(shù)的辦法得到一個近似形式，數(shù)學(xué)上做代換積分變量從而可寫成如下形式其中的表達(dá)式為這一積分結(jié)果將后文附錄中做說明。因而得到立方體中電磁場的總能量為其中

10、是立方體體積（注意：這個表達(dá)式不是斯特藩-玻爾茲曼定律，它的含義并不是理想黑體在單位時間內(nèi)從單位表面積輻射出的總能量，參見斯特藩-玻爾茲曼定律條目）。由于輻射各向同性，并且以光速傳播，能量的輻射率（單位時間單位表面積單位立體角單位頻率下輻射的能量）為從而得到普朗克黑體輻射定律歷史參見：光子、能量均分定理及紫外災(zāi)難很多有關(guān)量子理論的大眾科普讀 物，甚至某些物理學(xué)課本，在討論普朗克黑體輻射定律的歷史時都犯了嚴(yán)重的錯誤。盡管這些錯誤概念在四十多年前就已經(jīng)被物理學(xué)史的研究者們指出，事實證明它 們依然難以被消除。部分原因可能在于，普朗克最初量子化能量的動機(jī)并不是能用三言兩語就能夠道清的，這里面的原因在現(xiàn)

11、代人看來相當(dāng)復(fù)雜，因而不易被外人所 理解7。丹麥物理學(xué)家Helge Kragh曾發(fā)表過一篇文章清晰地闡述了這種錯誤是如何發(fā)生的8。“紫外災(zāi)難”：在經(jīng)典統(tǒng)計理論中，能量均分定理預(yù)言黑體輻射的強(qiáng)度在紫外區(qū)域會發(fā)散至無窮大，這和事實嚴(yán)重違背首先是盡管普朗克給出了量子化的電磁波能量表達(dá)式，普朗克并沒有將電磁波量子化，這在他1901年的論文以及這篇論文對他早先文獻(xiàn)的引用中就可以看到6。他還在他的著作熱輻射理論（Theory of Heat Radiation）中平淡無奇地解釋說量子化公式中的普朗克常數(shù)（現(xiàn)代量子力學(xué)中的基本常數(shù)）只是一個適用于赫茲振蕩器的普通常數(shù)。真正從理論上提出光量子的第一人是于190

12、5年成功解釋光電效應(yīng)的愛因斯坦，他假設(shè)電磁波本身就帶有量子化的能量，攜帶這些量子化的能量的最小單位叫光量子。1924年薩特延德拉納特玻色發(fā)展了光子的統(tǒng)計力學(xué)，從而在理論上推導(dǎo)了普朗克定律的表達(dá)式。另一錯誤概念是，普朗克發(fā)展這一定律的動機(jī)并不是試圖解決“紫外災(zāi)難”。“紫外災(zāi)難”這一名稱是保羅埃倫費斯特于1911年提出的，從時間上看這比普朗克定律的提出要晚十年之久。紫外災(zāi)難是指將經(jīng)典統(tǒng)計力學(xué)的能量均分定理應(yīng)用于一個空腔中的黑體輻射（又叫做空室輻射或具空腔輻射）時，系統(tǒng)的總能量在紫外區(qū)域?qū)⒆兊冒l(fā)散并趨于無窮大，這顯然與實際不符。普朗克本人從未認(rèn)為能量均分定理永遠(yuǎn)成立，從而他根本沒有覺察到在黑體輻射中

13、有任何“災(zāi)難”存在不過僅僅過了五年之后，這一問題隨著愛因斯坦、瑞利勛爵和金斯爵士的發(fā)現(xiàn)而就變得尖銳起來。附錄參見：黎曼函數(shù)及函數(shù)有一個簡便方法計算下面的積分我們可以首先用替換式中的，計算一般形式下的積分由于分母總是小于1，我們可以將它按展開寫成收斂的幾何級數(shù)這就是幾何級數(shù)的求和公式。等號左邊的表達(dá)式正是右邊的求和結(jié)果，右邊的幾何級數(shù)公比為.從而得到表達(dá)式乘以后相當(dāng)于將變成，因而我們將求和符號中的序號加1，并消去原先的:通過變量替換，我們得到以及，積分式進(jìn)一步寫成即形如上式的積分是收斂的，我們將求和的部分移到積分之外：前面的求和系數(shù)正是黎曼函數(shù) ，而后面的積分正是函數(shù) 。從而我們得到一個一般的關(guān)

14、系式：或等價為對于我們所需要的積分，積分式的分子為，因此代入上面等式中得到這里我們用到了和。（參見黎曼函數(shù)和函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)）。斯特藩-玻爾茲曼定律斯特藩-玻爾茲曼定律（Stefan-Boltzmann law），又稱斯特藩定律，是熱力學(xué)中的一個著名定律，其內(nèi)容為：一個黑體表面單位面積在單位時間內(nèi)輻射出的總能量（稱為物體的輻射度或能量通量密度）j* 與黑體本身的熱力學(xué)溫度T （又稱絕對溫度）的四次方成正比，即:其中輻射度j*具有功率密度的量綱（能量/(時間距離2)），國際單位制標(biāo)準(zhǔn)單位為焦耳/(秒平方米)，即瓦特/平方米。絕對溫度T 的標(biāo)準(zhǔn)單位是開爾文， 為黑體的輻射系數(shù)；若為絕對黑體，則 .比

15、例系數(shù) 稱為斯特藩-玻爾茲曼常數(shù)或斯特藩常量。它可由自然界其他已知的基本物理常數(shù)算得，因此它不是一個基本物理常數(shù)。該常數(shù)的值為：所以溫度為 100 K 的絕對黑體表面輻射的能量通量密度為5.67 W/m2，1000 K 的黑體為56.7 kW/m2，等等。斯特藩-玻爾茲曼定律是一個典型的冪次定律。本定律由斯洛文尼亞物理學(xué)家約瑟夫斯特藩（Joef Stefan）和奧地利物理學(xué)家路德維希玻爾茲曼分別于1879年和1884年各自獨立提出。提出過程中斯特藩通過的是對實驗數(shù)據(jù)的歸納總結(jié)，玻爾茲曼則是從熱力學(xué)理論出發(fā)，通過假設(shè)用光（電磁波輻射）代替氣體作為熱機(jī)的工作介質(zhì)，最終推導(dǎo)出與斯特藩的歸納結(jié)果相同的

16、結(jié)論。本定律最早由斯特藩于1879年3月20日以 ber die Beziehung zwischen der Wrmestrahlung und der Temperatur （論熱輻射與溫度的關(guān)系）為論文題目發(fā)表在維也納科學(xué)院的大會報告上，這是唯一一個以斯洛文尼亞人的名字命名的物理學(xué)定律。本定律只適用于黑體這類理想輻射源。斯特藩-玻爾茲曼定律的推導(dǎo)斯特藩-玻爾茲曼定律能夠方便地通過對黑體表面各點的輻射譜強(qiáng)度應(yīng)用普朗克黑體輻射定律，再將結(jié)果在輻射進(jìn)入的半球形空間表面以及所有可能輻射頻率進(jìn)行積分得到。式中0黑體表面一點的輻射進(jìn)入的半球形空間表面（以輻射點為球心），為在溫度T 時黑體表面的單位面

17、積在單位時間、單位立體角上輻射出的頻率為的電磁波能量。式中包括了一個余弦因子，因為黑體輻射幾何上嚴(yán)格符合朗伯余弦定律（Lamberts cosine law）。將幾何微元關(guān)系 d= sin() dd 代入上式并積分得：（對頻率的玻色積分項的計算方法參見條目多重對數(shù)函數(shù)）日面溫度提出本定律后斯特藩利用它估算了太陽的表面溫度。當(dāng)時法國人查理索里特（Charles Soret，1854年1904年）用實驗測得地球上接收到的太陽發(fā)出的能量通量密度約為一塊加熱金屬板表面輻射的能量通量密度的29倍。將適當(dāng)大小的圓形金屬版放置在測量儀器前方適當(dāng)?shù)木嚯x，則可以認(rèn)為測量儀器接收到的金屬板發(fā)出輻射的角度與太陽光照

18、射的角度基本相同。索里特測得金屬板的表面溫度為 1900C 到 2000C 之間。斯特藩猜測太陽照射到地球的能量有 1/3 被地球大氣層吸收（當(dāng)時尚未有關(guān)于大氣層對電磁輻射的吸收的公認(rèn)測量數(shù)據(jù)），所以算得實際接收到的太陽輻射強(qiáng)度應(yīng)為金屬板輻射強(qiáng)度的 29 3/2 = 43.5 倍。金屬板的表面溫度斯特藩取索里特猜測的中間值 1950C，即 2200 K。由于 43.5 = 2.574 ，所以根據(jù)上面的定律，太陽表面的絕對溫度應(yīng)為金屬板表面絕對溫度的 2.57 倍，即 5430C 或 5700 K （現(xiàn)代精確測量結(jié)果為 5780 K）。這是歷史上對日面溫度的第一個較精確的測量結(jié)果。在此之前人們對

19、日面溫度的數(shù)值曾經(jīng)眾說紛紜，測量結(jié)果從1800C 到 13,000,000C 都有。通過其他方法測量的日面溫度與該結(jié)果的吻合驗證了本定律的正確性。維恩位移定律幾個不同溫度下的黑體輻射的電磁波譜（橫軸為輻射的波長，縱軸為相應(yīng)的能量密度）。維恩位移定律描述的就是輻射峰值隨黑體溫度變化的關(guān)系。維恩位移定律（Wiens displacement law）是物理學(xué)上描述黑體電磁輻射能流密度的峰值波長與自身溫度之間反比關(guān)系的定律，其數(shù)學(xué)表示為：式中為輻射的峰值波長（單位米），為黑體的絕對溫度（單位開爾文），b 為比例常數(shù)，稱為維恩位移常數(shù)，數(shù)值等于2.897 7685(51) 103 m K （2002年

20、國際科技數(shù)據(jù)委員會(CODATA)推薦值，括號中為68.27%置信度下的不確定尾數(shù)）。光學(xué)上一般使用納米（nm）作為波長單位，則b = 2.897 7685(51) 106 nm K.說明維恩位移定律說明了一個物體越熱，其輻射譜的波長越短（或者說其輻射譜的頻率越高）。譬如在宇宙中，不同恒星隨表面溫度的不同會顯示出不同的顏色，溫度較高的顯藍(lán)色，次之顯白色，瀕臨燃盡而膨脹的紅巨星表面溫度只有2000-3000K，因而顯紅色1。太陽的表面溫度是5778K，根據(jù)維恩位移定律計算得的峰值輻射波長則為502nm，這近似處于可見光光譜范圍的中點，為綠色光2。但實際我們看到的太陽是黃色的，這和各個波長成分的光

21、所做出的貢獻(xiàn)有關(guān)3。與太陽表面相比，通電的白熾燈的溫度要低數(shù)千度，所以白熾燈的輻射光譜偏橙。至于處于“紅熱”狀態(tài)的電爐絲等物體，溫度要更低，所以更加顯紅色。溫度再下降，輻射波長便超出了可見光范圍，進(jìn)入紅外區(qū)，譬如人體釋放的輻射就主要是紅外線，軍事上使用的紅外線夜視儀就是通過探測這種紅外線來進(jìn)行“夜視”的。本定律由德國物理學(xué)家威廉維恩（Wilhelm Wien）于1893年通過對實驗數(shù)據(jù)的經(jīng)驗總結(jié)提出。頻率形式用f 表示頻率，單位赫茲，則維恩位移定律可表示為以下頻率形式是數(shù)值求解最大值方程得到的常數(shù)；k 為玻爾茲曼常數(shù)，h 為普朗克常數(shù)，T 為絕對溫度（單位開爾文）需要注意的是，以上頻率形式中的輻射能流密度定義為“通過單位面積、單位寬度的頻率帶在單位時間中輻射出的能量”，而波長形式的輻射能流密度則定義為“通過單位面積、單